2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：15 數(shù)列求和15種類型歸納（原卷版）

15數(shù)列求和【題型一】求和思維基礎(chǔ)：由sn求an的關(guān)系【典例分析】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【提分秘籍】基本規(guī)律對于公式（1）當(dāng)時(shí)，用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求出；（3）對時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．【變式演練】1.數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），求2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型二】錯位相消法三種思維求法【典例分析】（2020年新課標(biāo)1理數(shù)17題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【提分秘籍】基本規(guī)律以下三種思維，但還是建議練熟第一種。如果第一種都掌握不了的學(xué)生，基本上也記不住第二和第三種方法。1.思維結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖示如下2.公式型記憶：3.可可裂項(xiàng)為如下【變式演練】1.已知數(shù)列中，，，前項(xiàng)和為，若（，且）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.（系數(shù)為負(fù)的，增加了計(jì)算難度）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型三】分組求和法【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律，其中bn和cn都是容易求和的數(shù)列【變式演練】1.設(shè)數(shù)列滿足，；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且-3，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【題型四】求和難點(diǎn)1：裂項(xiàng)相消基礎(chǔ)思維【典例分析】設(shè)數(shù)列滿足：，且（），.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】1.數(shù)列中，，，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2.在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求n的值．3.已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型五】求和難點(diǎn)2：形如函數(shù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【提分秘籍】基本規(guī)律對于f（n）是p、q差型；（2）f（n）是分離常數(shù)型；【變式演練】1.數(shù)列滿足，且.（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.2、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型六】求和難點(diǎn)3：指數(shù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.【提分秘籍】基本規(guī)律形如【變式演練】1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且對一切正整數(shù)恒成立.（1）求當(dāng)為何值時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列,并求出它的通項(xiàng)公式；（2）在（1）的條件下，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.2、已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，的等差中項(xiàng)為10.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.【題型七】求和難點(diǎn)4：指數(shù)等差型裂項(xiàng)相消【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足：，且．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【提分秘籍】基本規(guī)律形如，注意湊配“同構(gòu)”形式以裂項(xiàng)達(dá)到相消的目的【變式演練】1.已知數(shù)列滿足：，；數(shù)列是等比數(shù)列，并滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列滿足，求證：.3、設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0．已知，，，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，．（?。┣?；（ⅱ）證明．【題型八】求和難點(diǎn)5：奇偶正負(fù)型裂項(xiàng)相消【典例分析】已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.【提分秘籍】基本規(guī)律形如，可類比前邊規(guī)律裂項(xiàng)相消【變式演練】1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求、、的值；（2）求出及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.2、已知數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【題型九】求和難點(diǎn)6：裂項(xiàng)為“和”型以相消【典例分析】已知數(shù)列中，，，前項(xiàng)和為，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【提分秘籍】基本規(guī)律可通過分離常數(shù)，或者公式，裂項(xiàng)為“和”，借助系數(shù)的正負(fù)相間，達(dá)到裂項(xiàng)相消的目的【變式演練】1.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2、已知遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型十】求和難點(diǎn)7：指數(shù)型裂項(xiàng)為“和”以相消【典例分析】已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【提分秘籍】基本規(guī)律授課時(shí)，注意講清楚裂項(xiàng)湊配的原理。如果學(xué)生接受難度大，可以逆向思維：反解代入【變式演練】1.已知數(shù)列滿足.（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型十一】求和難點(diǎn)8：無理根式型裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最小正整數(shù)的值.【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】1.如圖所示，在的圖像下有一系列正三角形，記的邊長為，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，證明：.2、在①，，成等差數(shù)列；②，，成等差數(shù)列；③中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.在各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，已知，且______.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型十二】求和難點(diǎn)9：三項(xiàng)積式裂項(xiàng)相消【典例分析】已知數(shù)列滿足，，.（1）若.①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；②證明：對，.【提分秘籍】基本規(guī)律屬于比較難的題型，做復(fù)習(xí)參考。一般情況下，可如下公式裂項(xiàng)：【題型十三】求和難點(diǎn)10：先放縮后裂項(xiàng)【典例分析】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對任意正整數(shù)n，都有，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求證：．【提分秘籍】基本規(guī)律先放縮后裂項(xiàng)，屬于2010年課改之前題型，2010新課標(biāo)逐漸淘汰。2019年新高考實(shí)行后，結(jié)合2021年新課標(biāo)乙卷數(shù)列大題的位置后移，難度增加，所以今年開始二輪復(fù)習(xí)備考，適當(dāng)?shù)脑黾舆@方面題型的擴(kuò)展了解。授課時(shí)，要講清楚，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標(biāo)。【變式演練】1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：.2、數(shù)列中，，，且.令，將用表示，并求通項(xiàng)公式；令，求證：.【題型十四】求和難點(diǎn)11：利用組合數(shù)公式裂項(xiàng)求和（理科）【典例分析】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【題型十五】求和難點(diǎn)12：分段數(shù)列求和【典例分析】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)的前項(xiàng)和為，求.【提分秘籍】基本規(guī)律1.分奇偶各自新數(shù)列求和2.要注意處理好奇偶數(shù)列對應(yīng)的項(xiàng)：（1）可構(gòu)建新數(shù)列；（2）可“跳項(xiàng)”求和【變式演練】1.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．2.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.模擬題1.已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.2.已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.3.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為（），滿足，，成等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.5.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．6.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為S（1）求數(shù)列{a（2）令bn=(?1)n?14nan7.已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且為與的等差中項(xiàng)．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，