第二章 傳遞函數(shù)-梅遜公式課件

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3傳遞函數(shù)與系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.1傳遞函數(shù)的定義設(shè)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)微分方程為C(t)為輸出量，r（t）為輸入量第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式在系統(tǒng)滿足零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，得到整理得傳遞函數(shù)，記作G（s）第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式傳遞函數(shù)的定義：對線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)），在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，記作G(s)用方框圖表示G(s)R(s)C(s)C(s)=G(s)R(s)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)1）只適用于線性定常系統(tǒng)，不適用于非線性系統(tǒng)或時變系統(tǒng)。2）傳遞函數(shù)是表征線性定常系統(tǒng)或元件自身的固有特性，取決于它本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與其輸入信號的大小、形式無關(guān)。3）表示了特定的輸出量與輸入量之間的關(guān)系。4）傳遞函數(shù)是復(fù)變量S的有理分式，且分子、分母多項式的各項系數(shù)均為實數(shù)，分母多項式的次數(shù)n大于等于分子多項式的次數(shù)m。5）傳遞函數(shù)具有正、負(fù)號（輸入量和輸出量的變化方向）。6）傳遞函數(shù)的單位是輸出量的單位與輸入量的單位之比。7）傳遞函數(shù)可以寫成，K=bm/an，稱為增益。-zj(j=1,2,…m)成為傳遞函數(shù)的零點，-pi(i=1,2,…n)成為傳遞函數(shù)的極點第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式上圖所示的是的零、極點分布圖。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)r(t)c(t)t0比例環(huán)節(jié)（無慣性環(huán)節(jié)）：c(t)=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k階躍響應(yīng)：R(S)=1/SC(S)=kR(S)=k/S方框圖：C(t)=kkR(S)C(S)1測速發(fā)電機(jī)：ωU(t)=Ktdθ(t)/dt=ktω(t)G(S)=U(S)/Ω(S)=KtR2R1RC(t)r(t)運(yùn)算放大器：C(t)=R2/R1r(t)G(S)=C(S)/R(S)=R2/R1=K2.2傳遞函數(shù)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)微分環(huán)節(jié)：c(t)=Kdr(t)/dt

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=KS方框圖：KSR(S)C(S)4由于微分環(huán)節(jié)具有慣性實際常常以G(S)=kTS/(TS+1)形式出現(xiàn)。其中T為時間常數(shù)，T越小微分作用越強(qiáng)，當(dāng)T

0而KT保持有限值時，方程變?yōu)榧兾⒎汁h(huán)節(jié)了。輸入量取角度時的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)。表示電機(jī)單位角速度的輸出電壓。則測速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角速度之間的關(guān)系為進(jìn)行拉氏變換得到那么該元件的傳遞函數(shù)為ω測速發(fā)電機(jī)：2.2傳遞函數(shù)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一階微分環(huán)節(jié)：c(t)=Tdr(t)/dt+r(t)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=TS+1方框圖：TS+1R(S)C(S)5比例微分調(diào)節(jié)器：根據(jù)電路的基本定律得到以下方程組那么該元件的傳遞函數(shù)為消去中間變量得到輸出、輸入電壓之間的關(guān)系第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3積分環(huán)節(jié)：dc(t)/dt=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k/S階躍響應(yīng)：R(S)=1/S，C(S)=kR(S)C(t)=kt方框圖：k/sR(S)C(S)積分調(diào)節(jié)器：CUc(t)RUr(t)i1i2A在A點列方程可得：i2=i1,

i1=Uc(t)/RUc(t)=1/C∫i2(t)dt=1/(RC)∫Uc(t)dt設(shè)RC＝T（積分時間常數(shù)），則有：Uc(t)=1/T∫Uc(t)dt拉氏變換后為：Uc(S)=1/(TS)Uc(S)傳遞函數(shù)為：G(S)=Uc(S)/Uc(S)=1/(TS)＝k/S2.2傳遞函數(shù)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)慣性環(huán)節(jié)：Tdc(t)/dt+c(t)=kr(t)

傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)階躍響應(yīng)：R(S)=1/SC(S)=kR(S)方框圖：C(t)=k(1-e-1/T)2k/(TS+1)R(S)C(S)電樞控制他勵直流電動機(jī)：TdTmd2n(t)/dt2

+Tmdn(t)/dt+n(t)＝Ua(t)/Ce若初值為0，上式的拉氏變換為：(TdTmS2+TmS+1)N(S)=Ua(S)/Ce傳遞函數(shù)為：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TdTmS2+TmS+1)若電樞電感忽略不計，上式可以化簡為：1G(S)=N(S)/Ua(S)=Ce(TmS+1)運(yùn)算放大器：R2R1RC(t)r(t)Ci1i2A傳遞函數(shù)為：G(S)=（R2/R1)/(R2CS+1)=K/(TS+1)2.2傳遞函數(shù)當(dāng)T=∞時，慣性環(huán)節(jié)近似為積分環(huán)節(jié)；當(dāng)T=0時，慣性環(huán)節(jié)近似為比例環(huán)節(jié)。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)振蕩環(huán)節(jié)：T2d2r(t)/dt2+2ζTdr(t)/dt+r(t)＝r(t)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=1/(T2S2+2ζTS+1)方框圖：6RLC振蕩電路：UcRUricL電路的微分方程為：LCd2Uc/dt2+RCdUc/dt+Uc=Urd2Uc/dt2+R/LdUc/dt+Uc=1/LCUr令ωn=1/√LC，ζ=0.5R√C/L則上式的拉氏變換為：(S2+2ωnζS+ωn2)Uc(S)=ωn2Ur(S)

ωn2

S2+2ωnζS+ωn2傳遞函數(shù)為：G(S)=Uc(S)/Ur(S)＝1T2S2+2ζTS+1R(S)C(S)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)延遲環(huán)節(jié)：c(t)=r(t-τ)傳遞函數(shù)：G(S)=C(S)/R(S)=e-τs方框圖：7e-τsR(S)C(S)軋鋼廠帶厚度檢測元件:則滯后時間為：τ＝l/v（S)測厚信號c(t)與厚差信號r(t)之間的關(guān)系為：c(t)＝r(t-τ)在零初始條件下，拉氏變換為：C(S)

＝R(S)e-τS傳遞函數(shù)為:G(S)=C(S)/R(S)

＝e-τSA點產(chǎn)生的誤差在B點才被檢測到。設(shè)測厚儀距支架的距離為l，帶鋼運(yùn)行速度為v2.2傳遞函數(shù)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.3.1動態(tài)結(jié)構(gòu)圖動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是數(shù)學(xué)模型的圖解化，它描述了組成系統(tǒng)的各元部件的特性及相互之間信號傳遞的關(guān)系，表達(dá)了系統(tǒng)中各變量所進(jìn)行的運(yùn)算。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的組成

1）信號線帶有表示信號傳遞方向箭頭的直線。一般在線上寫明該信號的拉氏變換表達(dá)式。2）綜合點3）引出點4）方框在信號線上的“?”，表示信號引出的位置。方框中為元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，方框的輸出量等于方框內(nèi)的傳遞函數(shù)與輸入量的乘積。它完成兩個以上信號的加減運(yùn)算，以O(shè)表示。如果輸入的信號帶“＋”號，就執(zhí)行加法；帶“－”號就執(zhí)行減法。2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立步驟是建立系統(tǒng)各元部件的微分方程。要注意，必須先明確系統(tǒng)的輸入量和輸出量，還要考慮相鄰元件間的負(fù)載效應(yīng)。按照系統(tǒng)中各變量傳遞順序，依次連接3）中得到的結(jié)構(gòu)圖，系統(tǒng)的輸入量放在左端，輸出量放在右端，即可得到系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。將得到的系統(tǒng)微分方程組進(jìn)行拉氏變換。按照各元部件的輸入、輸出，對各方程進(jìn)行一定的變換，并據(jù)此繪出各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。1234一個動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的例子第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖與梅森公式一個動態(tài)結(jié)構(gòu)圖建立的例子RC無源網(wǎng)絡(luò)U1(S)-U2(S)=I1(S)R1=I2(S)／CSI1(S)+I2(S)=I(S)CR2R1U1U2I1I2IU2(S)=I(S)R2R2U2(S)I1(S)I2(S)I(S)步驟一列寫方程組步驟二畫出對應(yīng)方程的部分結(jié)構(gòu)圖1／R1U2(S)U1(S)_ΔU(S)CSI1(S)I2(S)步驟三依次連接得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例：2.3-1畫出該系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖解：該系統(tǒng)的輸入量為ur，輸出量為uc，根據(jù)電路其微分方程為：取拉氏變換第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下：第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.3-2畫出兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖解：該系統(tǒng)的輸入量為ur，輸出量為uc，根據(jù)電路其微分方程為：第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式取拉氏變換動態(tài)結(jié)構(gòu)圖第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換與信號流程圖、梅遜公式2.4.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的等效變換原則：變換前后保持系統(tǒng)中各信號間的傳遞關(guān)系不變一、三條基本法則：1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之積對于n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，則有第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2、并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和G1(s)G2(s)G(s)若G2(s)為負(fù)反饋，對于n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，則有第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式3、反饋聯(lián)接（閉環(huán)）G(s)H(s)—(+)Φ(s)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式負(fù)反饋時，分母項取“+”；正反饋時，取“-”（1）前向通道：G(s)（2）反饋通道：H(s)（3）閉環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)：（4）單位反饋系統(tǒng)：H(s)=1第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式任意一個非單位反饋系統(tǒng)，總可等效地變換成單位反饋系統(tǒng)G(s)H(s)—H(s)G(s)Hm(s)μ(s)Gc(s)Gv(s)Go(s)Cm(s)E(s)U(s)D(s)C(s)God(s)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式二、其他等效變換法則1、連續(xù)綜合點或引出點之間的次序可任意交換，但相鄰的綜合點與引出點之間不能任意簡單交換（P44圖2.4-2）第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2、綜合點或引出點只能在緊靠環(huán)節(jié)的前后兩端移動，移動時中間不得夾雜引出點或綜合點，并要等效。綜合點前移，所加的方框為移過方框的傳遞函數(shù)的倒數(shù)，如圖（a）所示。綜合點后，所加的方框為移過方框的傳遞函數(shù)，如圖（b）所示。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式引出點前移，所加的方框為移過方框的傳遞函數(shù)，如圖（a）所示。引出點后移，所加的方框為移過方框傳遞函數(shù)的倒數(shù)，如圖(b)所示。3、通常綜合點應(yīng)有由綜合點的方向移動，引出點應(yīng)向引出點的方向移動第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-1求下面系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的的傳遞函數(shù)解：該結(jié)構(gòu)圖有三個閉環(huán)相互交叉，不能直接應(yīng)用三條基本法則，先要移動其綜合點或引出點，接觸交叉。這里有1、2、3三個綜合點和a、b、c三個引出點1、將綜合點2移至綜合點1之前綜合點前移，所加方框為移過方框傳遞函數(shù)的倒數(shù)，相鄰綜合點可以任意交換2、引出點b移至引出點c后面引出點后移，所加方框為移過方框傳遞函數(shù)的倒數(shù)，相鄰引出點可以任意交換第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式等效為：第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-2已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試用等效變換法求傳遞函數(shù)Φ(s)解：a既是綜合點又是引出點，應(yīng)把a(bǔ)點分成綜合點a1和引出點a2，如下C(s)C(s)第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式思考題1：化簡所示的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)。解：化簡的方法是，先通過移動引出點和綜合點，消除交叉連接，使用權(quán)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖變成獨(dú)立的回路，然后再進(jìn)行串聯(lián)、并聯(lián)及反饋的等效變換，最后求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式思考題2:用方塊圖的等效法則，求所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。解：這是一個具有交叉反饋的多回路系統(tǒng)，如果不對它作適當(dāng)?shù)淖儞Q，就難以應(yīng)用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的等效變換公式進(jìn)行化簡。本題的求解方法是把圖中的點A先前移至B點，化簡后，再后移至C點，然后從內(nèi)環(huán)到外環(huán)逐步化簡。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式串聯(lián)和并聯(lián)反饋公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式思考題3：化簡解：綜合點1和2交換第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2.4.2信號流圖與梅遜公式信號流圖的基本概念及繪制節(jié)點——用以表示變量或信號的點稱為節(jié)點，用符號表示，相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖上的信號線。傳輸——兩節(jié)點間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路——聯(lián)接兩個節(jié)點并標(biāo)有信號流向的定向線段稱為支路。輸出支路——背向節(jié)點的支路輸入支路——指向節(jié)點的支路源點——只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點稱為源點或輸入節(jié)點。阱點——只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點稱為阱點或輸出節(jié)點?；旌瞎?jié)點——既有輸入支路也有輸出支路的節(jié)點稱為混合節(jié)點。

結(jié)構(gòu)圖變?yōu)樾盘柫鲌D的不同處P49表2.4-2第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-4已知兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下所示，試畫出相應(yīng)系統(tǒng)的信號流圖解：①在結(jié)構(gòu)圖上用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點。綜合點之后，引出點之前必須設(shè)置一個節(jié)點。②由結(jié)構(gòu)圖上的信號的傳遞關(guān)系，自左到右，依次畫出各節(jié)點間的支路，并表明相應(yīng)的增益③增益為1可以省略，節(jié)點7處增加一條增益為1的輸出支路，并增畫節(jié)點8，表示系統(tǒng)的輸出點第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-5根據(jù)結(jié)構(gòu)圖畫信號流圖第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式概念：前向通路——如果在從源點到阱點的通路上，通過任何節(jié)點不多于一次，則該通路稱為前向通路。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e，稱為前向通路總增益。用Pk表示第K條前向通路的總增益。例2.3-4中，前向通道只有1條：1→2→3→4→5→6→7→8，例2.3-5中，前向通路有3條：1→2→3→4→5→6，1→2→4→5→6，1→2→3→5→6；P1=G1(s)G2(s)，P2=G2(s)G3(s)，P3=G1(s)G4(s)單獨(dú)回路——起點與終點在同一個節(jié)點上，且信號通過任一節(jié)點的次數(shù)不大于一次的回路?；芈吩鲆嬗肔a表示。例2.3-4中，單獨(dú)回路有三個，它們分別是：2→3→4→2，La1=-1/R1C1s；3→4→5→6→3，La2=-1/R2C1s；5→6→7→5，La3=-1/R2C2s。例2.3-5中，單獨(dú)回路有2個，分別是：2→4→2，La1=-G1(s)H(s)；2→3→4→2，La2=-G2(s)H(s)不接觸回路——如果回路間沒有任何公共節(jié)點。例2.3-4中的La1與La3第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式2、梅遜公式第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-6利用梅遜公式求傳遞函數(shù)（1）①單獨(dú)回路：1：2→3→4→2，La1=-1/R1C1s；2：3→4→5→6→3，La2=-1/R2C1s；3：5→6→7→5，La3=-1/R2C2s。三個單獨(dú)回路中只有1和3兩兩互不接觸，沒有三個互不接觸的回路，所以∑LbLc=La1La3，∑LdLeLf=0第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式②前向通道1→2→3→4→5→6→7→8，前向通路與三個單獨(dú)回路都有接觸。第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式（2）①單獨(dú)回路：1：2→4→2，La1=-G1(s)H(s)；2：2→3→4→2，La2=-G2(s)H(s)兩個單獨(dú)回路相互接觸，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0②前向通道1：1→2→3→4→5→6，P1=G1(s)G2(s)2：1→2→4→5→6，P2=G2(s)G3(s)3：1→2→3→5→6，P3=G1(s)G4(s)△1=△2=△3=1第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-7根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖畫出系統(tǒng)的信號流圖，并用梅遜公式求傳遞函數(shù)①單獨(dú)回路：1：3→4→5→3，La1=-G1(s)；2：2→3→4→6→2，La2=-G1(s)3：2→3→4→5→6→2，La3=-G1(s)

G2(s)單獨(dú)回路兩兩相互接觸，所以∑LbLc=0，∑LdLeLf=0第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式②前向通道1：1→2→3→4→5→6→7，P1=G1(s)G2(s)，△1=12：1→5→6→7，P2=G2(s),△2=13：1→2→3→4→6→7，P3=G1(s),△3=14：1→5→3→4→6→7，P3=-G1(s)，△4=1

第二章傳遞函數(shù)-梅遜公式例2.4-8用梅遜公式求傳遞函數(shù)①單獨(dú)回路：1：4→5→4，La1=-G2(s)H1(s)；2：3→4→5→3，La2=G1(s)G2(s)H1(s)3：4→