函數(shù)與極限習(xí)題課

二、連續(xù)與間斷一、函數(shù)三、極限函數(shù)與極限

第一章2021/5/91（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容2021/5/92函數(shù)的定義反函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2021/5/931、函數(shù)的定義2021/5/94函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))2021/5/95(1)單值性與多值性:2、函數(shù)的性質(zhì)2021/5/96(2)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2021/5/97(3)函數(shù)的單調(diào)性:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間ID，如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。2021/5/98(4)函數(shù)的有界性:2021/5/99

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(5)函數(shù)的周期性:oyx2021/5/9103、反函數(shù)4、隱函數(shù)2021/5/9115、反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關(guān)系2021/5/9126、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對(duì)數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)2021/5/9137、復(fù)合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2021/5/9149、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)常用公式2021/5/9152021/5/916左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無(wú)窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)唯一性無(wú)窮小兩者的關(guān)系無(wú)窮大2021/5/9171、極限的定義2021/5/9182021/5/919左極限右極限2021/5/920無(wú)窮小:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大:在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2、無(wú)窮小與無(wú)窮大2021/5/921定理1在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)2021/5/922定理推論1推論23、極限的性質(zhì)2021/5/9234、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.f.通分法;g.有理化方法;h.代數(shù)方法.2021/5/9245、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)2021/5/925(1)(2)6、兩個(gè)重要極限2021/5/926定義:7、無(wú)窮小的比較2021/5/927定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)8、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性2021/5/928左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性

振蕩間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類2021/5/9291、連續(xù)的定義2021/5/930定理3、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù)2021/5/9314、間斷點(diǎn)的定義2021/5/932(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類2021/5/933跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx2021/5/9340yx無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)2021/5/9356、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理2021/5/936定理1

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)的連續(xù)性定理32021/5/937定理4

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.2021/5/938定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.2021/5/939推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.2021/5/940二、典型例題例1解2021/5/941例2.設(shè)函數(shù)求解:2021/5/942例3解利用函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性代入原方程得代入上式得2021/5/943解聯(lián)立方程組2021/5/944例4解將分子、分母同乘以因子(1-x),則2021/5/945例5解解法討論2021/5/9462021/5/947令例62021/5/948～則有復(fù)習(xí):

若例72021/5/949例8解2021/5/950例19.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而2021/5/951例10

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:2021/5/952例11.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明f(x)

對(duì)一切

x

都連續(xù)

.2021/5/953例12解2021/5/9542021/5/955例13.

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故2021/5/956例14.求解:

令則利用夾逼準(zhǔn)則可知2021/5/957有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例15.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.2021/5/958例16.求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)

x=0