專題02 一元二次方程實際應(yīng)用的四種考法(解析版)(人教版)_第1頁
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文檔簡介

專題02一元二次方程實際應(yīng)用的四種考法【知識點精講】應(yīng)用模型:一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率(降低率)問題:公式:b=a(1±x)n,a表示基數(shù),x表示平均增長率(降低率),n表示變化的次數(shù),b表示變化n次后的量;②利潤問題:利潤=售價-成本;利潤率=利潤/成本×100%;③傳播、比賽問題:④面積問題:a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程;b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形,運用面積之間的關(guān)系列方程.注意:運用一元二次方程解決實際問題時,方程一般有兩個實數(shù)根,則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.類型一、增長率問題例.電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動人故事,一上映就獲得全國人民的追捧,第一天票房約3億元,以后每天票房按相同的增長率增長,三天后累計票房收入達10億元,若把增長率記作x,則方程可以列為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】設(shè)平均每天票房的增長率為,根據(jù)三天后累計票房收入達10億元,即可得出關(guān)于的一元二次方程,此題得解.【詳解】解:設(shè)平均每天票房的增長率為,根據(jù)題意得:.故選:D.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】在“雙減政策”的推動下,某校學(xué)生課后作業(yè)時長有了明顯的減少.去年上半年平均每周作業(yè)時長為分鐘,經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后,現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比去年上半年減少了,設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為,則可列方程為(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為x,根據(jù)現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比去年上半年減少了,列方程即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為x,可列方程為,即故選:C.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】某藥店一月份銷售口罩500包,一至三月份共銷售口罩1820包,設(shè)該店二、三月份銷售口罩的月平均增長率為,則根據(jù)題意可列出方程為()A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程即可作答.【詳解】解:根據(jù)題意得:,故選:B.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】某市政府決定改善城市面貌,綠化環(huán)境,計劃經(jīng)過兩年時間綠化面積增加,這兩年平均每年綠化面積的增長率為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題可設(shè)這兩年平均每年的增長率為x,因為經(jīng)過兩年時間,讓市區(qū)綠地面積增加,則有,解這個方程即可求出答案.【詳解】解:設(shè)這兩年平均每年的綠地增長率為x,根據(jù)題意得,,解得(舍去),.所以,這兩年平均每年綠地面積的增長率為.故選:A.【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,解答此類題目中的關(guān)鍵是明確題意,列出相應(yīng)的方程,注意增長的百分率是正值.

類型二、利潤問題例1.某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果,原售價每千克50元.(1)連續(xù)兩次降價后每千克32元,若每次下降的百分率相同.求每次下降的百分率;(2)若每千克盈利10元,每天可售出500千克,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施,但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元,若每千克漲價1元,日銷售量將減少20千克,現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元,且要盡快減少庫存,那么每千克應(yīng)漲價多少元?【答案】(1)每次下降的百分率為;(2)每千克水果應(yīng)漲價5元,盈利6000元.【分析】(1)設(shè)每次降價的百分率為,列出方程求解即可;(2)設(shè)每千克漲價元,根據(jù)題意列出一元二次方程,解方程即可求解.【詳解】(1)解:設(shè)每次下降百分率為,根據(jù)題意,得,解得:,(不合題意,舍去).答:每次下降的百分率為;(2)設(shè)每千克漲價x元,由題意得:解得:或,∵商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元,且要盡快減少庫存,∴,答:每千克水果應(yīng)漲價5元,盈利6000元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.例2.今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收,該村村委會在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包.(1)已知今年7月份銷售A種農(nóng)產(chǎn)品禮包256包,8、9月該禮包十分暢銷,銷售量持續(xù)走高,在售價不變的基礎(chǔ)上,9月份的銷售量達到400包.若設(shè)8、9兩個月銷售量的月平均增長率為x,求x的值;(2)若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包成本價為16元,當(dāng)售價為每包30元時,每月銷量為200包.為了盡快減少庫存,該村準(zhǔn)備在10月進行降價促銷,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包每降價1元,月銷售量可增加20包,當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價多少元時,該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元?【答案】(1)的值為25%(2)當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價3元時,該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元【分析】(1)利用9月份的銷售量=7月份的銷售量月平均增長率,即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出x的值;(2)設(shè)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價m元,則每包的銷售利潤為元,月銷售量為包,利用總利潤=每包的銷售利潤×月銷售量,即可得出關(guān)于m的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論.【詳解】(1)依題意得:,解得:,(不合題意,舍去).答:的值為25%.(2)設(shè)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價m元,則每包的銷售利潤為元,月銷售量為包,依題意得:,整理得:,解得:,.∵為了盡快減少庫存,∴.答:當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價3元時,該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】第19屆亞運會即將在杭州舉行,某商店購進一批亞運會紀念品進行銷售,已知每件紀念品的成本是30元,如果銷售單價定為每件40元,那么日銷售量將達到100件.據(jù)市場調(diào)查,銷售單價每提高1元,日銷售量將減少2件.(1)若銷售單價定為每件45元,求每天的銷售利潤;(2)要使每天銷售這種紀念品盈利1600元,同時又要讓利給顧客,那么該紀念品的售價單價應(yīng)定為每件多少元?【答案】(1)1350元(2)50元【分析】(1)根據(jù),計算求解即可;(2)設(shè)該紀念品的售價單價應(yīng)定為每件元,則銷售量為件,由題意得,,計算求解,然后判斷即可.【詳解】(1)解:由題意知,(元),∴當(dāng)銷售單價定為每件45元,每天的銷售利潤為1350元;(2)解:設(shè)該紀念品的售價單價應(yīng)定為每件元,則銷售量為件,由題意得,,解得,,∵,∴該紀念品的售價單價應(yīng)定為每件50元.【點睛】本題考查了實數(shù)運算的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.【變式訓(xùn)練2】服裝店購進一批甲、乙兩種款型的時尚T恤衫,甲種款型共用了10400元,乙種款型共用了6400元,甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍,甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件?(2)該服裝店第一個月甲種款型的T恤衫以200元/件的價格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價格售出10件;為了促銷,第二個月決定對甲、乙兩種款式的T恤衫都進行降價a元銷售,其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件,結(jié)果第二個月的銷售總額比第一個月的銷售總額增加了1000a元,求第二個月的銷售利潤.【答案】(1)甲種款型的T恤衫購進80件,乙種款型的T恤衫購進40件;(2)3580【分析】(1)設(shè)乙種款型的T恤衫購進x件,則甲種款型的T恤衫購進件,根據(jù)甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元列出分式方程,解方程即可;(2)根據(jù)第二個月的銷售總額比第一個月的銷售總額增加了1000a元,列出一元二次方程,解方程,即可解決問題.【詳解】(1)設(shè)乙種款型的T恤衫購進x件,則甲種款型的T恤衫購進件,依題意得解得,經(jīng)檢驗,是原方程的解,且符合題意,∴,答:甲種款型的T恤衫購進80件,乙種款型的T恤衫購進40件;(2)乙種款型每件的進價為(元)則甲種款型每件的進價為(元),由題意得:整理得,解得(不符合題意,舍去),∴答:第二個月的銷售利潤為3580元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出分式方程;(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程.類型三、工程問題例.建設(shè)美麗城市,改造老舊小區(qū).某市2020年投入資金1000萬元,2022年投入資金1440萬元,現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同.(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率.(2)2022年老舊小區(qū)改造的平均費用約為每個80萬元.2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì),每個小區(qū)改造費用增加10%.如果投入資金年增長率保持不變,求該市在2023年最多可以改造多少個老舊小區(qū)?【答案】(1)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%;(2)該市在2023年最多可以改造19個老舊小區(qū)【分析】(1)設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x,利用2022年投入資金金額=2020年投入資金金額×(1+年平均增長率),即可得出關(guān)于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;(2)設(shè)該市在2023年可以改造y個老舊小區(qū),根據(jù)2023年改造老舊小區(qū)所需資金不多于2023年投入資金金額,即可得出關(guān)于y的一元一次不等式,解之取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x,依題意得:,解得:,(不合題意,舍去).答:該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為.(2)解:設(shè)該市在2023年可以改造y個老舊小區(qū),依題意得:,解得:,又∵y為整數(shù),∴y的最大值為19.答:該市在2023年最多可以改造19個老舊小區(qū).【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程;(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式.【變式訓(xùn)練1】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動,帶動了市場頭盔的銷量.某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計,某品牌頭盔5月份銷售2250個,7月份銷售3240個,且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同.請解決下列問題.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率;(2)為了達到市場需求,某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔,經(jīng)過一段時間后,發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天,但如果每增加一條生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天,現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個,在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下(生產(chǎn)線越多,投入越大),應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線?【答案】(1)該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%(2)在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下,增加4條生產(chǎn)線【分析】(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程進行求解;(2)設(shè)增加x條生產(chǎn)線,根據(jù)條件列出一元二次方程求解,再根據(jù)要節(jié)省投入的條件下,確定解.【詳解】(1)解:設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x.依題意,得:,解得:,(不合題意,舍去).答:該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%.(2)解:設(shè)增加x條生產(chǎn)線.,解得,(不符合題意,舍去),答:在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下,增加4條生產(chǎn)線.【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出相應(yīng)的一元二次方程求解即可.【變式訓(xùn)練2】“端午臨中夏,時清日復(fù)長”.臨近端午節(jié),一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單,決定由甲、乙兩組共同完成.已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋.兩組同時開工,甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單.(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子;(2)兩組人員同時開工2天后,臨時又增加了500袋的任務(wù),甲組人員從第3天起提高了工作效率,乙組的工作效率不變.經(jīng)估計,若甲組平均每天每多加工100袋粽子,則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù).已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù),求提高工作效率后,甲組平均每天能加工多少袋粽子?【答案】(1)甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子(2)400【分析】(1)設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子,根據(jù)甲乙兩個小組的工作情況列出二元一次方程組,從而解決問題.(2)根據(jù)“甲組平均每天每多加工100袋粽子,則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù)”,考慮設(shè)“甲組平均每天比原計劃平均每天多加工袋粽子”,再根據(jù)實際總工作量等于甲乙兩組實際工作量之和,列出方程.【詳解】(1)解:設(shè)甲、乙兩組平均每天各能加工袋、袋粽子由題意得:解得:答:甲、乙兩組平均每天各能加工200袋、150袋粽子.(2)解:設(shè)提高效率后,甲組平均每天比原計劃平均每天多加工袋粽子由題意得:整理得:解得:,,又∵甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)∴∴200+100×2=400(袋)答:提高工作效率后,甲組平均每天能加工400袋粽子.【點睛】本題考查了運用二元一次方程組、一元二次方程解決實際問題,理清題意,正確計算是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程,橋梁總長5000米.甲,乙分別從橋梁兩端向中間施工.計劃每天各施工5米,因地質(zhì)情況不同,兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣.甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元,乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬.(1)若工程結(jié)算時,乙總施工成本不低于甲總施工成本的,求甲最多施工多少米.(2)實際施工開始后,因地質(zhì)情況及實際條件比預(yù)估更復(fù)雜,甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化,甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時,則每天可多挖米.乙在施工成本不變的情況下,比計劃每天少挖米.若最終每天實際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元.求a的值.【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值為6【分析】(1)設(shè)甲工程隊施工x米,則乙工程隊施工(5000-x)米,由工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的,即可得出關(guān)于x的一元一次不等式,解之取其中的最大值即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長度結(jié)合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時,則每天可多挖米.乙在施工成本不變的情況下,比計劃每天少挖米,即可得出關(guān)于a的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:設(shè)甲工程隊施工x米,則乙工程隊施工(5000-x)米,依題意,得:12(5000-x)≥×10x,解得:x≤2500,答:甲最多施工2500米.(2)依題意,得:,整理,得:,解得:,,當(dāng)時,總成本為:(萬元),∵,∴不符合題意舍去;當(dāng)時,總成本為:(萬元),∵,∴符合題意;答:a的值為6.【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式;(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程.類型四、幾何圖形問題例.在平面直角坐標(biāo)系中,過原點及點、作矩形,的平分線交于點.點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動;同時點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿軸正方向移動.設(shè)移動時間為秒.(1)填空:_______,_______(用含的代數(shù)式表示)(2)設(shè)的面積為,的面積為,當(dāng)為何值時,的值為.(3)求當(dāng)為何值時,為直角三角形.【答案】(1);(2)(3)或或【分析】(1)根據(jù)路程等于速度乘以時間,即可表達,;(2)連接,過點作于點,根據(jù),得,又根據(jù),則,根據(jù)勾股定理得,推出是等腰直角三角形,得;是直角三角形,當(dāng)在左側(cè)時,根據(jù)三角形面積公式得:;當(dāng)在右側(cè)時,面積為:,分類討論,即可求出時的值;(3)當(dāng)為直角三角形時,或或,根據(jù)是等腰直角三角形,則;根據(jù)勾股定理,即可求出的值.【詳解】(1)∵點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動;同時點從點出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿軸正方向移動∴;.(2)連接,過點作于點∵四邊形是矩形,點,點∴,∵∴∴在直角三角形中,∴∵∴∴在直角三角形中,∴∴是等腰直角三角形∴∵當(dāng)在左側(cè)時,即時,∴∴∴當(dāng)時∴解得,(舍)不滿足;在右側(cè)時,時,∴∴∴當(dāng)時,解得,(舍)∴當(dāng),.(3)連接,,由(2)得,∵是直角三角形,∴∵∴,∴在,∴∵為直角三角形時∴或或∵是等腰直角三角形,則∴或時,∴整理得:解得:(舍),∴時,∴解得:,∴或∴綜上所述,當(dāng)或或時,為直角三角形時.【點睛】本題考查動點問題,直角三角形和一元二次方程的知識,解題的關(guān)鍵是掌握動點的運動軌跡,勾股定理和解一元二次方程的解法.【變式訓(xùn)練1】等邊,邊長為,點P從點C出發(fā)以向點B運動,同時點Q以向點A運動,當(dāng)一點到達終點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為,

(1)求當(dāng)為直角三角形時的時間;(2)的面積能否為,若存在求時間,若不存在請說明理由.【答案】(1)或者(2)存在,2【分析】(1)根據(jù)題意有,,即,即可得,分當(dāng)為直角三角形,且時和當(dāng)為直角三角形,且時,兩種情況討論,根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列出一元一次方程,解方程即可求解;(2)過Q點作于點M,先求出,即有,進而有,即,令,可得,解方程即可求解.【詳解】(1)根據(jù)題意有,,即,∵,∴,當(dāng)為直角三角形,且時,如圖,

∵等邊中,,∴,∴,∴,解得:;當(dāng)為直角三角形,且時,如圖,

∵等邊中,,∴,∴,∴,解得:;即t的值為或者;(2)存在,理由如下:過Q點作于點M,如圖,

∵,,,∴,∴,∴,∵,∴,令,∴,整理得:,解得:,或者,∵,∴,即t的值為2.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),含角的直角三角形的性質(zhì),一元一次方程的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用等知識,明確題意,根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)正確列式,是解答本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】如圖,在直角梯形中,,.動點P從點D出發(fā),沿射線的方向以每秒2個單位的速度運動,動點Q從點C出發(fā),沿射線的方向以每秒1個單位的速度向點B運動,點P,Q分別從點D,C同時出發(fā),當(dāng)點P運動到點A時,點Q隨之停止運動.設(shè)運動的時間為t(秒),當(dāng)t為何值時,以B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形?

【答案】或【詳解】以B,P,Q為頂點的三角形為等腰三角形有三種情況:當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.【分析】解:如圖1,當(dāng)時,過點P作于E,∴,∵,∴,∴,∴.∵,∴,∴四邊形是矩形,∴,∴.解得:;

如圖2,當(dāng)時,過點Q作于E,同理可證四邊形是矩形,∴,,∴,在中,由勾股定理,得,∴,解得:;

如圖3,當(dāng)時,過點P作于E,同理可證明四邊形是矩形,∴,∴,∵,∴,在中,由勾股定理得,∴,∴,∴,故方程無解.綜上所述,或時,以B,P,Q三點為頂點的三角形為等腰三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理的運用,矩形的性質(zhì)的運用,等腰三角形的性質(zhì)的運用,一元二次方程的解法的運用,解答時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立方程是關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】如圖,在中,,,點從開始沿邊向點以的速度移動,與此同時,點從點開始沿邊向點以的速度移動.點,同時出發(fā),當(dāng)點運動到點時,兩點停止運動,設(shè)運動時間為秒.(1)填空:______,______;用含的代數(shù)式表示;(2)當(dāng)為幾秒時,的長度等于;(3)是否存在某一時刻,使四邊形的面積等于面積的?如果存在,求出的值,如果不存在,請說明理由.【答案】(1),(2)t為秒或秒(3)存在時刻,使四邊形的面積等于面積的,的值為【分析】(1)由路程=速度×?xí)r間,可直接求解;(2)由勾股定理建立方程,解一元二次方程可求解;(3)由題意可得的面積等于面積的,由三角形的面積公式可求解.【詳解】(1)點從開始沿邊向點以的速度移動,點從點開始沿邊向點以的速度移動,,,,故答案為:,;(2)由題意得,即,解得:,,當(dāng)t為秒或秒時,的長度等于;(3)存在,理由如下:若四邊形的面積等于面積的,的面積等于面積的,,,解得:或,當(dāng)時,當(dāng)時,,四邊形變?yōu)槿切?,不合題意,舍去,存在時刻,使四邊形的面積等于面積的,的值為.【點睛】本題是四邊形綜合題,考查了三角形的面積公式,勾股定理,一元二次方程的應(yīng)用,靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.課后訓(xùn)練1.如圖1,在矩形中,,點E和F同時從點A出發(fā),點E以的速度沿的方向運動,點F以的速度沿的方向運動,兩點相遇時停止運動.設(shè)運動時間為,的面積為,y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2,圖象經(jīng)過點,則n的值為.【答案】【分析】分析圖形可知,圖2中的圖象分為三段:當(dāng)點在上時;當(dāng)點在上,且點在上時;當(dāng)點在上,且點在上時.圖2中的最高點是當(dāng)點與點重合時,的值為4;當(dāng)點和點相遇時,即到達點時,用時6秒.由此可求出,由此可求出當(dāng)點運動3秒后的值,即可求出的值,進而可求出的取值.【詳解】解:由圖2可知,當(dāng)點運動到點時,,即,當(dāng)點和點相遇時,即到達點時,運動了6秒,即,解得:,當(dāng)時,如圖,,∴;當(dāng)時,點在上,點在上,如圖,此時,∴;解得,或(舍).故答案為:.【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象:通過分類討論,利用三角形面積公式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.2.2022北京冬奧會期間,某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款冰墩墩鑰匙扣,進貨價和銷售價如下表:(注:利潤=銷售價-進貨價)類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進貨價(元/件)3025銷售價(元/件)4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進A、B兩款鑰匙扣共30件,求兩款鑰匙扣分別購進的件數(shù)?(2)冬奧會臨近結(jié)束時,網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售,如果按照原價銷售,平均每天可售4件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每降價1元,平均每天可多售2件,將銷售價定為每件多少元時,才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元?【答案】(1)購進A款鑰匙扣20件,購進B款鑰匙扣件(2)30元或34元【分析】(1)設(shè)購進A款鑰匙扣x件,購進B款鑰匙扣件,根據(jù)等量關(guān)系:兩款鑰匙扣共花費850元,建立一元一次方程即可求解;(2)設(shè)將B款鑰匙扣銷售價定為每件y元時,才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元;由題意列出關(guān)于y的一元二次方程,解方程即可.【詳解】(1)解:設(shè)購進A款鑰匙扣x件,購進B款鑰匙扣件,由題意得:,解得:,則(件);答:購進A款鑰匙扣20件,購進B款鑰匙扣件.(2)解:設(shè)將B款鑰匙扣銷售價定為每件y元時,才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元,由題意得:,整理得:,解得:,,答:將B款鑰匙扣銷售價定為每件30元或34元時,才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元.【點睛】本題是方程的綜合,考查了一元一次方程與一元二次方程在實際中的應(yīng)用,正確理解題意,找到等量關(guān)系并列出方程是鑰匙的關(guān)鍵.3.某水果店以相同的進價購進兩批櫻桃,第一批80千克,每千克16元出售;第二批60千克,每千克18元出售,兩批車厘子全部售完,店主共獲利960元.(1)求櫻桃的進價是每千克多少元?(2)該水果店一相同的進價購進第三批櫻桃若干,第一天將櫻桃漲價到每千克20元出售,結(jié)果僅售出40千克;為了盡快售完第三批櫻桃,第二天店主決定在第一天售價的基礎(chǔ)上降價促銷,若在第一天售價基礎(chǔ)上每降價1元,第二天的銷售量就在第一天的基礎(chǔ)上增加10千克.到第二天晚上關(guān)店時櫻桃售完,店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤為850元,求第二天櫻桃的售價是每千克多少元?【答案】(1)櫻桃的進價是每千克10元(2)第二天櫻桃的售價是每千克15元或19元【分析】(1)設(shè)櫻桃的進價是每千克x元,根據(jù)“第一批80千克,每千克16元出售;第二批60千克,每千克18元出售,兩批車厘子全部售完,店主共獲利960元”,再列方程求解即可;(2)設(shè)第二天的售價為每千克y元,則第二天的銷量為千克,再根據(jù)總利潤為850元列方程解答即可.【詳解】(1)解:設(shè)櫻桃的進價是每千克x元,依題意得:,解得:,答:櫻桃的進價是每千克10元;(2)設(shè)第二天的售價為每千克y元,則第二天的銷量為千克,依題意得:,整理得:,解得:,,答:第二天櫻桃的售價是每千克15元或19元.【點睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用,一元二次方程的應(yīng)用,熟練的確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.4.某旅行社推出“跟團游”和“定制游”兩種旅行方式供客戶選擇.已知6月份該旅行社“跟團游”的銷售額為萬元,“定制游”的銷售額為萬元,“跟團游”平均每單的費用比“定制游”平均每單的費用少萬元,“跟團游”的訂單數(shù)是“定制游”訂單數(shù)的4倍,訂單按一人一單計算.(1)求“定制游”的單數(shù)為多少?(2)由于暑期是旅游旺季,消費水平整體升高,該旅行社預(yù)計7月份“跟團游”和“定制游”的訂單數(shù)分別比上月對應(yīng)訂單數(shù)多和,“跟團游”和“定制游”平均每單的費用分別比上月對應(yīng)每單多和,這樣預(yù)計7月份該旅行社總銷售額比上個月總銷售額的還多萬元,且,求a的值.【答案】(1)50(2)100【分析】(1)設(shè)“定制游”的單數(shù)為x,則“跟團游”的訂單數(shù)為,根據(jù)“6月份該旅行社跟團游的銷售額為萬元”列出分式方程,解方程并檢驗即可得到答案;(2)由(1)可知,6月份“跟團游”平均每單的費用為萬元,6月份“定制游”平均每單的費用為萬元,根據(jù)“7月份該旅行社總銷售額比上個月總銷售額的還多萬元”列出方程,解方程并取符合題意的答案即可.【詳解】(1)解:設(shè)“定制游”的單數(shù)為x,則“跟團游”的訂單數(shù)為,根據(jù)題意得解得:,經(jīng)檢驗,是原方程的解,也符合問題的實際意義答:“定制游”的單數(shù)為50.(2)由(1)可知,6月份“跟團游”平均每單的費用為萬元,6月份“定制游”平均每單的費用為萬元,“跟團游”的訂單數(shù)為,由題意得:則,化簡得:,解得:,∵,∴.【點睛】此題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用,讀懂題意,正確列出方程和解方程是解題的關(guān)鍵.5.由于疫情反彈,某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測,9月7日,醫(yī)院派出13名醫(yī)護人員到一個大型小區(qū)設(shè)置了、兩個采樣點進行核酸采樣,當(dāng)天共采樣9220份,已知點平均每人采樣720份,點平均每人采樣700份.(1)求、兩點各有多少名醫(yī)護人員?

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