專題13 幾何中的折疊與旋轉(zhuǎn)問題（原卷版）

專題13幾何中的折疊與旋轉(zhuǎn)問題目錄一、熱點題型歸納【題型一】平移變換問題【題型二】折疊問題問題【題型三】旋轉(zhuǎn)變換問題二、最新模考題組練【題型一】平移變換問題【典例分析】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，且A(﹣2，0)，直線BC的解析式為y3．(1)求拋物線的解析式；(2)過點A作ADBC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE、EB、BD、DC，求四邊形BECD面積的最大值時相應(yīng)點E的坐標；(3)將拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在(2)中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【提分秘籍】基本規(guī)律1.平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；2.圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；3.圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．4．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等。【變式演練】1．平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，b），a，b滿足，將線段AB平移得到CD，A，B的對應(yīng)點分別為C，D，其中點C在y軸負半軸上．（1）求A，B兩點的坐標；（2）如圖1，連AD交BC于點E，若點E在y軸正半軸上，求的值；（3）如圖2，點F，G分別在CD，BD的延長線上，連結(jié)FG，∠BAC的角平分線與∠DFG的角平分線交于點H，求∠G與∠H之間的數(shù)量關(guān)系．2．兩個全等的直角三角形ABC和DEF重疊在一起，其中∠A＝60°，AC＝4．固定△ABC不動，將△DEF進行如下操作：(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖①，△DEF沿線段AB向右平移(即D點在線段AB內(nèi)移動)，連接DC，CF，F(xiàn)B，四邊形CDBF的形狀在不斷的變化，那么它的面積大小是否變化呢?如果不變化，請求出其面積．(2)猜想論證如圖②，當D點移到AB的中點時，請你猜想四邊形CDBF的形狀，并說明理由．(3)拓展探究如圖③，△DEF的D點固定在AB的中點，然后繞D點按順時針方向旋轉(zhuǎn)△DEF，使DF落在AB邊上，此時F點恰好與B點重合，連接AE，求sin【題型二】折疊問題【典例分析】如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=8，AC=6，點D是AB邊上的中點，點E是BC邊上的一個動點，連接DE，將△BDE沿DE翻折得到△FDE．

(1)如圖①，線段DF與線段BC相交于點G，當BE=2時，則_______；(2)如圖②，當點E與點C重合時，線段EF與線段AB相交于點P，求DP的長；(3)如圖③，連接CD，線段EF與線段CD相交于點M，當△DFM為直角三角形時，求BE的長．【提分秘籍】基本規(guī)律軸對稱變換的性質(zhì)

①關(guān)于直線對稱的兩個圖形是全等圖形。

②如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。

③兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。

④如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱?！咀兪窖菥殹?．數(shù)學(xué)興趣小組開展實踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的頂點落在一邊上．在△ABC中，AB＝9，BC＝6．(1)如圖1，若∠ACB＝90°，將△ABC沿CM折疊，使點B與邊AB上的點N重合，求BM的長(2)如圖2，若∠ACB＝2∠A，將△ABC沿CM折疊，使點B與邊AC上的點N重合，①求AC的長；②若O是AC的中點，P為線段ON上的一個動點，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，與相交于點，則的取值范圍為．2．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合），直線是經(jīng)過點的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應(yīng)點是點B′．(1)基礎(chǔ)圖形：如圖1，當PB＝4時，若點B′恰好在AC邊上，求的長度；(2)模型變式：如圖2，當PB＝5時，若直線l∥AC，則的長度為______；(3)動態(tài)探究：如圖3，點在邊上運動過程中，點到直線的距離為．①如果直線始終垂直于，那么的值是否變化？若變化，求出的變化范圍；若不變化，求出的值；②當時，請直接寫出在直線的變化過程中，的最大值．【題型三】相似三角形的存在性問題【典例分析】如圖1，在中，，，點，分別在邊，上，且，連接．現(xiàn)將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接，，．(1)當時，求證：；(2)如圖3，當時，延長交于點，求的度數(shù)；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究的面積的是否存在最小值，若存在寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)和面積最小值，若不存在，請說明理由．【提分秘籍】基本規(guī)律圖形通過旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化。【變式演練】1．把兩個等腰直角和按如圖所示的位置擺放，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖，連接，，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)求證：．(2)如圖3，若點在線段上，且，，求的長．(3)當旋轉(zhuǎn)角時，的面積最大．2．如圖，在四邊形中，，，．將沿剪下來，以為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，、與所在的直線的交點分別為、．(1)求證：；(2)當旋轉(zhuǎn)角為時，如圖2所示，求重疊部分的面積；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，如圖3所示，求的長；(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，若，請直接寫出的長（用含的式子表示）．1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形中，是邊上的一個動點（不與，點重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，過點作，交的延長線于點．(1)探究的形狀；(2)求證：；(3)若延長交于點，，求的正切值．2．（2023·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知和為等腰直角三角形，，，，將兩三角形如圖1所示放置，其中、、在同一直線上，．現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．(1)如圖2，當線段過點時，若，，則的度數(shù)為______；(2)若點在邊的延長線上，連接，請在圖3中補全圖形，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點為的中點，旋轉(zhuǎn)至如圖4所示位置，連接、交于點，交于點，且3．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）【問題思考】如圖1，點是正方形內(nèi)的一點，過點的直線，以為邊向右側(cè)作正方形，連接，直線與直線交于點，則線段與之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當點是正方形外的一點時，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】如圖3，點是邊長為6的正方形所在平面內(nèi)一動點，【問題思考】中其他條件不變，則動點到邊的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．4．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）問題提出：已知矩形，點為上的一點，，交于點．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】探究一：如圖，已知正方形，點為上的一點，，交于點．（1）如圖1，直接寫出的值；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖，已知矩形，點為上的一點，，交于點．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到、的對應(yīng)點分別為、點，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出的值．【一般規(guī)律】如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．5．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）已知：拋物線經(jīng)過，，，三點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點為直線上方拋物線上任意一點，連，交直線于點，設(shè)，求當取最大值時點的坐標，并求此時的值；(3)如圖2，是的正半軸上一點，過點作軸的平行線，與直線交于點，與拋物線交于點，連結(jié)，將沿翻折，的對應(yīng)點為．在圖2中探究：是否存在點，使得四邊形是菱形？若存在，請求出的坐標；若不存在，請說明理由．6．問題情境：如圖1，P是外的一點，直線PO分別交于點A，B．(1)探究證明：如圖2，在上任取一點C(不與點A