2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練11開放探究含解析

開放探究

1.定義：到三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做三角形的“中垂心”.如圖1,在AABC中，PA=PB,那

么點(diǎn)P叫做AABC的“中垂心”.

（1）根據(jù)定義，中垂心可能在三角形頂點(diǎn)處的三角形有（舉一個(gè)例子即可）；

（2）應(yīng)用：如圖2；在AABC中，請(qǐng)畫出“中垂心"P,使PA=PB=PC.（保存作圖痕跡，不寫畫法）

（3）探究：①如圖3,AABC為直角三角形，ZC=90°,ZABC=60°,AC=4百，"中垂心"P在AC邊上，

求PA的長(zhǎng).

②如圖4,假設(shè)PA=PB且“中垂心"P在aABC內(nèi)部，總有AC+BO2AP,請(qǐng)說明理由.

【解析】解：（1）根據(jù)題意，假設(shè)點(diǎn)C為△ABC的“中垂心"

可得CA=CB

...△ABC為等腰三角形

故答案為：等腰三角形（答案不唯一）；

12）分別作出BC和AB的垂直平分線，交于點(diǎn)P

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC

???點(diǎn)P即為所求；

（3）①：NC=90°,ZABC=60°,

AZA=900-ZABC=30"

.\AB=2BC

設(shè)BC=x,那么AB=2x

VBC2+AC2=AB2

.,.x2+(46)2=(2x)

解得：x=4或-4（不符合實(shí)際，舍去）

.,.BC=4,AB=8

在AC邊上，NC=90°

.?.PB>PC,即不存在“中垂心"P,使PB=PC

假設(shè)PA=PB,如下列圖所示

設(shè)PA=PB=a,那么PC=AC-PA=46-a

,/PC2+BC2=BP2

（4\/3—a）2+42=a2

3

即PA=^；

3

假設(shè)PA=PC,如下列圖所示

那么點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)

；.PA=gAC=2百

綜上：PA=?1或26；

3

②理由如下

延長(zhǎng)AP交BC于D

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：AC+CD>AD,DP+DB>PB

；.AC+CD+DP+DB>AD+PB

.\AC+(CD+DB)+DP>PA+DP+PB

AAC+BOPA+PB

,/PA=PB

AAC+BO2AP

2.如圖，在八48c中，。為AC的中點(diǎn)，將八鉆。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2°(0<a<360)得到△￡「￡),連

結(jié)BE、CF.

(1)假設(shè)AABC為等邊三角形，試探究8E與C尸有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；

(2)假設(shè)AABC為等邊三角形，當(dāng)。的值為多少時(shí)，EE//AB?

(3)當(dāng)AABC不是等邊三角形時(shí)，(1)中結(jié)論是否仍然成立？假設(shè)不成立，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得結(jié)論成

立，并說明理由.

【解析】解(1)BE=CF,證明如下：

：BD為等邊AABC的中線，：?BD1AC,即NBDA=NBDC=90°,,；ZEDA=NFDB，；.

/EDA+/BDA=NFDB+NBDC,即NEDB=NCDF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=ZM=DC,

BD=FD，：.AEDB三ACDF,：.BE=CF.

(2)a=60或240.

當(dāng)a=60時(shí)，由AABC為等邊三角形，得到NA=60。，；.NA=/EDA=60°即〃A3；

當(dāng)a=240時(shí)，ZA-Z￡Z)C=60°,：.ED//AB.

(3)不成立，添加的條件為84=3。理由如下：

VBA=BC,DA=DC,：.BD±AC,即NBDC=NBDA=90°J；/EDA=/FDB,：.

NEDA+NBDA=NFDB+NBDC,即NEDB=NCDF.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ED，

DA=DC=DE,：.AEDB塾ACDF,：.BE=CF.

3.在中，AB-AC,點(diǎn)〃與點(diǎn)￡分別在4?、〃'邊上，DEHBC,且此如，點(diǎn)廠與點(diǎn)G分別在8G加邊

上，4FDG=\NBDE.

2

(1)如圖1,假設(shè)N4爐120°,DF1BC,點(diǎn)、G與點(diǎn)、C重合,g1,直接寫出冊(cè)；

(2)如圖2,當(dāng)G在線段用上時(shí)，探究線段即EG、bG的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(3)如圖3,當(dāng)G在線段四上時(shí)，直接寫出線段孫；EG、尸G的數(shù)量關(guān)系：

【解析】(1)VDE#BC,

.-.ZBDE+ZABC=180°,

VZBDE=120°,

/.ZABC=60°,

VDF±BF,

.?.NBFD=90°,

???DF二BF?tan600=1乂6二百，

VZCDF=-ZBDE=60°,ZDFC=90°，

2

CF=DF*tan600==3，

/.BC=BF+CF=l+3=4；

(2)如圖2中,結(jié)論：FG=BF+EG.

理由：在EA上截取EH,使得EH=BF.

圖2

VAB=AC,

AZB-ZC,

VDE//BC,

；.NADE=NB,NAED=NC,

ZADE=ZAED,

ZDEH=ZB,

在△DBF和△1)EH中，

"BF=EH

<ZB=ZDEH,

BD=DE

AADBF^ADEH(SAS),

；.DF=DH,ZBDF=ZEDH,

1

,/ZFDG=-ZBDE,

2

1

ZBDF+ZEDG=ZEDH+ZEDG=ZGDH=-ZBDE,

2

...NGDF=NGDH,

在aDGF和△DGH中，

'DF=DH

<ZGDF=ZGDH,

DG=DG

.,.△DGF^ADGH(SAS),

；.FG=HG,

：HG=EG+HE=EG+BF,

；.FG=BF+EG；

(3)如圖3中,結(jié)論:FG=BF-EG.

H卜

理由：在射線EA上截取EH,使得E1I=BF.

圖3

VAB=AC,

ZB=ZC,

VDE/7BC,

AZADE=ZB,ZAED=ZC,

.\ZADE=ZAED,

AZDEH=ZB,

在△DBF和ADEH中，

'BF=EH

<NB=乙DEH,

BD=DE

.,.△DBF^ADEIl(SAS),

.\DF=DH,/BDF=NEDH,/.ZBDE=ZFDH,

11

ZFDG=-ZBDE=-ZFDH,

22

/.ZGDF=ZGDH,

在ADGF和△DGH中，

DF=DH

<NGDF=NGDH,

DG=DG

.,.△DGF^ADGH(SAS),

.?.FG=HG,

,/HG=HE-GE=BF-EG,

，F(xiàn)G=BF=-EG.

4.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(16,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(o,12),將AAOB沿直線CO對(duì)折，使點(diǎn)A與點(diǎn)8重合，

直線CO與x軸交于點(diǎn)C與4B交于點(diǎn)D.

(1)求出AB的長(zhǎng)度；

12)求AAOC的面積；

(3)在平面上是否存在點(diǎn)P,使得△P4B是等腰直角三角形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，假設(shè)不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解析】解：(1)???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(16,0),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(0,12),

.*.0A=16,0B=12,

在RtAAOB中，AB^yJO^+OB2

=20,

AAB=20；

(2)如圖，連接B如

???折疊，

.".AC=BC,ZADC=ZBDC=90°,AD=BD=10,

設(shè)AC=BC=x,那么0C=16—x,

在Rt△BOC中，OC2+OB2=BC1，

：.(16-X)2+122=X2,

25

解得x二二，

2

.?.在RtAACD中，CD=yjAC2-AD2

?fADcfo.CO

75

=--,

2

75

，△ADC的面積為—；

2

⑶如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限,PB=AB_aZPBA=90°時(shí),

過點(diǎn)P作PELOB交y軸于點(diǎn)E,

那么NPEB=NA0B=90°,

AZPBE+ZBPE=90°,

VZPBA=90°,

.\ZPBE+ZAB0=90°,

???NBPE=NAB0,

\'ZPEB=ZAOB,ZBPE=ZAB0,PB=AB,

/.APEB^ABOA,

/.PE=OB=12,BE=0A=16,

.\0E=BE+0B=28,

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,28),

如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在第三象限，PB=AB且NPBA=90°時(shí)，

過點(diǎn)P作PF1OB交y軸于點(diǎn)F,

那么NPFB=NA0B=90°,

???NPBF+NBPF=90°，

VZPBA=90°,

???NPBF+NAB0=90°,

：.ZBPF=ZABO,

VZPFB=ZAOB,ZBPF=ZABO,PB=AB,

AAPFB^ABOA,

.??PF=OB=12,BF=OA=16,

/.0F=BF-0B=4,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-12,—4),

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，PA=AB且NPAB=90°時(shí),

過點(diǎn)P作PGLOA交x軸于點(diǎn)G,

那么NPGA=NA0B=90°,

AZPAG+ZAPG=90°,

VZPAB=90°,

.\ZPAG+ZBAO=90°,

???ZAPG=ZBAO,

VZPGA=ZAOB,ZAPG=ZBAO,PA=AB,

AAPAG^AABO,

APG=OA=16,AG=OB=12,

???OG=OA+AG=28,

工點(diǎn)P的坐標(biāo)為(28,16),

如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限，PA=AB且NPAB=90°時(shí),

過點(diǎn)P作PH10A交x軸于點(diǎn)H,

那么NPHA=NA0B=90°,

.'.ZPAH+ZAPG=90°,

VZPAB=90°,

AZPAH+ZBA0=90°,

JZAPH=ZBA0,

VZPHA=ZAOB,ZAPH=ZBA0,PA=AB,

AAPAH^AABO,

APH=0A=16,AH=OB=12,

???0H=0A-AH=4,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,-16）,

如圖5,當(dāng)點(diǎn)P在第四象限，PA=PB且NAPB=900時(shí)，

過點(diǎn)P作PMLOB交y軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作ANJ_PM,交MP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

那么NPNA=NPMB=90°,

/.ZPAN+ZAPN=90°,

VZAPB=90°,

/.ZAPN+ZBPM=90°,

AZPAN=ZBPM,

VZPNA=ZPMB,ZPAN=ZBPM,PA=PB,

/.APAN^ABPM,

???PM=AN,BM=PN,

設(shè)PM=AN=a,

那么PN=BM=12+a,

VMN=0A=16,

.??a+12+a=16

解得a=2,

，PM=2,0M=AN=2,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2),

如圖6,當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，PA=PB且NAPB=90°時(shí)，

過點(diǎn)P作PIJ_OB交y軸于點(diǎn)I,過點(diǎn)A作AJ_LPL交IP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,

那么NPJA=NPIB=90°,

.\ZPAJ+ZAPJ=90°,

VZAPB=90°,

AZAPJ+ZBPI=90°,

.\ZPAJ=ZBPI,

VZPJA=ZPIB,ZPAJ=ZBPI,PA=PB,

AAPAJ^ABPI,

???PI=AJ,BI=PJ,

設(shè)PI=AJ=b,

那么PJ=BI=b-12,

VIJ=0A=16,

Ab+b-12=16,

解得b=14,

API=14,0I=AJ=14,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(14,14),

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12,28),(—12,—4),(28,16),(4,-16),(2,一2),(14,14).

5.n>2,且〃自然數(shù)，對(duì)I進(jìn)行如下“分裂"，可分裂成〃個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如圖：

即如下規(guī)律：

42=1+3+5+7.....;

(1)按上述分裂要求，52=，1()2可分裂的最大奇數(shù)為

(2)按上述分裂要求，/可分裂成連續(xù)奇數(shù)和的形式是：〃2=；

(3)用上面的規(guī)律求：("+1)2—"

【解析】解：(1)通過觀察算式可得平方數(shù)的分裂規(guī)律有：平方數(shù)的底數(shù)是多少，分裂后的奇數(shù)加數(shù)就有

多少個(gè)；奇數(shù)加數(shù)是從1開始算起的連續(xù)奇數(shù)，

...52=14-3+5+7+9.

又IO?=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19，

所以1()2可分裂的最大奇數(shù)為19；

故答案為52=1+3+5+7+9,19；

(2)由(1)可以進(jìn)一步得知，一個(gè)平方數(shù)分裂后的最大奇數(shù)等于平方數(shù)底數(shù)的2倍減去1,

可分裂的最大奇數(shù)為2n-l,

.?.〃2=1+吩5出+(n-),

故答案為〃2=1+32F54P+(n-)；

(3)由(2)得:

=1+3+5+?-+(2〃-1)+(2〃+1),

rv=1?+吩5短+(n-),

+-〃2=口+3+5+?+(丑-3+(1〃+2]_[+4$§■(??-=2n+l.

6.如圖，△ABC和4CDE都是等邊三角形，點(diǎn)E在BC上，AE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F.

(1)求證：AACE^ABCD；

(2)探究/CFD的度數(shù)；

(3)探究EF、DF、CF之間的關(guān)系.

【解析】解：(1)■△ABC和ACDE都為等邊三角形,

AZACE=ZBCD=60°,AC=BC,CE=CD,

在4ACE和aBCD中

AC=BC

<ZACE=ZBCD,

CE=CD

.,.△ACE^ABCD；

⑵延長(zhǎng)AF到Q,使FQ=DF,連接D延

AACE^ABCD,

ZCAE=ZCBD,

又：ZAEC=ZBEF,

AZAFB=ZACB=60°.

ZDFQ=60°,

...△DFQ是等邊三角形,

AZFDQ=ZFQD=60°,DF=DQ,

；.NCDF=NEDQ,

在ACDF和中

CD=DE

<ZCDF=ZEDQ,

DF=DQ

ACDF^AEDQ,

.,.ZCFD=ZDQF=60°；

(3)VACDF^AEDQ,

；.CF=EQ,

；EQ=DF+FQ=EF+DF,

.,.CF=EF+DF.

7.門)問題發(fā)現(xiàn)：如圖(1),在△山8和△況》中，OA=OB,OC=OD,ZA0B=NC0D=36°,連接4GBD

AT

交于點(diǎn)M.①——的值為；②N4監(jiān)的度數(shù)為：

BD

(2)類比探究：如圖(2),在△的6和4Ol力中，N4仍=/C(M=90°,/28=/%。=30°,連接/G

A(-

交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.請(qǐng)計(jì)算上的值及監(jiān)的度數(shù).

BD

(3)拓展延伸:在(2)的條件下，將△。而繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,加所在直線交于點(diǎn)M假設(shè)加1,

OB二岳,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)，與點(diǎn)"重合時(shí)〃■的長(zhǎng).

【解析】解：(1)①：NAOB=NCOD=36°,

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

???ZCOA=ZDOB,

又,.?OA=OB,OC=OD,

AACOA^ADOB(SAS),

JAOBD,

,AC

??-----

BD

故答案為：1；

②設(shè)AO與BD交于點(diǎn)E,

由①知，△COAgaDOB,AZCAO=ZDBO,

VZA0B+ZDB0=ZDE0,

ZAMB+ZCAO=ZDEO,

/.ZAOB=ZAMB=36°，

12)在△OAB和△OCD中,

VZA0B=ZC0D=90°,Z0AB=Z0CD=30°,

_ODOBA/3

Atan30°

~OC~~OA~~i

ZAOB+ZDOA=ZCOD+ZDOA,

即NDOB=/COA,

.'.△DOB^ACOA,

???生=￡3

BDOD

ZDB0=ZCA0,

VZDB0+Z0EB=90°,ZOEB-ZMEA,

AZCA0+ZMEA=90°，

；.NAMB=90°,

'4①如圖3-1,當(dāng)點(diǎn)M在直線OB左側(cè)時(shí),

在RSOCD中,Z0CD=30°,OD=1,

；.CD=2,

在Rt/XOAB中，ZOAB=3O°，OB=V13.

.,.AB=2V13-

由(2)知，/AMB=90°，且----5/3>

BD

：.設(shè)BD=x,那么AC=AM=也x,

在RtAAMB中,

AM2+MB2=AB2,

(0x〕2+(x+2)2=(2713)

解得,Xi=3,Xa=-4(舍去〕,

；.AC=AM=30

②如圖3-2,當(dāng)點(diǎn)M在直線0B右側(cè)時(shí),

在RtAAMB中,

AM2+MB=AB2,

，(&x)2+(X-2)2=(2713)2，

解得，Xi=4,Xz=-3（舍去〕,

D

a

.?.AC=AM=4G，/^M(C)

AgB

圖3-2

綜上所述，AC的長(zhǎng)為3石或.

8.綜合與實(shí)踐

(1)觀察理解：如圖1,AABC中，NACB=90°,AC=BC,直線/過點(diǎn)C,點(diǎn)A，B在直線/同側(cè),

BD±l,AE_L/,垂足分別為。，E,由此可得：NAEC=NCD3=90°,所以NC4E+NACE=90°,

又因?yàn)镹ACB=90°,所以N5CD+NACE=90。，所以NC4E=/B8,又因?yàn)?C=BC,所以

MEC三NCDB()；卜請(qǐng)?zhí)顚懭扰卸ǖ姆椒?

(2)理解應(yīng)用：如圖2,AE±AB＜且AE=AB,BCLCD,且BC=CD,利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)按

照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S=_____；

(3)類比探究：如圖3,RfA48c中，ZACB=90°,AC=4,將斜邊A3繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至A2，

連接8C,求AAB'C的面積.

(4)拓展提升：如圖4,點(diǎn)8,C在NM4N的邊AM、AN上，點(diǎn)、E,F在/腸W內(nèi)部的射線AO上，

Nl、N2分別是AABE、AC4F的外角.AB^AC，Z1=Z2=ZBAC.求證：CF+EF=BE；

【解析】(1)在A4EC和ACDB中，

：.MEC=ACDB(AAS),

故答案為：A4S；

(2)QAE^AB,NEAB=90。,BC=CD,ZBCD=9Q°,

由(1)得：A￡E4=AAGB,^BGC=\CHD,

AG=EF=6,AF=BG=3,CG=DH=4,CH=BG=3,

——

S=S梯形EFHO—2sAzJEF—2sAe—~(4+6)xl62x—x6x32x—x4x3—80—18—12=50.

(3)如圖3,過8'作B'ELAC于E,

由旋轉(zhuǎn)得：AB=Aff,

NBAB'=90°,AAEB'=\BCA,

AC—B，E=4.SMB.C=^AC-B'E=；x4x4=8；

14)?.?N1=N2=N1R4C,Nl=NBAE+ZABE，ZBAC=ABAE+ZG4F,Z2=ZFG4+ZC4F,

ZABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

在AABE和△C4F中，

.?.AABEMAC4F(ASA)；

;.BE=AF，CF=AE

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,4),0M與丁軸相切于點(diǎn)C,與8軸相交于A、B兩

點(diǎn).

(1)點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)分別是A(,),B[,),C(,).

[2)設(shè)經(jīng)過A、8兩點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式為y=：(x—5)?+%,它的頂點(diǎn)為E，拋物線的對(duì)稱軸與X軸

相交于點(diǎn)。，求證：直線￡4與OM相切.

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)尸(點(diǎn)尸在x軸的上方)，使AP8C是等腰三角形.如果存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【解析】⑴4(2,0),8(8,0),C(0,4).

提示：連結(jié)MC,那么MC垂直于V軸.：點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,4),M4=MC=5,ME>=4.在

用MW中，AD=JAM2_MD?=3,同理在RrABM。中，BO=3,二4（2,0）,B（8,0）,C（0,4）.

1Qiq(9、

(2)把A(2,0)代入y=；(x—5p+Z,解得％=-彳，y=\(x—5)2—尸［5,—如圖2,

連結(jié)M4,那么Mb=4+2=至，AF=y/AD2+FD2=—.

444

'：MA=5,：.F^+MA2=-=MF2,NM4F=90°,

16

即M4，AF，，E4與。M相切.

⑶?.?8(8,0),C(0,4),：.OC=4,08=8.在放AQBC中，8c?=。廠+=80.設(shè)尸(5,y),

y>0,如圖3.

①當(dāng)CP=CB時(shí)，在RfACM《中，Cq2=25+(y—4)2,...25+(y—4)2=80,y=4士底，：y>0,

”=4+屈，二￡(5,4+后)；

②當(dāng)3P=3c時(shí)，在RfAB。8中，3石=9+丁2,??.9+y2=8o,》=±歷，：y>0,)=歷，

巴(5,歷)；

③當(dāng)P3=PC時(shí)，P和Af重合，A(5,4).

綜上當(dāng)P(5,4+J方)、(5,歷)或(5,4)時(shí)，APBC是等腰三角形.

10.如圖，四邊形4靦，BE、加?分別平分四邊形的外角/場(chǎng)7和/.A約，假設(shè)N員切=a,ABCD=3

(1)如圖1,假設(shè)a+B=150°,求乙監(jiān)d/MT的度數(shù)；

(2)如圖1,假設(shè)班■與分相交于點(diǎn)G,/5修=45°,請(qǐng)寫出a、B所滿足的等量關(guān)系式；

(3)如圖2,假設(shè)a=6,判斷外4?、的位置關(guān)系，并說明理由.

【解析】解：(1)在四邊形4:滄9中，NBAANABONBCANADC=36Q°,

/力船■N4X-360°-(a+B),

VAMBC+ZABC=180°,ANDC+AADC=180°

:"MBC+/NDC=M°-Z^￡>180°-ZJ^=360°-(ZAB&ZADC)=360°-[360°-(a+B)]=

a+B,

Va+0=150°,

:.NMBC+NNDC=\5Q°,

⑵P-a=90°

理由：如圖1,連接協(xié)，

由(1)有，AMBaZNDC=a+B,

BE、加分別平分四邊形的外角乙儂?和NNDC,

11

ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-/NDC,

22

I11,I

4CBm/CDG=-NMBC+-ANDC=-(AMBC+/LNDC}s=-(a+B),

2222

在△&?中，在△/?⑦中，4BDC+NDBC=\80°-ZBCD=180Q-B,

在△初61中，5=45。，

：.4GB步乙GDB^ZBGD=\80°,

:"CBG+/CB//CDG+NBDC+/BGQ\8G,

UCBMNCDG)+[ABDC+ACDB]+Z5G9=180°,

-(a+p)+1800-0+45°=180°,

2

P-a=90°,

(3)平行,

理由：如圖2,延長(zhǎng)和交加1于〃，

由(1)有，/助盼/AZT=a+B,

???BE、以分別平分四邊形的外角NMBC和NNDC,

11

，ZCBE=-ZMBC,ZCDH=-ZNDC,

22

ZCBE+ZCDH=-/LMBC+-2NDC=-(AMBC+ANDC}[a+B),

2222

'：￡BCD=￡CDIhADHB,

：.ACDH=ABCD-ADHB=P-ADIIB,

:"CBE+3-NDHB=L(a+B),

2

：a=B,

：.NCBE+5-ADHB=-(B+B)=B,

2

：.ACBE=ADI1B,

：.BE//DF.

11.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，對(duì)于平面中的點(diǎn)P,。和圖形M，假設(shè)圖形〃上存在一點(diǎn)C,使

NPQC=90。，那么稱點(diǎn)。為點(diǎn)P關(guān)于圖形M的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)"，稱△PC。為點(diǎn)尸關(guān)于圖形”的“折轉(zhuǎn)三角

形”

⑴點(diǎn)A(4,0),3(2,0)

①在點(diǎn)2(2,2),Q(l，—6)，2(4,-1)中，點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)A的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”是；

②點(diǎn)。在直線)'=一％上，假設(shè)點(diǎn)。是點(diǎn)。關(guān)于線段AB的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)通的取值范圍；

12)67的圓心為?,0),半徑為3,直線y=x+2與x,y軸分別交于七，E兩點(diǎn)，點(diǎn)P為eT上一點(diǎn)，

假設(shè)線段所上存在點(diǎn)P關(guān)于eT的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且對(duì)應(yīng)的“折轉(zhuǎn)三角形"是底邊長(zhǎng)為2的等腰三角形，直

接寫出f的取值范圍.

【解析】(1)①根據(jù)"折轉(zhuǎn)點(diǎn)”的定義，要使得NOQA=90。的Q才是點(diǎn)0關(guān)于點(diǎn)A的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

如圖，根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),

0Q=2五,AQ=2叵,0A=4,那么。。:+AQ：=OA?,

N。。A=90°,Q1是點(diǎn)0關(guān)于點(diǎn)A的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

。。2=2,A0=2石，0A=4,那么OQ??+A。?？=,

NOQ2A=90°,2點(diǎn)0關(guān)于點(diǎn)A的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

?.?/。4。3=90°,.?.2不是，

故答案是：。1，02：

②如圖，點(diǎn)。為點(diǎn)。關(guān)于線段A8的折轉(zhuǎn)點(diǎn)，那么在線段A8上存在點(diǎn)C，使得NODC=90。，即。在

以O(shè)C為直徑的圓上(不含。，C點(diǎn))，因此，當(dāng)點(diǎn)C在A8上運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有可能的。點(diǎn)組成的圖形為：

以(1,0)為圓心，半徑為1的圓，和以(2,0)為圓心，半徑為2的圓及其之間的局部，(不含x軸上的點(diǎn)).直

線〉=一%與內(nèi)圓交于E，與外圓交于尸，線段EF即為直線上。點(diǎn)可能的位置，

過點(diǎn)E作軸于"，連接3E,那么NOEB=90°,因?yàn)橹本€丁=一次,NAQE=45°,因此AQEB

為等腰直角三角形，OE=BE,由三線合一，知OH=HB,〃為(1,0),即E點(diǎn)橫坐標(biāo)為1,

同理可得，尸點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,

...點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取值范圍是14W2；

(2)根據(jù)題意，記線段EF上的點(diǎn)是Q,當(dāng)eT上存在一點(diǎn)C,使NPQC=90°的時(shí)候，那么線段EF上存在

點(diǎn)P關(guān)于eT的“折轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

?..“折轉(zhuǎn)三角形"是等腰直角三角形，

；.Q點(diǎn)一定在線段PC的垂直平分線上，

?..點(diǎn)P、C都是圓上的點(diǎn)，線段PC是eT的弦,

圓心T也在線段PC的垂直平分線上，

AT和Q是共線的，且它們之間的距離是固定的，

???等腰直角三角形的底是2,

???Q到線段PC的距離是1,

VeT的半徑是3,弦長(zhǎng)PC是2,

,根據(jù)垂徑定理可以算出圓心T到線段PC的距離是2夜，

QT=l+2應(yīng),

根據(jù)直線y=x+2求出￡（—2,0）、F（0,2）,

如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的位置上的時(shí)候，

①制=2,。（=1+20,根據(jù)勾股定理求得0工=55+40，那么［=）5+40；

②同上。7；=75+472，那么f=-75+472；

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)E的位置上的時(shí)候，

③電=1+20,那么r=l+2應(yīng)-2=20-1；

④以=1+20,那么/=-