2021年上海市浦東新區(qū)華師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）

2021年上海市浦東新區(qū)華師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）

一、填空題

1.（3分）已知（2+i）z=i2021a?為虛數(shù)單位），則|彳|=.

2.（3分）若一個(gè)圓錐的軸截面是面積為4百的等邊三角形，則該圓錐的表面積為—.

3.（3分）若點(diǎn)尸（202?。┰趻佄锞€丁=4x上，點(diǎn)尸為該拋物線的焦點(diǎn)，則PF的值為.

4.（3分）圓C：F="y（。為參數(shù)）的圓心到直線/:卜7夜+3%為參數(shù)）的距離

[y=s\n0[y=1-3/

為—.

5.（3分）（24+』）"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為（用數(shù)字

X

填寫答案）.

6.（3分）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是

幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2%與多面體

在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面

上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體

在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2%-3'2=萬(wàn)，故

3

其總曲率為4萬(wàn)，則四棱錐的總曲率為—.

9

7.（3分）在數(shù)列｛〃"｝中，若對(duì)一切都有a=一3%，且所（出+a+%+???+%）=—，

n42

則6的值為.

8.（3分）己知函數(shù)y=a+cos<wx,xe\-7t,n\（其中，a,。為常數(shù)，且。>0）有且僅

有3個(gè)零點(diǎn)，則。的最小值是—.

9.（3分）關(guān)于x的不等式|x-24|+|x-3”|<4A:共有2021個(gè)整數(shù)解，則A的取值范圍為.

10.（3分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去（每次跳躍時(shí)，均從

一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀?，如圖所示，假

設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳四次之后停在A葉上的概率為.

11.（3分）已知A48C的外接圓圓心為O,|A3|=6,|AC|=8,AO=aAB+/3AC（a,/3e/?）,

若sin?加+為實(shí)數(shù)）有最小值，則參數(shù)f的取值范圍是.

12.（3分）關(guān)于x的方程2cos2x-sinx+a=0在區(qū)間［0,葺］上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是—.

二、選擇題

13.（3分）已知全集U,M,N是U的非空子集，且則必有（）

A.MCNB.M衛(wèi)4NC.M=^ND.McN

14.（3分）"，〃=2"是"直線2x+叼+1=0與直線+2y-l=0平行"的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

15.（3分）已知函數(shù)外幻=上三的反函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（-1,3）,則實(shí)數(shù)。的值是（

x-a-\

）

A.2B.3C.-3D.-4

16.（3分）設(shè)Ovbvav4ft,〃2>0,若三個(gè)數(shù)"十",y/2+b2-ab,/小能組成一個(gè)三

2a

角形的三條邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（乎1）B.（1,73）C.［理-（，2］D.（73,2）

三、解答題

17.如圖在三棱錐2一ABC中，棱AB、AC、AP兩兩垂直，A8=AC=AP=3,點(diǎn)M在AP

上，且4^=1.

（1）求異面直線8M和PC所成的角的大??；

（2）求三棱錐P-3A/C的體積.

R

18.若函數(shù)y=/(x)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值不，在其定義域內(nèi)都存在唯一的馬，使

/(%)/(%)=1成立,則該函數(shù)為“依附函數(shù)”.

(1)判斷函數(shù)g(x)=sinx是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由;

(2)若函數(shù)/(X)=2*T在定義域又，加(加＞0)上“依附函數(shù)”,求,〃〃的取值范圍.

19.由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月

份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月1日考察山東煙臺(tái)一

處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大

上”一樣，是中國(guó)的生機(jī).某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者陳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂?，?jīng)營(yíng)冷飲生意.已

知該商場(chǎng)門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中NAPB=120。，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個(gè)

路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)/?到區(qū)域邊界R4,P8的距離分別為RS=4加，RT=6m,(加為長(zhǎng)度單位).陳

某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)/?修建一條長(zhǎng)椅(點(diǎn)例，N分別落在巴，PB上,長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗

細(xì)忽略不計(jì))，以供購(gòu)買冷飲的人休息.

(I)求點(diǎn)P到點(diǎn)R的距離；

(II)為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)E0等于多少時(shí)，該三角形尸肱V區(qū)域面積最??？并求出面積的

最小值.

20.已知如圖，曲線「由曲線G$+1=1(%0)和曲線C,:之一斗■川。〉。)組

ab~ab"

成，其中點(diǎn)耳，6為曲線G所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)工，巴為曲線g所在圓錐曲線的焦

點(diǎn)、.

(1)若瑪(2,0),月(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作斜率為正數(shù)的直線/平行于曲線G的漸近線，交曲線G于點(diǎn)A，B,求弦A3

的中點(diǎn)M的軌跡方程；

(3)對(duì)于(1)中的曲線「，若直線(過(guò)點(diǎn)心交曲線G于點(diǎn)C，D,求ACD6面積的最大

值.

21.已知無(wú)窮數(shù)列｛〃“｝滿足：4=0,%=4+c(〃eN-,ce7?).對(duì)任意正整數(shù)〃..2,記

M"=｛c|對(duì)任意心｛1,2,3,|a,|?2｝,M=｛c|對(duì)任意ieM,|a,|“2｝.

(I)寫出,M3；

(II)當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)人,使得cew,；

(III)求集合M.

2021年上海市浦東新區(qū)華師大附中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（4月份）

參考答案與試題解析

一、填空題

1.（3分）已知（2+i）z=/⑼（z'為虛數(shù)單位），則|（|=_苧

［解答］解:(2+i)z=i202'=i2020n=i，

z(2-/)12.

=—+-z

2+i(2+0(2-；)55

故答案為：—.

5

2.（3分）若一個(gè)圓錐的軸截面是面積為46的等邊三角形，則該圓錐的表面積為_12）

【解答】解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,

則等邊三角形的面積為*疝60。=@。2=46,解得a=4,

24

所以該圓錐的底面圓半徑為r=2,母線長(zhǎng)為/=4,

所以圓錐的表面積為S=S底面+4q萬(wàn)”=%乂22+乃*2*4=12萬(wàn).

故答案為：12萬(wàn).

3.（3分）若點(diǎn)尸（2021/）在拋物線丁=4x上，點(diǎn)F為該拋物線的焦點(diǎn)，則PF的值為2022

【解答】解：?.?拋物線方程為V=4x,可得2p=4,K=l.

.?.拋物線的焦點(diǎn)為F（l,0）,準(zhǔn)線為x=-L

根據(jù)拋物線的定義，可得點(diǎn)尸（2021,。到F的距離等于P到準(zhǔn)線的距離，

即|P尸1=2021-（-1）=2022.

故答案為：2022.

4.（3分）圓的為參數(shù)）的圓心到直線/:卜=-2夜+3%為參數(shù)）的距離為

[y=sin。[y=l-3r

2.

Y=I_i_ccq（7

【解答】解：圓C:-.；（。為參數(shù)）即（x-l）2+y2=i,表示以（1,0）為圓心、以1

[y=sin9

為半徑的圓.

直線=夜+3/。為參數(shù)）化為普通方程為x+2夜=1一>,即x+y+20-1=0.

y=1-3/

圓心到直線/的距離為UtP+芋二」=2,

V2

故答案為2.

5.（3分）（2石+!）"展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為80（用數(shù)

X

字填寫答案）.

【解答】解：由題意得2"=32,所以〃=5,

所以展開式的通項(xiàng)為加=C；（2石尸g>=瑪25Tx號(hào)，令三生=1,得廠=[,

所以展開式中x的系數(shù)為C25T=80,

故答案為：80.

6.（3分）北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫空間的彎曲性是

幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2萬(wàn)與多面體

在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面

上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和，例如：正四面體

在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2萬(wàn)-3/工=萬(wàn)，故

3

其總曲率為4萬(wàn)，則四棱錐的總曲率為_4萬(wàn)_.

【解答】解：由題意可知，四棱錐的總曲率等于四棱錐各頂點(diǎn)的曲率之和，

可以從整個(gè)多面體的角度考慮，所有頂點(diǎn)相關(guān)的面角就是多面體的所有多邊形表面的內(nèi)角的

集合，

由圖可知四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，其中4個(gè)三角形，1個(gè)四邊形，

所以四棱錐的表面內(nèi)角和由4個(gè)為三角形，1個(gè)為四邊形組成，

所以面角和為44+2萬(wàn)=6乃，

故總曲率為5x2%一64=4%.

故答案為：4%.

則q的值為--12

【解答】解：在數(shù)列｛4｝中，若對(duì)一切〃￡N*都有4=-3〃1,

可得數(shù)列｛an｝為公比為-g的等比數(shù)列,

.、9

lim（a+%+4+…+%”）=—，

22

1

%（1-尸）%q「鏟=9

可得lim

n-x?1一/\-（12-.1-2

9

可得q=-12.

故答案為：-12.

8.（3分）已知函數(shù)y=a+cos〃zx,xG[-7T,）]（其中，a,刃為常數(shù)，且G>0）有且僅

有3個(gè)零點(diǎn)，則。的最小值是2.

【解答】解：???y=a+cos5,xG\-n,T]是偶函數(shù)，

.?.若y=a+COS69X,XG[-7V,乃]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則必有一個(gè)零點(diǎn)是0,則。+1=0,得4=一1,

由y=-1+COS5=0得COS5=1,

XG\-n,4],COXG[-CD7T,CO7U],

設(shè)/=，則f￡[-CD7T,CO7U],

作出y=cosr與y=1的圖象如圖：

則2兀,、④rv44，得Z,。<4,

即。的最小值是2,

9.（3分）關(guān)于x的不等式|x-2幻+次-3%|＜4左共有2021個(gè)整數(shù)解，則A的取值范圍為

505』＜鼠5051.

93-

【解答】解：顯然人＞0,由|x-2A:|+|x-3k|＜4?,根據(jù)絕對(duì)值的定義畫出圖形，如圖所示：

———＞

$2k3k*

解絕對(duì)值不等式得［左＜》＜2左，

22

Q1

因?yàn)楣灿?021個(gè)整數(shù)解，所以2020＜：%-/火,,2022,

解得505＜左,505-,

2

11Q

所以252上＜上院252士,故這2021個(gè)整數(shù)解只能為253,254,2273,

224

911

所以2273＜/%,,2274,解得505§＜公505§;

所以上的取值范圍是505^〈院505g.

故答案為：5051＜七,5051.

93

10.（3分）荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來(lái)跳去（每次跳躍時(shí)，均從

一葉跳到另一葉），而且逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀?，如圖所示，假

設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳四次之后停在A葉上的概率為—

一27一

【解答】解：因?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛱母怕适琼槙r(shí)針?lè)较蛱母怕实膬杀?

所以逆時(shí)針?lè)较蛱母怕适?,順時(shí)針?lè)较蛱母怕适荓

33

若青蛙在A葉上，則跳四次之后停在A葉上，

則滿足四次跳躍中有2次是順時(shí)針?lè)较蛱?，?次是逆時(shí)針跳，

若先按逆時(shí)針開始從A->8,則剩余3次中有1次是按照逆時(shí)針，其余2次按順時(shí)針跳,

則對(duì)應(yīng)的概率為-xC；x-x（%=—;

33327

若先按順時(shí)針開始從AfC,則剩余3次中有1次是按照順時(shí)針，其余2次按逆時(shí)針?跳，

則對(duì)應(yīng)的概率為L(zhǎng)xC；xlx（-）2=A；

33327

故跳四次之后停在A葉上的概率為&+±=旦.

272727

故答案為：—.

27

11.（3分）已知/\/記。的外接圓圓心為0,|45|=6,|4。=8,AO=aAB+pAC［a,p&R）,

若sin?犯9+￡-》（/為實(shí)數(shù)）有最小值，則參數(shù)，的取值范圍是

【解答】解：取中點(diǎn)M,則QM_L4?且平分4?,

而同=2做麗'=2|初|而|cosNM4O=2|訴『=2x3?,

同理可得，^OD4C=2x42=32,

由已知彳UAOTAB=36a+48/?cosA=18

AOTMC=48acosA+64月=32

3-4cosA

a=---------

6sin~A

A_4-3cosA

"-85〃2A

.°-c1、/(3-4cosA)4-3cosAsin2A

sin"陽(yáng)汝+月——)=---------+-----------------3+3COSA+L

26822382

令m=cosA,則加￡(一1,1),

?/y=-nT—(―+3)6+,有最小值,

2382

23、

—（—H—）

3315

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，加=——￡（一1』）二一土<t<—.

2x11616

2

故答案為：,—）

1616

12.（3分）關(guān)于x的方程2cos2x-sinx+a=0在區(qū)間［0,高］上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是_(-9--2)口(-2-1)_.

8

【解答】解：由題意，方程可變?yōu)閍=-2cos2x+sinx,令/=$皿%，

11

由0<&'7r，可得此［_」，1］.

62

17r1

①當(dāng)工￡［乃，——］時(shí)，rG［——，0］,此時(shí)，“與，---對(duì)應(yīng).

62

由題意可得，關(guān)于f的方程。=2r+/-2,當(dāng)g，0］應(yīng)有2個(gè)實(shí)數(shù)根，

即直線y=a和函數(shù)y=2產(chǎn)+1-2,當(dāng)，日一^，0］應(yīng)有2個(gè)交點(diǎn).

1171

當(dāng),二一上時(shí)，>=2/+/—2有最小值一上,當(dāng)，二一上或0時(shí)，a=2t2+t-2=-2.

482

17

此時(shí)，應(yīng)有4￡(一上，-2］.

8

但當(dāng)。=一2時(shí)，t=--或0,在區(qū)間［0,—］±,對(duì)應(yīng)x=O或4或立，

266

關(guān)于X的方程2cos2x-sinx+“=O在區(qū)間［0,二］上有3個(gè)實(shí)數(shù)根，

6

故不滿足條件，應(yīng)舍去，故ae(-□,-2).

8

②當(dāng)xe(0,%),且XH工時(shí)，有2個(gè)x與一個(gè)f值對(duì)應(yīng).

2

故由題意可得，關(guān)于/的方程。=2產(chǎn)+-2,當(dāng)fe(0,l)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

即直線y=a和曲線y=2/+r-2在(0,1)上有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：

此時(shí)，6Z€(-2,1).

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-，，-2)。(-2,1),

17

故答案為(-/,-2)U(-2,1).

13.（3分）已知全集U,M,N是U的非空子集，且屯MqN,則必有（）

A.M《NB.MC.M=Q；ND.MqN

【解答】解：集合M,N的關(guān)系如圖所示:

則由圖可得MqG,N,

14.（3分）"m=2”是“直線2x+叼+1=0與直線爾+2y-l=0平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【解答】解：當(dāng)機(jī)=0時(shí)，兩直線等價(jià)為2%+1=0,2y-1=0,此時(shí)兩直線不平行，即〃?工0,

當(dāng)機(jī)#0時(shí)，若兩直線平行則滿足2='片_!_,

m2

由工=生得機(jī)2=4,得機(jī)=12,

m2

由得加工一2,

2-1

綜上m=2,

即“m=2”是"直線2x+my+l=0與直線的+2y—1=0平行”的充要條件,

故選：D.

15.(3分)己知函數(shù)/(幻=上二的反函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是(-1,3),則實(shí)數(shù)。的值是(

x-a-\

)

A.2B.3C.-3D.-4

【解答】解：函數(shù)/'(幻=±±■的反函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是(-1,3),所以原函數(shù)的對(duì)稱中

x-a-\

心為(3,-1)>

函數(shù)化為/(%)='~—=-14--------—?所以a+l=3,所以a=2.

x-a-\x-a-1

故選：A.

16.(3分)設(shè)Ovbvav4/7,m>0,若三個(gè)數(shù)"十",\la2+b~-ab,能組成一個(gè)三

角形的三條邊長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(

A.—，1)B.(1,^3)

【解答】解：*/0<Z?<a<4Z?,m>0,

令x="+"，y=yJa2+b2-ab,z=myjah,

2

222=—京2

x—y=(—)——aba—b)0,

<y/a2+b1-ab，

2

二.xvy，

vx,y,z能組成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，

可得y-xvzvx+y,

艮口為J/2+〃-ab-"<m\[^vJa?+序-""+",

22

設(shè)可得1<@<4,可令，=色(1</<4),

bh

_/_2J礦+—ab-(a+b)2A/CI~b~—cib+(〃+/?)

即nn有--------=--------<2m<---------------=------------

y/ahyjah

即為2,/<2m<2Jt+-

由2」/+-

1+24,

當(dāng)且僅當(dāng)t=l上式取得等號(hào)，但可得2〃+；—1-(/++)>4,

則2科,4，即2；

又設(shè)％="+十￡（2,'|）可得2爪+；一1—（J+力=242-3—&,

由y=2護(hù)二i?的導(dǎo)數(shù)為y=—]=竺彳,

'^/P^3

由2<）<|可得2〃>>/公-3,即函數(shù)y為增函數(shù),

nJ^2y/k2-3-k<2j—-3--=^3--,

V422

即有2m..V13——>即有nt.，叵_3,

224

可得巫及版2,

24

故選：C.

三、解答題

17.如圖在三棱錐P-71BC中，棱4J、AC、"兩兩垂直，AB=AC=AP=3,點(diǎn)M在AP

上，且AM=1.

(1)求異面直線和PC所成的角的大小;

(2)求三棱錐P-3MC的體積.

【解答】解：（1）在AC上取點(diǎn)N,使/W=1AC=1,連接MN,BN,

3

■.?AP=3,AM=\,

.-.MN//PC,

ZBMN或其補(bǔ)角即為異面直線BM和PC所成的角,

在A6MV中，BM=回，MN=垃,BN=如，

BM2+MN?-BN22

由余弦定理知,cos/BMN=

2BMLMN2xVT5x夜-10

/BMN=arccos—,

10

異面直線BM和PC所成的角的大小為arccos

10

(2)V=V,^flC-XM.ABC=lsM/iCL(AP-AM)=lxlx3x3x2=3)

故三棱錐P-BMC的體積為3.

18.若函數(shù)y=/(x)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值占，在其定義域內(nèi)都存在唯一的々，使

f(xt\f(x2)=1成立，則該函數(shù)為“依附函數(shù)

(1)判斷函數(shù)g(x)=sinx是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)若函數(shù)f(x)=2'T在定義域〃］(m>0)上“依附函數(shù)”,求“7〃的取值范圍.

【解答】解：(1)對(duì)于函數(shù)g(x)=sinx的定義域R內(nèi)存在西=工，

6

則g(X2)=sinw=2,無(wú)解.

故g(x)=sinx不是“依附函數(shù)”；

(2)首先證明：當(dāng)“幻在定義域上［加，〃］上單調(diào)遞增，且為“依賴函數(shù)”時(shí)，有=

假設(shè)/(㈤/5)/1,則當(dāng)x=m時(shí)，存在x=pe(m,n),使得=1,

當(dāng)工=〃時(shí)，存在x=g￡(犯〃),(q豐p),使得/(〃)/(q)=1，

由于/(X)在定義域上向，網(wǎng)上單調(diào)遞增，故［"〃)>’5),

1/⑷>/(M

所以(4)>/.(〃?)/(P)與/(〃?)/(P)=f{n}f{q)=1矛盾，

故/(，*)/(〃)=1.

因?yàn)閒(x)=2'T在阿，川遞增，故/(加)/(〃)=1,

即2"i2"T=l,m+n=2,

由鹿>，">0,故〃=2—〃z>〃2>0,得

從而mn—m(2-in)在機(jī)w(0,1)上單調(diào)遞增，故mne(0,1).

19.由于2020年1月份國(guó)內(nèi)疫情爆發(fā)，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)大范圍停頓，餐飲業(yè)受到重大影響.3月

份復(fù)工復(fù)產(chǎn)工作逐步推進(jìn)，居民生活逐步恢復(fù)正常.李克強(qiáng)總理在6月I日考察山東煙臺(tái)一

處老舊小區(qū)時(shí)提到，地?cái)偨?jīng)濟(jì)、小店經(jīng)濟(jì)是就業(yè)崗位的重要來(lái)源，是人間的煙火，和“高大

上”一樣，是中國(guó)的生機(jī).某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)者陳某準(zhǔn)備在商場(chǎng)門前“擺地?cái)偂保?jīng)營(yíng)冷飲生意.已

知該商場(chǎng)門前是一塊角形區(qū)域，如圖所示，其中NAPB=120。，且在該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)R處有一個(gè)

路燈，經(jīng)測(cè)量點(diǎn)/?到區(qū)域邊界24,P8的距離分別為RS=4加，RT=6m,(加為長(zhǎng)度單位).陳

某準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)R修建一條長(zhǎng)椅MN(點(diǎn)V,N分別落在抬，尸B上,長(zhǎng)椅的寬度及路燈的粗

細(xì)忽略不計(jì))，以供購(gòu)買冷飲的人休息.

(I)求點(diǎn)P到點(diǎn)R的距離；

(H)為優(yōu)化經(jīng)營(yíng)面積，當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，該三角形尸肱V區(qū)域面積最?。坎⑶蟪雒娣e的

最小值.

【解答】解：（1）連接ST,

在中，ZSRT=180°-ZAPB=60°,

由余弦定理知，ST2=RS2+RT2-2RS-RTcosZSRT=42+62-2x4x6cos60°=28,

ST=2/1,

ST2+RT2-RS228+36-162幣

...cosNSTR=

2STRT2X2A/7X6-7

sin/.PTS=cosZSTR=短

7

SPST即畀;

在APST中，由正弦定理知,

sinZPTS~sinZAPB

7

3考,

連接收，在RtASPR中，PR2=RS2+SP2=42+

???陶警

故點(diǎn)P到點(diǎn)R的距離為生旦團(tuán).

3

1八

o

（2）由正弦面積公式知，SA/W,V=-\PM\-\PN\sinl20=-^-\PM\\PN\,

?.5“”川=5”而+5”.=5加|"/?|+｝尸兇"7?7|=，P加|乂4+3|9|*6=2|9|+3|9|

j3

:.^-\PM\\PN\=2\PM\+3\PN\..2>j6\PM\-\PN\,

:\PM\-\PN\.A2S,當(dāng)且僅當(dāng)2|PMb3|PN|,即|PM|=86，|PN|=峋5時(shí)，等號(hào)成立，

此時(shí)S^MN=^-|/>M|.|P7V|...^X128=325/3,

故當(dāng)尸加等于8K加時(shí)，該三角形尸腦V區(qū)域面積最小，面積的最小值為32也相.

2222

20.已知a>A>0,如圖，曲線「由曲線G:=+2r=l(%,0)和曲線:=-3=l(y>0)組

a~h-arb-

成，其中點(diǎn)耳，K為曲線G所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)瑞，E為曲線G所在圓錐曲線的焦

點(diǎn).

(1)若瑪(2,0),4(-6,0),求曲線「的方程；

(2)如圖，作斜率為正數(shù)的直線/平行于曲線G的漸近線，交曲線G于點(diǎn)A，B,求弦A3

的中點(diǎn)M的軌跡方程；

(3)對(duì)于(1)中的曲線「，若直線人過(guò)點(diǎn)心交曲線G于點(diǎn)C,D,求AC。月面積的最大

值.

【解答】解：(1)由題意得6(2,0)，片(-6,0),

"：+[=36,解得a2=20

所以

a_tr=4從=16

o222

則曲線「的方程為：—+—=l(y?0)———=l(y>0).

20162016

(2)由題意曲線C2的漸近線為：y=±-x,設(shè)直線/:丁=2(工一加),

a

b,、

y=-{x-m)

由，a,得一2〃a+(加一/)=(),

〃從-1

所以△=4/一8("/一/)>o,解得：—叵a<m<叵a,

又由數(shù)形結(jié)合知④相<血4.設(shè)點(diǎn)4區(qū)，乂)，3*2，%)，M(%)，%)，

22.

.im-a匚匚mbm

則m%]+工2=相，百入2=——'所以毛=7，%=一丁，

222a

所以%=一2%，即點(diǎn)M在射線y=--x,xe[-,-)上.

aa22

x22

(3)由(1)得，曲線G：與+t=1(%0),點(diǎn)瑪(6,0),

設(shè)直線4的方程為：x=ny+6(n>0),

x=ny+6

由Vy2得(5+4〃2)/+48叫+64=0,

---F..-1

12016

所以△=(48〃)2—4x64x(5+4/)>0=〃2>],

48〃64

設(shè)。(王，%)，。(尤4，%)，所以為+”62,12

5+4yl獷5+4n-

16ym-I

所以I%一"1="(%+乂)2-4%”=

5+4/

所以ACg面積S=g|耳瑞||%741=3x8x31+9^1=64K.普，，

令t=J7%>0,所以〃2=r+1,所以5=絲巨=竺§”電1

“+94f+23