2021年新初三數(shù)學(xué)北師大開學(xué)考模擬試卷2

2021年新初三數(shù)學(xué)北師大新版開學(xué)考模擬試卷2

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?金水區(qū)校級月考）下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.一個銳角和斜邊對應(yīng)相等

B.兩條直角邊對應(yīng)相等

C.兩個銳角對應(yīng)相等

D.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等

2.（2020秋?虎林市期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,4C=8,3,DC=AD,BD平分

NABC,則點(diǎn)。到48的距離等于（）

A.4B.3C.2D.1

3.（2021春?杏花嶺區(qū)校級月考）下列式子：（1）4>0；（2）2x+3y<0；（3）x=3；（4）x

Wy；（5）x+y：（6）x+3W7中，不等式的個數(shù)有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.（2020春?碑林區(qū)校級月考）比較a+3與〃-〃的大小，敘述正確的是（）

A.a+h^a-hB.a+h>a-b

C.由a的大小確定D.由b的大小確定

5.（2021春?天河區(qū)校級月考）漢字“王、人、木、水、口、立”中能通過單獨(dú)平移組成一

個新的漢字的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（2021?濟(jì)南模擬）如圖，△A8C沿8c所在直線向右平移得到△OEF,已知EC=2,BF

7.（2019春?漳州期中）若多項(xiàng)式x1-ax-1可分解為（x-2）（x+b）,則a+b的值為（）

A.2B.1C.-2D.-1

8.（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）多項(xiàng)式x3+6?y+W與丹-9xy3的公因式是（)

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(.x-3y)

9.(2010春?吉安期中)下列各式中，分式的個數(shù)是()

2a+2ba+ba+1(x-1)(x+2)、瓜

7,2，~7^'~T'/'"b'

A.2B.3C.4D.5

10.（2021春?莆田期末）如圖，在△ABC中，BD、CE是角平分線，AM_LBQ于點(diǎn)M,AN

_LCE于點(diǎn)N.ZVIBC的周長為30,8c=12.則例N的長是（

D.3

二.填空題（共5小題）

II.（2020春?齊齊哈爾期末）已知x-y=3,且x>2,），<1,則x+y的取值范圍是.

23

12.（2020秋?萊州市期中）在式子上、組、①上￡、工、三+工、9x+也中，分式有

a兀46+x78y

個.

13.（2016秋?德惠市期末）給出六個多項(xiàng)式：①/+y；②-7+y2；③④*4-1；

⑤x（x+l）-2（x+1）；-mn+—n2.其中，能夠分解因式的是（填上序

4

號）.

14.（2020春?漣源市期末）如圖，ZC=ZD=90°,添加一個條件：（寫出一

個條件即可），可使RtZ\ABC與RtAABD全等.

15.（2018春?吉州區(qū)期末）某小區(qū)有一塊長方形的草地（如圖），長18米，寬10米，空白

部分為兩條寬度相等的小路，則草地的實(shí)際面積/M2.

三.解答題(共10小題)

16.(2020秋?銅官區(qū)期末)分解因式：2m(〃?--)2-Sm2(n-/n)

17.(2021春?浦東新區(qū)校級期中)已知不等式(a+b)x+(2〃-36)<0的解集是

3

求關(guān)于x的不等式(a-3b)x>2a-b的解集.

18.(2021春?江北區(qū)校級期中)按要求完成下列各題：

22

(1)若(%-3)(%+/77)=/+〃x-15,求n的值.

8n+5

(2)已知(〃-2020)2+(2021-〃)2=3,求(?-2020)(2021-n)的值.

(3)已知多項(xiàng)式2/-3x3+a?+7x+6含有因式/+x-2,求星的值.

b

19.(2013秋?合浦縣期末)如圖，已知NA=/Q=90°,E、F在線段BC上，DE與AF

交于點(diǎn)O,且A8=C￡>,BE=CF.求證：RtAABF^RtADCE.

20.(2021春?鹽田區(qū)校級期中)已知：如圖，OC是/AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn),

PDLOA,PELOB,垂足分別為。、E,點(diǎn)尸是OC上的另一點(diǎn)，連接。F,EF.求證:

21.(2020春?漉河區(qū)月考)如圖所示，一塊長為18〃?，寬為12,”的草地上有一條寬為2m

的曲折的小路，求這塊草地的綠地面積.

22.(2020春?諜陽市期末)知識閱讀：我們知道，當(dāng)a>2時，代數(shù)式a-2>0；當(dāng)a<2

時，代數(shù)式a-2<0；當(dāng)a=2時，代數(shù)式a-2=0.

基本應(yīng)用：當(dāng)。>2時，用“>,<,="填空.

(1)a+50；

(2)(a+7)(a-2)0；

理解應(yīng)用：

當(dāng)。>1時，求代數(shù)式J+2”-15的值的大??；

靈活應(yīng)用：

當(dāng)a>2時，比較代數(shù)式a+2與a2+5a-19的大小關(guān)系.

23.(2019秋?連山區(qū)期末)仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：

例題：已知二次三項(xiàng)式x2-4x+〃?有一個因式是(x+3),求另一個因式以及根的值.

解：設(shè)另一個因式為(x+〃)，得

x2-4x+m—(x+3)(x+〃)

貝!]x2-4x+m=x2'+(n+3)x+3n

.fn+3=-4

lm=3n

解得：”=-7,m=-21

??.另一個因式為(x-7),m的值為-21

問題：仿照以上方法解答下面問題：

已知二次三項(xiàng)式2?+3x-A有一個因式是(2%-5),求另一個因式以及％的值.

24.(2021春?莆田期末)如圖，已知四邊形ABC。的對角線AC與BO相交于點(diǎn)O,且AC

=BD，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于點(diǎn)E、F.你能說出OE與

OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？

25.(2020春?鞏義市期末)如圖，長方形0ABe中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A、C

的坐標(biāo)分別為A(3,0)、C(0,2),點(diǎn)B在第一象限.

(1)寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)若過點(diǎn)C的直線交長方形的OA邊于點(diǎn)￡>,且把長方形OA8C的周長分成2：3的

兩部分，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如果將(2)中的線段CQ向下平移3個單位長度，得到對應(yīng)線段C'D',在平面

宜角坐標(biāo)系中畫出C,并求出它的面積.

2021年新初三數(shù)學(xué)北師大新版開學(xué)考模擬試卷2

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?金水區(qū)校級月考）下列條件中，不能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.一個銳角和斜邊對應(yīng)相等

B.兩條直角邊對應(yīng)相等

C.兩個銳角對應(yīng)相等

D.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等

【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.

【專題】圖形的全等.

【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案.

【解答】解：4、一個銳角和斜邊對應(yīng)相等，正確，符合A4S,

B、兩條直角邊對應(yīng)相等，正確，符合判定SAS；

C、不正確，全等三角形的判定必須有邊的參與；

D、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，正確，符合判定應(yīng).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA.AAS.HL.

注意：44A、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

2.（2020秋?虎林市期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,3DC=AD,BD平分

ZABC,則點(diǎn)。到AB的距離等于（）

CDA

A.4B.3C.2D.1

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【分析】過。作。于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出。E=CD,求出CO的長，再

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可.

【解答】解：過。作。ELAB于E,

VZC=90°,8。平分NABC,

：.DE=CD,

；AC=8,3DC=AD,

:.CD=2,

：.DE=2,

即點(diǎn)力到AB的距離是2,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩

邊的距離相等.

3.(2021春?杏花嶺區(qū)校級月考)下列式子：(1)4>0；(2)2x+3y<0；(3)x=3；(4)x

#y；(5)x+y；(6)x+3<7中，不等式的個數(shù)有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【考點(diǎn)】不等式的定義.

【分析】主要依據(jù)不等式的定義---------用“>”、“力"、“<”、"W”、“W”等不等

號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷.

【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，

所以(1),(2),(4),(6)為不等式，共有4個.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式.解

答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：

4.(2020春?碑林區(qū)校級月考)比較。+人與的大小，敘述正確的是()

A.a+b^a-bB.a+b>a-b

C.由。的大小確定D.由人的大小確定

【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì).

【專題】探究型.

【分析】由于本題是兩個式子比較大小，故可用作差法求出兩式的差，再根據(jù)〃、〃的符

號進(jìn)行討論.

【解答】解：a+b~（a-b）—a+b-a+b—2b>

...當(dāng)b20時，2b20,a+b^a-b,

當(dāng)匕<0時，2b<0,a+b<a-h.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)，先求出兩式的差，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)

討論兩式的大小是解答此題的關(guān)鍵.

5.（2021春?天河區(qū)校級月考）漢字“王、人、木、水、口、立”中能通過單獨(dú)平移組成一

個新的漢字的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象.

【分析】根據(jù)平移是沿某一直線移動，且不改變圖形的形狀和大小，結(jié)合題意進(jìn)行判斷.

【解答】解：“人”平移得到“從”，“木”平移得到“林”，“水”平移得到“淼”，“口”

平移得到“品”，所以通過平移組成一個新的漢字的有4個.

故選：D.

【點(diǎn)評】把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形

的形狀和大小完全相同，圖形的這種移動叫做平移.注意平移是圖形整體沿某一直線方

向移動.

6.（2021?濟(jì)南模擬）如圖，ZXABC沿BC所在直線向右平移得到△￡>￡/,已知EC=2,BF

【考點(diǎn)】平移的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；應(yīng)用意識.

【分析】利用平移的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，BE=CF,

；BF=8,EC=2,

:.BE+CF=8-2=6,

；.BE=CF=3,

平移的距離為3,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？?/p>

題型.

7.(2019春?漳州期中)若多項(xiàng)式f-ov-1可分解為(x-2)(x+6),則“+%的值為()

A.2B.1C.-2D.-1

【考點(diǎn)】因式分解的意義.

【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，把(x-2)(x+b)利用多項(xiàng)式乘法法

則展開即可求解.

【解答】解：：(x-2)(.x+h)=j?+bx-2x-2Z>=X2+(/>-2)x-2b=W-ax-L

:.b-2=-a,-2b=-1,

AZ?=0.5,Q=1.5,

:?a+b=2.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算.是中考中的常見題型.

8.(2021春?沙坪壩區(qū)校級月考)多項(xiàng)式尸+6/)，+9沖2與丹-9孫3的公因式是()

A.x(x+3y)2B.x(x+3y)C.xy(x+3y)D.x(x-3y)

【考點(diǎn)】公因式.

【專題】整式；運(yùn)算能力.

【分析】分別將多項(xiàng)式f+6/)，+32與多項(xiàng)式丹-9孫3進(jìn)行因式分解，再尋找他們的公

因式.

【解答】解：*.*xi+6x1y+9xy2=x(/+6x)，+9y2)=x(x+3y)2,

x3y-9xyi=xy(x2-9y2)=xy(x+3y)(x-3y),

多項(xiàng)式/+6?)>+9到2與多項(xiàng)式x3y-9xy3的公因式是x(x+3y).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查公因式的確定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再確

定公共因式.

9.(2010春?吉安期中)下列各式中，分式的個數(shù)是()

2a+2ba+ba+1(x-1)(x+2)

7'2'~T~x+2

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】分式的定義.

【分析】判斷分式的依據(jù)是看代數(shù)式的分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，

如果不含有字母則不是分式.

【解答】解：a+2b,生也的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；

2兀

“+YE的分子不是整式，因此不是分式.

b

2,a+lt（x-1）（x+2）的分母中含有字母,因此是分式.

xax+2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了分式的定義：如果A、8表示兩個整式，并且8中含有字母，那么

式子區(qū)叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.注意ir不是字母，是常數(shù)，

B

所以紀(jì)且不是分式，是整式.

兀

10.（2021春?莆田期末）如圖，在△A8C中，BD、CE是角平分線，于點(diǎn)M,AN

_LCE于點(diǎn)N.ZVIBC的周長為30,BC=12.則MN的長是（）

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】延長AM、AN分別交8c于點(diǎn)F、G,根據(jù)為/A8C的角平分線，AMLBM

得出故△A8G為等腰三角形，所以也為等腰三角形的中線，即AM=

GM.同理AN=NF,根據(jù)三角形中位線定理即可得出結(jié)論.

【解答】證明：:△ABC的周長為30,BC=12.

.?.A8+AC=30-8C=18.

延長AM4M分別交BC于點(diǎn)尸、G.如圖所示:

,/BM為ZABC的角平分線，

：.ZCBM=ZABM,

'：BM±AG,

：.ZABM+ZBAM=90°,/G+NC8M=90°,

：.ZBAM=ZAGB,

:.AB=BG,

：.AM=FM,

同理AC=CF,AN=NG,

:.MN為/\AFG的中位線，GF=BG+CF-BC,

.-.M7V=A(AB+AC-BC)=A(18-12)=3.

22

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟知三角形的中位

線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2020春?齊齊哈爾期末）已知x->=3,且x>2,y<l,則x+y的取值范圍是l<x+y

<5.

【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型.

【分析】利用不等式的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：7=3,

**?x=y+3,

又??”>2,

?力+3>2,

-1.

又???yVl,

J-l<y<l,…①

同理得：2cx<4,…②

由①+②得-l+2Vy+x<l+4

的取值范圍是l<x+y<5；

故答案為：l<x+y<5.

【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，關(guān)鍵是先根據(jù)已知條件用一個量如y取

表示另一個量如x，然后根據(jù)題中已知量x的取值范圍，構(gòu)建另一量y的不等式，從而確

定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍.

12.(2020秋?萊州市期中)在式子』、&上、3abc、§、三+工、法+西中，分式有

a兀46+x78y

1_個?

【考點(diǎn)】分式的定義.

【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含

有字母則不是分式.

【解答】解：式子工、一§_、9x+四的分母中含有字母，屬于分式，其他的分母中不含

a6+xy

有字母，不是分式.

故答案是：3.

【點(diǎn)評】本題主要考查分式的概念，分式與整式的區(qū)別主要在于：分母中是否含有未知

數(shù).

13.(2016秋?德惠市期末)給出六個多項(xiàng)式：①，+)2；②-/+/；③/+2x)，+),2；④_?-1：

⑤x(x+l)-2(x+1)；?m2-mn+ln2.其中，能夠分解因式的是②③④⑤⑥(填

4

上序號).

【考點(diǎn)】因式分解的意義.

【分析】根據(jù)因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式，可得答案.

【解答】解：①不能因式分解，故①錯誤；

②-7+尸利用平方差公式，故②正確；

③/+2沖+/完全平方公式，故③正確；

④x4-1平方差公式，故④正確；

⑤x(x+1)-2(x+1)提公因式，故⑤正確；

?m2-mn+^-tr完全平方公式，故⑥正確；

4

故答案為：②③④⑤⑥.

【點(diǎn)評】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形

式，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，注意分解要

徹底.

14.（2020春?漣源市期末）如圖，ZC=Z￡>=90°,添加一個條件：AC=A。（寫出

一個條件即可），可使RtZ\A8C與RtZ\AB￡>全等.

【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.

【專題】幾何圖形.

【分析】由已知兩三角形為直角三角形，且斜邊為公共邊，若利用HL證明兩直角三角

形全等，需要添加的條件為一對直角邊相等，即或AC=AD

【解答】解：條件是AC=AO（答案不唯一），

VZC=Z￡）=90o,

在RtAABC和RtAABD中

[AB=AB,

1AC=AD，

ARtAAfiC^RtAAfiD（HL）,

故答案為：AC=AD（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定的應(yīng)用，能熟記定理是解此題的關(guān)鍵，注意:

直角三角形全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

15.（2018春?吉州區(qū)期末）某小區(qū)有一塊長方形的草地（如圖），長18米，寬10米，空白

部分為兩條寬度相等的小路，則草地的實(shí)際面積128加2.

【考點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象.

【分析】將小路兩旁部分向中間平移，直到小路消失，發(fā)現(xiàn)草地是一個長為(18-2)米、

寬為(10-2)米的長方形，根據(jù)長方形面積=長義寬列式計(jì)算即可.

【解答】解：由題意，得草地的實(shí)際面積為：

(18-2)X(10-2)=16X8=128Cm2').

故答案為128.

【點(diǎn)評】此題考查生活中的平移現(xiàn)象，化曲為直是解決此題的關(guān)鍵思路.

三.解答題(共10小題)

16.(2020秋?銅官區(qū)期末)分解因式：2m(.tn-n)2-8ZM2(n-m)

【考點(diǎn)】因式分解-提公因式法.

【分析】直接找出公因式，進(jìn)而提取公因式得出答案.

【解答】解：2m(m-n)2-8m2(n-m)

=2m(機(jī)-〃)[(tn-n)+4/川

=2m(機(jī)-〃)(5〃?-〃).

【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵.

17.(2021春?浦東新區(qū)校級期中)已知不等式(a+b)x+(2a-3b)<0的解集是x<二，

3

求關(guān)于x的不等式(.a-3b)x>2a-b的解集.

【考點(diǎn)】不等式的解集.

【分析】根據(jù)已知條件，判斷出a+b>0,a=2b,再求得不等式(”-36)的解

集.

【解答】解：???不等式(a+b)x+(2a-3/7)<0的解集是

3

.\x<-2a-3b,

a+b

....2a-3b=.JL)解得a=2b；

a+b3

把a(bǔ)=2b代入(a-3/?)x>2a-b得,-bx>3b,

???a+Q0,a=2b,

：.a>0,/?>0,

???xV-3.

【點(diǎn)評】解答此題學(xué)生一定要注意不等式兩邊同乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的

方向不變.

18.(2021春?江北區(qū)校級期中)按要求完成下列各題：

22

(1)若(%-3)(x+m)=x2+nx-15,求2二5!_的值.

8n+5

(2)已知(zi-2020)2+(2021-n)2=3,求(?-2020)(2021-n)的值.

(3)已知多項(xiàng)式2/-3丁+0?+7*+8含有因式7+x-2,求且的值.

b

【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；因式分解的意義；因式分解-分組分解法：因式分解-十字

相乘法等；分式的值.

【專題】整式；分式；運(yùn)算能力.

【分析】(1)利用整式乘法求出加，”的值，再代入求值即可；

(2)利用完全平方公式和整體代入，用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則求解即可：

(3)由于f+x-2=(JC+2)(x-1),而多項(xiàng)式Z?1-能被/+x-2整除，

則2/-3『+—+7》+。能被(x+2)(x-1)整除.運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是4,則2/

-3xi+ax1+lx+b=A(x+2)(x-1),貝Ux=-2和x=1時，2x4-3/+”/+7犬+%=0,分另U

代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到里的

b

值.

【解答】解：(1)；(X-3)(x+m)=/+(w-3)x-3m=^+nx-15,

:.n=m-3,-3in--15,

??m=5,〃=2,

22

把m=5,〃=2代入11.111—得,

8n+5

22

原式=2-5=-21=-1.

8X2+5~2F

(2)令"-2020=a,2021-n^b,

根據(jù)題意得：

J+〃2=3,a+b=1,

原式=M=(a+b)2-Q2+b2)=上3=_1

22

(3)2=(x+2)(x-1),

A2x4-3x3+tix2+7x+/?能被(x+2)(x-1)整除，

設(shè)商是A.

貝lj2/-3x^+ax2+lx+h=A(x+2)(x-1),

則x=-2或x=l時，右邊都等于0,所以左邊也等于0.

當(dāng)x=-2時，2x4-34+0?+7/6=32+24+4。-14+匕=4。+6+42=0①，

當(dāng)x=1時，2/-3/+a?+7x+〃=2-3+a+7+b=a+6+6=0②，

①-②，得

3a+36=0,

-12,

:?b=-6-a=6.

.?.旦=-12=-2.

b6

【點(diǎn)評】此題考查的是分式的值，熟記完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的基

礎(chǔ)，注意因式的特點(diǎn)，靈活解決問題.

19.（2013秋?合浦縣期末）如圖，已知NA=NQ=90°,E、F在線段8c上，QE與A尸

交于點(diǎn)O,且AB=C￡>,BE=CF.求證：RtAABF^RtADCE.

【考點(diǎn)】直角三角形全等的判定.

【專題】證明題.

【分析】由于aABF與aOCE是直角三角形，根據(jù)直角三角形全等的判定的方法即可證

明.

【解答】證明：

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

VZA=ZD=90°,

/XABF與ADCE都為直角三角形，

在RtZVIBF和中，JBF=CE,

|AB=CD

：.Rt/\ABF^Rt/\DCE（HL）.

【點(diǎn)評】此題考查了直角三角形全等的判定，解題關(guān)鍵是由BE=C尸通過等量代換得到

BF=CE.

20.（2021春?鹽田區(qū)校級期中）已知：如圖，OC是/AO8的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，

PDLOA,PELOB,垂足分別為。、E,點(diǎn)尸是OC上的另一點(diǎn)，連接。尸，EF.求證：

DF=EF.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得利用證明Rta

OP。和RtZ\OPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得。。=?！暝倮谩斑吔沁叀弊C

明△。〃尸和△0E5全等，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.

【解答】證明：；OC是NAOB的平分線，PDLOA,PELOB,

：.PD=PE,

在RtAOPD和RtAOPE中，J0P=0P,

|PD=PE

：.Rt/\OPD^Rt^\OPE(HL),

：.OD=OE,

,：OC是/AOB的平分線，

NDOF=AEOF,

rOD=OE

在△OOF和△OEF中，.ZDOF=ZEOF>

OF=OF

：.AODF^/\OEF(SAS),

：.DF=EF.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與

性質(zhì)，難點(diǎn)在于二次證明三角形全等.

21.(2020春?漉河區(qū)月考)如圖所示，一塊長為18〃?，寬為12巾的草地上有一條寬為2根

的曲折的小路，求這塊草地的綠地面積.

【考點(diǎn)】生活中的平移現(xiàn)象.

【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，表示出去掉小路寬后的長與寬可得答案.

【解答】解：綠地的面積為：(18-2)X(12-2)=160

答：這塊草地的綠地面積是160層.

【點(diǎn)評】本題考查了生活中的平移現(xiàn)象，平移使路變直進(jìn)而表示出是解題關(guān)鍵.

22.(2020春?漂陽市期末)知識閱讀：我們知道，當(dāng)〃>2時，代數(shù)式”-2>0；當(dāng)“<2

時，代數(shù)式“-2V0；當(dāng)〃=2時，代數(shù)式〃-2=0.

基本應(yīng)用：當(dāng)。>2時，用“>,V,="填空.

(1)a+5>0；

(2)(a+7)(a-2)>0；

理解應(yīng)用：

當(dāng)a>1時，求代數(shù)式(^+1a-15的值的大小；

靈活應(yīng)用：

當(dāng)。>2時，比較代數(shù)式。+2與J+5”-19的大小關(guān)系.

【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型；運(yùn)算能力.

【分析】本題主要考查不等式的基本邏輯計(jì)算.

【解答】解：⑴'：a>2,

：.a+5>0；

(2)Va>2,

：.a-2>0.?+7>0,

(a+7)(a-2)>0.

理解應(yīng)用：

a2+2a-15=(?+l)2-16,當(dāng)a=1時，^+2。-15=-12,^?>1a2+2a-15>-

12.

靈活運(yùn)用：

先對代數(shù)式作差，(/+5。-19)-(a+2)=a2+4a-21=(a+2)2-25,

當(dāng)(a+2)2-25>0時，。<-7或a>3.因此，當(dāng)a23時，a2+5a-19^?+2；

當(dāng)2<“<3時，a2+5a-\9<a+2.

【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的基本邏輯計(jì)算.在比較大小時，注意給定范圍內(nèi)進(jìn)行不

等式的相減運(yùn)算.

23.（2019秋?連山區(qū)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題:

例題：己知二次三項(xiàng)式W-4x+m有一個因式是（x+3）,求另一個因式以及，〃的值.

解：設(shè)另一個因式為（%+?）,得

x2-4x+m=（x+3）（x+n）

則，-4工+〃?=）+（n+3）x+3n

,fn+3=-4

lm=3n

解得：n=-7,m=-21

???另一個因式為（x-7）,小的值為-21

問題：仿照以上方法解答下面問題：

已知二次三項(xiàng)式27+3X-Z有一個因式是（2x-5）,求另一個因式以及z的值.

【考點(diǎn)】因式分解的意義.

【專題】閱讀型.

【分析】根據(jù)例題中的已知的兩個式子的關(guān)系，兩個中二次三項(xiàng)式/-4x+m的二次項(xiàng)系

數(shù)是1,因式是（x+3）的一次項(xiàng)系數(shù)也是1,利用待定系數(shù)法求出另一個因式.所求的

式子2?+3x-%的二次項(xiàng)系數(shù)是2,因式是（2x-5）的一次項(xiàng)系數(shù)是2,則另一個因式的

一次項(xiàng)系數(shù)一定是1,利用待定系數(shù)法，就可以求出另一個因式.

【解答】解：設(shè)另一個因式為（X+4）,得（1分）

Ix^+hx-k=（2x-5）（x+a）（2分）

貝ij2X2+3X-k=2，+（2a-5）x-5a（4分）

...（2a-5=3（6分）

I-5a=-k

解得：a—4,k—20（8分）

故另一個因式為（x+4）,女的值為20（9分）

【點(diǎn)評】正確讀懂例題，理解如何利用待定系數(shù)法求解是解本題的關(guān)鍵.

24.（2021春?莆田期末）如圖，已知四邊形A8CO的對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,且AC

=BD,M、N分別是A&CD的中點(diǎn)，MN分別交80、AC于點(diǎn)E、F.你能說出OE與

OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？

【考點(diǎn)】三角形中位線定理.

【專題】證明題；探究型.

【分析】此題要構(gòu)造三角形的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理進(jìn)行證明.

【解答】解：相等.理由如下：

取AO的中點(diǎn)G,連接MG,NG,

；G、N分別為A。、C。的中點(diǎn)，

：.GN是△AC。的中位線，

：.GN=^AC,

2

同理可得，GM=LBD,

2

；AC=BD,

GN=GM=1AC=ABD.

22

NGMN=/GNM,

又?：MG〃OE,NG//OF,

：.NOEF=NGMN=NGNM=ZOFE,

：.OE=OF.

【點(diǎn)評】注意此題中的輔助線：構(gòu)造三角形的中位線.運(yùn)用三角形的中位線的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系進(jìn)行分析證明.

25.(2020春?鞏義市期末)如圖，長方形。ABC中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)4、C

的坐標(biāo)分別為4(3,0)、C(0,2),點(diǎn)B在第一象限.

(1)寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)若過點(diǎn)C的直線交長方形的0A邊于點(diǎn)O,且把長方形0A8C的周長分成2：3的

兩部分，求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

（3）如果將（2）中的線段CO向下平移3個單位長度，得到對應(yīng)線段C'D',在平面

直角坐標(biāo)系中畫出△CD'C,并求出它的面積.

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；平移的性質(zhì).

【分析】（1）通過作x軸和），軸的垂線來確定B點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）先算出長方形0ABe的周長為10,故兩部分的周長分別為4和6,XOA+OC<6,

即OC+O￡）=4.便可解得D點(diǎn)坐標(biāo).

（3）向下平移即橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減小3.

【解答】解：（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,2）；

（2）長方形0ABe的周長為10,

點(diǎn)。在04邊上，把長方形OA8C的周長分成2：3兩部分,

：OC+O4=5<6,二只能OC+O￡>=4,

又；0C=2,

（90=4-2=2,

故。點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）；

（3）△CD,C如圖；

CC'=3,D'的坐標(biāo)為（2,-3）.

可得三角形c?C'的面積為：1X3X2=3-

【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)問題，平面圖形的周長問題及線段的平移問題.

考點(diǎn)卡片

1.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

（1）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積

相加.

（2）運(yùn)用法則時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

①相乘時，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，

在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.

2.因式分解的意義

1、分解因式的定義：

把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解

因式.

2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式.因

式分解是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式.例如：

x2-1,e6x+i）（x-i；

1~~1蔚K乘法

3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn).

3.公因式

1、定義：多項(xiàng)式加。+/油+，"。中，各項(xiàng)都含有一個公共的因式相，因式叫做這個多項(xiàng)式各

項(xiàng)的公因式.

2、確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，可概括為三“定”：

①定系數(shù)，即確定各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；

②定字母，即確定各項(xiàng)的相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）；

③定指數(shù)，即各項(xiàng)相同字母因式（或相同多項(xiàng)式因式）的指數(shù)的最低次塞.

4.因式分解-提公因式法

1、提公因式法：如果一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項(xiàng)

式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

2、具體方法：

（1）當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的

相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的.

(2)如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為

正數(shù).

提出“-”號時，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號.

3、口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號，變形看奇偶.

4、提公因式法基本步驟：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項(xiàng)式除以公因

式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，

求的剩下的另一個因式；

③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.

5.因式分解-分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項(xiàng)或四項(xiàng)以上多項(xiàng)式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組

后能出現(xiàn)公因式，二是分組后能應(yīng)用公式.

2、對于常見的四項(xiàng)式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①奴

—x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

@2xy--y2

--(A2-Ixy+y1')+1

=1-(x-y)2

=(1+x-y)(1-x+y)

6.因式分解-十字相乘法等

借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①/+(p+q)x+pq型的式子的因式分解.

這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1;常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的積；

可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：

/+(p+q)x+pq=(x+p)Cx+q)

②o?+陵+c(〃N0)型的式子的因式分解

這種方法的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個因數(shù)m,ai的積m?及，

把常數(shù)項(xiàng)C分解成兩個因數(shù)Cl,C2的積C1，C2,并使〃IC2+〃2C1正好是一

次項(xiàng)b,那么可以直接寫成結(jié)果：ax2+bx+c=(6/u+ci)(c3+c2).

7.分式的定義

(1)分式的概念：一般地，如果A,8表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子a叫

B

做分式.

(2)因?yàn)?不能做除數(shù)，所以分式的分母不能為0.

(3)分式是兩個整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分?jǐn)?shù)線可以理解為除

號，還兼有括號的作用.

(4)分式的分母必須含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即從形式上看是直

B

的形式，從本質(zhì)上看分母必須含有字母，同時，分母不等于零，且只看初始狀態(tài)，不要化簡.

(5)分式是一種表達(dá)形式，如"2+2是分式，如果形式都不是A的形式，那就不能算是分

xB

式了，如：(x+1)4-(x+2),它只表示一種除法運(yùn)算，而不能稱之為分式，但如果用負(fù)指數(shù)

次累表示的某些代數(shù)式如(“+b)-2,yT,則為分式，因?yàn)?gt;一1=上僅是一種數(shù)學(xué)上的規(guī)定，

y

而非一種運(yùn)算形式.

8.分式的值

分式求值歷來是各級考試中出現(xiàn)頻率較高的題型，而條件分式求值是較難的一種題型，在解