專(zhuān)題1.1 二次函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（浙教版）

專(zhuān)題1.1二次函數(shù)（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】二次函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)【知識(shí)點(diǎn)二】二次函數(shù)有關(guān)概念（1）定義：一般的，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù).（2）、bx、c分別稱(chēng)作二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，、b分別稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).【知識(shí)點(diǎn)三】二次函數(shù)的解析式（1）三類(lèi)解析式一般式：（a、b、c是常數(shù)，）；頂點(diǎn)式：（），二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）；交點(diǎn)式：（），其中x1，x2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）待定系數(shù)法求解析式①巧設(shè)二次函數(shù)的解析式（給頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式，給交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式，其余情況設(shè)一般式）；②根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；③解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.【知識(shí)點(diǎn)四】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)開(kāi)口方向a>0時(shí)，開(kāi)口向上；a<0時(shí)，開(kāi)口向下.對(duì)稱(chēng)軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)與最值（0，0）（0，k）（h，0）（h，k）a>0時(shí)，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值，最小值為0（或k或）；a<0時(shí)，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值，最大值為0（或k或）.增

減

性a>0x<0（h或）時(shí)，y隨x的增大而減??；x>0（h或）時(shí)，y隨x的增大而增大。即在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0（h或）時(shí)，y隨x的增大而增大；x>0（h或）時(shí)，y隨x的增大而減小。即在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，y隨x的增大而減小。對(duì)稱(chēng)性1.圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形；2.拋物線上y值相等的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)必在對(duì)稱(chēng)軸上；3.拋物線上到對(duì)稱(chēng)軸距離相等的點(diǎn)，y值必定相等.【知識(shí)點(diǎn)五】二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系（1）的正負(fù)決定開(kāi)口方向：，拋物線開(kāi)口向上；，拋物線開(kāi)口向下.的大小決定開(kāi)口的大?。涸酱?，拋物線的開(kāi)口越??；越小，拋物線的開(kāi)口越大.（2）、b的符號(hào)共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左邊；當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊．（簡(jiǎn)記為“左同右異”）（3）c決定拋物線與軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)c＞0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；當(dāng)c＝0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)c＜0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.【知識(shí)點(diǎn)六】二次函數(shù)圖象的變換（1）圖象的平移：任意拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過(guò)平移得到，在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．具體平移方法如下：（2）圖象的對(duì)稱(chēng)：化成頂點(diǎn)式，結(jié)合圖像，求出對(duì)稱(chēng)后的頂點(diǎn)和開(kāi)口方向，再寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)后的解析式.【知識(shí)點(diǎn)七】二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)（）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根.（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)八】二次函數(shù)與不等式（1）拋物線在x軸上方圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；（2）拋物線在x軸下方圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集.【知識(shí)點(diǎn)九】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）最大利潤(rùn)問(wèn)題：求解最值時(shí)，一定要考慮頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（對(duì)稱(chēng)軸）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).（2）面積問(wèn)題：籬笆問(wèn)題，鉛錘法求面積.（3）類(lèi)拋物線問(wèn)題：拱橋、投橋、噴泉問(wèn)題.（4）與幾何圖形結(jié)合：與三角形、圓等幾何圖形結(jié)合，考查最大面積或最小距離等問(wèn)題【考點(diǎn)一】二次函數(shù)???有關(guān)概念【例1】（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象是一條拋物線，求這條拋物線表達(dá)式．【答案】【分析】根據(jù)題意知，函數(shù)是二次函數(shù)，則，且，據(jù)此可以求得的值．解：∵函數(shù)的圖象是一條拋物線，∴函數(shù)是二次函數(shù)，，且，解得，，該函數(shù)的解析式為：．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是根據(jù)定義列出方程，在解題時(shí)要注意．【舉一反三】【變式1】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是（

）A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．解：A、y=3x-1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，不符合題意；B、y=ax2+bx+c，當(dāng)時(shí)，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、s=2t2-2t+1是二次函數(shù)，符合題意；D、y=x2+中不是整式，故y=x2+不是二次函數(shù)，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義．二次函數(shù)定義：一般地，把形如（a、b、c是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)．x為自變量，y為因變量．【變式2】（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為．【答案】2019【分析】先將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結(jié)果．解：將（m，0）代入函數(shù)解析式得，m2-m-1=0，∴m2-m=1，∴-3m2+3m+2022=-3（m2-m）+2022=-3+2022=2019．故答案為：2019．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式得到有關(guān)m的代數(shù)式的值．【考點(diǎn)二】二次函數(shù)???求二次函數(shù)的解析式【例2】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）求分別滿足下列條件的二次函數(shù)解析式：（1）二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)三點(diǎn)．（2）二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，并經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入求得的值即可求解．（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將代入得，，解得，二次函數(shù)的解析式為；（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入得，，解得，二次函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（2，3），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【答案】y＝5x2﹣10x+3【分析】已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣2），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣1）2﹣2，將點(diǎn)（2，3）代入求a即可．解：設(shè)此二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣2．∵其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），∴a（2﹣1）2﹣2＝3，∴a＝5，∴y＝5（x﹣1）2﹣2，即y＝5x2﹣10x+3．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．【變式2】（2021春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（1，4）解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（－1，0），∴拋物線的解析式為；，即，（2）∵拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，4）．（1）根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（﹣1，0），直接由交點(diǎn)式得出拋物線的解析式．（2）將拋物線的解析式化為頂點(diǎn)式，即可得出答案．【考點(diǎn)三】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）已知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．（1）求直線的解析式；（2）若點(diǎn)P（，）在直線上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過(guò)點(diǎn)（0，-3），且開(kāi)口向下①求的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)Q'也在G上時(shí)，求G在≤≤的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）直線解析式：；（2）①m＜10，且m≠0；②最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)式，根據(jù)點(diǎn)P在直線上得出G的關(guān)系式，根據(jù)題意得出點(diǎn)（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出點(diǎn)P必須位于直線的上方，可求m的取值范圍，然后結(jié)合點(diǎn)P不能在軸上得出答案；②先根據(jù)點(diǎn)Q，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，得QQ'=1，可表示點(diǎn)Q和的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)的代入關(guān)系式，求出a，再將點(diǎn)（0，-3）代入可求出m的值，然后分兩種情況結(jié)合取值范圍，求出函數(shù)最大值時(shí)，最高點(diǎn)的坐標(biāo)即可．（1）解：∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6），∴，解得，∴直線解析式為：；（2）解：①設(shè)G：（），∵點(diǎn)P（，）在直線上，∴；∴G：（）∵（0，-3）不在直線上，∴（0，-3）不能成為拋物線G的頂點(diǎn)，而以P為頂點(diǎn)的拋物線G開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)（0，-3），∴點(diǎn)P必須位于直線的上方，則，，另一方面，點(diǎn)P不能在軸上，∴，∴所求取值范圍為：，且；②如圖，QQ'關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且QQ'=1，∴點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，而點(diǎn)Q在上，∴Q（，），Q'（，）；∵Q'（，）在G：上，∴，，∴G：，或．∵拋物線G過(guò)點(diǎn)（0，-3），∴，即，，；當(dāng)時(shí)，拋物線G為，對(duì)稱(chēng)軸為直線，對(duì)應(yīng)區(qū)間為-2≤≤-1，整個(gè)區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，此時(shí)，函數(shù)值隨著的增大而減小，如圖，∴當(dāng)取區(qū)間左端點(diǎn)時(shí)，達(dá)最大值9，最高點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，9）；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為≤≤，最高點(diǎn)為頂點(diǎn)P（2，5），如圖，∴G在指定區(qū)間圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，9）或（2，5）．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，求二次函數(shù)的極值等．解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)在直線與軸的交點(diǎn)（0，7），此時(shí)拋物線不可能過(guò)點(diǎn)（0，-3），因此，可能會(huì)被忽視．【舉一反三】【變式1】（2018·四川成都·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 B．圖像的對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)C．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減小 D．的最小值為-3【答案】D解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=-3，故選項(xiàng)D正確，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式2】（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進(jìn)行了反思總結(jié)．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖像他得出下列結(jié)論：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1；④若點(diǎn)（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖像上，則y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正確的結(jié)論有．（填序號(hào)，多選、少選、錯(cuò)選都不得分）

【答案】①②③【分析】由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸的位置以及與y軸的交點(diǎn)可判斷①；由拋物線過(guò)點(diǎn)（1，0），即可判斷②；由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可以判斷③；根據(jù)各點(diǎn)與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離大小可以判斷④；對(duì)稱(chēng)軸可得b＝2a，由拋物線過(guò)點(diǎn)（1，0），可判斷⑤．解：∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，∴ab＞0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，①正確；∵拋物線經(jīng)過(guò)（1，0），∴a+b+c＝0，②正確．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝﹣1，∴另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為﹣3和1，③正確；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），拋物線開(kāi)口向下，∴y2＞y1＞y3，④錯(cuò)誤．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴a+b+c＝0，∵＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤錯(cuò)誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【考點(diǎn)四】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系【例4】（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知開(kāi)口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③函數(shù)的最大值為；④若關(guān)于x的方數(shù)無(wú)實(shí)數(shù)根，則．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由圖象可知，圖像開(kāi)口向下，a＜0，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，故，故b＞0，且，則圖象與y軸的交點(diǎn)為正半軸，則c＞0，由此可知abc＜0，故①錯(cuò)誤，由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值，將x=1，代入，中得：，計(jì)算出函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為（3,0）設(shè)函數(shù)解析式為：，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入得化簡(jiǎn)得：，將x=1，代入可得：，故函數(shù)的最大值為-4a，、變形為：要使方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則，將c=-3a，，代入得：，因?yàn)閍＜0，則，則，綜上所述，結(jié)合以上結(jié)論可判斷正確的項(xiàng)．解：由圖象可知，圖像開(kāi)口向下，a＜0，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，故，故b＞0，且，則故②正確，∵圖象與y軸的交點(diǎn)為正半軸，∴c＞0，則abc＜0，故①錯(cuò)誤，由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最大值，將x=1，代入，中得：，由圖象可知函數(shù)與x軸交點(diǎn)為（﹣1,0），對(duì)稱(chēng)軸為將x=1，故函數(shù)圖象與x軸的另一交點(diǎn)為（3,0），設(shè)函數(shù)解析式為：，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，故化簡(jiǎn)得：，將x=1，代入可得：，故函數(shù)的最大值為-4a，故③正確，變形為：要使方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則，將c=-3a，，代入得：，因?yàn)閍＜0，則，則，綜上所述，故④正確，則②③④正確，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的交點(diǎn)式，二次函數(shù)的最值，對(duì)稱(chēng)軸，以及交點(diǎn)坐標(biāo)掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)條件與圖像，逐項(xiàng)判定即可．解：A、根據(jù)圖像可知拋物線開(kāi)口向下，即，故該選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)圖像開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)，隨的增大而減小；當(dāng)，隨的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)，隨的增大而減小，故該選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)二次函數(shù)的圖像與軸相交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線，可得對(duì)稱(chēng)軸，解得，即，故該選項(xiàng)不符合題意；D、根據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)圖像得到拋物線開(kāi)口向下，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸以及拋物線與軸交點(diǎn)得到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇徐州·校考二模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②⑤【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可．解：拋物線開(kāi)口向下，，對(duì)稱(chēng)軸，、異號(hào)，故，與軸交點(diǎn)在正半軸，故，，故①正確；當(dāng)時(shí)，，故②正確；拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，則與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；，，，故④錯(cuò)誤；，，，，，故⑤正確．故答案為：①②⑤．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能結(jié)合圖象靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)???二次函數(shù)圖象的變換【例5】（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2+3（a為常數(shù)且a≠0）與y軸交于點(diǎn)A（0，）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線y＝kx（k≠0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，當(dāng)x12+x22＝10時(shí)，求k的值；（3）當(dāng)﹣4＜x≤m時(shí)，y有最大值，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）把代入拋物線的解析式，解方程求解即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，消去得：再利用根與系數(shù)的關(guān)系與可得關(guān)于的方程，解方程可得答案；（3）先求解拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，分三種情況討論，當(dāng)＜＜結(jié)合函數(shù)圖象，利用函數(shù)的最大值列方程，再解方程即可得到答案.解：（1）把代入中，拋物線的解析式為：（2）聯(lián)立一次函數(shù)與拋物線的解析式得：整理得：∵x1+x2=4-3k，x1?x2=-3，∴x12+x22=（4-3k）2+6=10，解得：∴（3）∵函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，當(dāng)m＜2時(shí)，當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值，=-（m-2）2+3，解得m=±，∴m=-，當(dāng)m≥2時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，∴=3，∴m=，綜上所述，m的值為-或．【點(diǎn)撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的增減性，掌握數(shù)形結(jié)合的方法與分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】【變式1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）假設(shè)將拋物線向右平移3個(gè)單位得到拋物線，那么拋物線C與一定關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先把配成頂點(diǎn)式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)向右平移3個(gè)單位的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后通過(guò)確定兩頂點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)得到兩拋物線關(guān)于此直線對(duì)稱(chēng)．解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)向右平移3個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴拋物線的解析式為，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴拋物線C與一定關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了二次函數(shù)與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．【變式2】（2015秋·浙江金華·九年級(jí)階段練習(xí)）（1）將拋物線y1=2x2向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y2的圖象，則y2=；（2）如圖，P是拋物線y2對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線x=t平行于y軸，分別與直線y=x、拋物線y2交于點(diǎn)A、B．若△ABP是以點(diǎn)A或點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t=．【答案】2x2﹣8x+8；1或3或解：（1）∵拋物線y1=2x2向右平移2個(gè)單位，∴拋物線y2的函數(shù)解析式為y=2（x-2）2（2）∴拋物線y2的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2，∵直線x=t與直線y=x、拋物線y2交于點(diǎn)A、B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t，2t2-8t+8），∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，AP=|t-2|，∵△APB是以點(diǎn)A或B為直角頂點(diǎn)的三角形，∴|2t2-9t+8|=|t-2|，∴2t2-9t+8=t-2①或2t2-9t+8=-（t-2）②，整理①得，t2-5t+5=0，解得整理②得，t2-4t+3=0，解得t1=1，t2=3，綜上所述，滿足條件的t值為：1或3或．故答案為y=2（x-2）2；3、1,,【考點(diǎn)六】二次函數(shù)???二次函數(shù)與一元二次方程【例6】（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B．拋物線與該直線交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D（0，4），頂點(diǎn)為C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，并結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)（－1，），y2＝－；（2）x≤－2或x=4【分析】（1）根據(jù)直線與x軸交于點(diǎn)B，可以求得y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，從而可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)B，即可求得該拋物線的解析式，然后與直線聯(lián)立方程組，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）求得的拋物線解析式，可以求得二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后結(jié)合圖像，可以寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．解：（1）由直線＝－與x軸交于點(diǎn)B，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．把點(diǎn)B（4，0）與點(diǎn)D（0，4）代入＝－得解得，∴＝－，∵點(diǎn)A為直線與拋物線的交點(diǎn)，∴解方程－＝－得x=－1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（－1，）；（2）當(dāng)=0時(shí)，－=0，解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是x≤－2或x=4．【點(diǎn)撥】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022秋·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解為（）A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2【答案】A【分析】關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根即為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解：根據(jù)圖象知，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（2，0），對(duì)稱(chēng)軸是直線x＝?1．設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（x，0）．則，解得，x＝－4，即該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（－4，0）．所以關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根為x1＝?4，x2＝2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時(shí)，注意拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）間的轉(zhuǎn)換．【變式2】（2022秋·重慶渝中·九年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）將拋物線y=x2+4x+3繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再分別向下、向右平移3個(gè)單位，此時(shí)該拋物線的解析式為．【答案】y=-（x-5）2-2【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)式解析式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)平移的性質(zhì)求得平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；最后根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的大小和形狀利用頂點(diǎn)式解析式寫(xiě)出即可．解：y=x2+4x+3=（x+2）2-1．此時(shí)，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，-1）．將該拋物線繞坐標(biāo)原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，1）．再分別向下、向右平移3個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2+3，1-3）即（5，-2）．所以此時(shí)拋物線的解析式為：y=-（x-5）2-2．故答案是：y=-（x-5）2-2．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，平移的規(guī)律：左加右減，上加下減，此類(lèi)題目，利用頂點(diǎn)的變化求解更簡(jiǎn)便．【考點(diǎn)七】二次函數(shù)???二次函數(shù)與不等式【例7】（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）某商場(chǎng)新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)．，日銷(xiāo)售量y（個(gè)）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；（2）若該玩具某天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是600元，則當(dāng)天玩具的銷(xiāo)售單價(jià)是多少元？（3）設(shè)該玩具日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，當(dāng)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）；（2）40元或20元；（3）當(dāng)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元；【分析】（1）直接由待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷(xiāo)售單價(jià)是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；（3）根據(jù)題意，列出w與的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案．（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)（25，50）和點(diǎn)（35，30）代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當(dāng)天玩具的銷(xiāo)售單價(jià)是元，則，解得：，，∴當(dāng)天玩具的銷(xiāo)售單價(jià)是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則，整理得：；∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為800；∴當(dāng)玩具的銷(xiāo)售單價(jià)定為30元時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)是800元．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，一次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，正確的找出題目的關(guān)系，從而進(jìn)行解題．【舉一反三】【變式1】（2021春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，當(dāng)3＜m＜4時(shí)，總有n＞1，當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的解析式可以確定拋物線的頂點(diǎn)和增減性，再根據(jù)已知條件確定a的符號(hào)和關(guān)于a的不等式，從而得到a的值．解：∵拋物線y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），∴拋物線的頂點(diǎn)為（5，9），∵當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，∴a不可能大于0，則a＜0，∴x＜5時(shí)，y隨x的增大而增大，x＞5時(shí)，y隨x的增大而減小，∵當(dāng)3＜m＜4時(shí)，總有n＞1，當(dāng)7＜m＜8時(shí)，總有n＜1，且x＝3與x＝7對(duì)稱(chēng)，∴m＝3時(shí)，n≥1，m＝7時(shí)，n≤1，∴,∴4a+9＝1，∴a＝﹣2，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性及其與圖象的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】先求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再將點(diǎn)代入拋物線的解析式，得出m的值，確定的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)分情況畫(huà)圖求解，即可求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)．解：∵拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵是拋物線上的點(diǎn)，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖1，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連接，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴是的垂直平分線，∴，且，∴，∴；②當(dāng)時(shí)，∴軸，∴如圖2，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，連接，∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，∴是的垂直平分線，∴，∴M在y軸上，且△DCM是等腰直角三角形，∴，∴，∴．綜上可得：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)八】二次函數(shù)???實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)【例8】（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當(dāng)時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=（