第06講 一元二次方程應用（二）（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第6講一元二次方程應用（二）懂得運用一元二次方程解決有關銷售利潤問題；懂得運用一元二次方程解決有關幾何面積問題；懂得運用一元二次方程解決幾何中的動點問題。知識點1：銷售利潤問題：（1）常用公式：利潤=售價-成本；總利潤=每件利潤×銷售量；（2）每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數(shù)量為知識點2：幾何面積問題（1）如圖①，設空白部分的寬為x,則；（2）如圖②，設陰影道路的寬為x,則（3）如圖③，欄桿總長為a，BC的長為b,則知識點3：動點與幾何問題關鍵是將點的運動關系表示出來，找出未知量與已知量的內在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.【題型1銷售利潤問題】【典例1】（2022秋?信宜市校級期中）某超市以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示．（1）y與x之間的函數(shù)關系式為；（2）當每千克干果降價1元時，超市獲利多少元？（3）若超市要想獲利2210元，且讓顧客獲得更大實惠，這種干果每千克應降價多少元？【變式1-1】（2021秋?天府新區(qū)期末）2022年冬奧會即將在北京召開，某文化用品店購進了一批以冬奧會為主題的手抄本進行銷售，手抄本的進價每本3元，已知這種手抄本每天銷售量y（本）與銷售單價x（元）（3≤x≤9）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）若銷售這款手抄本每天所獲得的利潤僅為120元，求銷售單價應為多少元？【變式1-2】（2022秋?順德區(qū)期中）佛山市加快建設制造業(yè)創(chuàng)新高地，全球每生產(chǎn)兩臺微波爐就有一臺出自順德．一商場從順德以每臺430元的價格進貨一批微波爐，計劃以每臺500元銷售．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每月微波爐的銷售量y（臺）與每臺微波爐上漲價格x（元）之間滿足一次函數(shù)關系，如圖是y與x的函數(shù)圖象．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）若該商場要求微波爐的月銷售量不少于750臺，并且每月銷售微波爐的利潤率不低于20%，當該商場每月微波爐的銷售利潤為71250元時，微波爐的銷售單價應定為多少？【變式1-3】（2023?臨川區(qū)校級一模）某超市經(jīng)銷一種商品，每千克成本為30元，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該種商品的每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關系，其每天銷售單價，銷售量的四組對應值如表所示：銷售單價x（元/千克）40455560銷售量y（千克）80705040（1）求y（千克）與x（元/千克）之間的函數(shù)表達式；（2）若商店按銷售單價不低于成本價，且不高于60元的價格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為800元，求每天的銷售量應為多少千克？【典例2】（2022?南海區(qū)一模）某商場以每件210元的價格購進一批商品，當每件商品售價為270元時，每天可售出30件，為了迎接“雙十一購物節(jié)”，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價1元，那么商場每天就可以多售出3件．（1）降價前商場每天銷售該商品的利潤是多少元？（2）要使商場每天銷售這種商品的利潤達到降價前每天利潤的兩倍，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？【變式2-1】（2023春?西湖區(qū)校級期中）“抖音”平臺爆紅網(wǎng)絡，某電商在“抖音”上直播帶貨，已知該產(chǎn)品的進貨價為70元/件，為吸引流量，該電商在直播中承諾自家商品價格永遠不會超過99元/件，根據(jù)一個月的市場調研，商家發(fā)現(xiàn)當售價為110元/件時，日銷售量為20件，售價每降低1元，日銷售量增加2件．（1）當銷售量為30件時，產(chǎn)品售價為元/件；（2）直接寫出日銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數(shù)關系式；（3）該產(chǎn)品的售價每件應定為多少，電商每天可盈利1200元？【變式2-2】（2023春?余姚市校級期中）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜歡．某商店銷售亞運會吉祥物，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，當每件獲利125元時，每天可出售50件，為了擴大銷售量增加利潤，該商店決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件吉祥物降價5元，平均可多售出1件．（1）若每件吉祥物降價20元，商家平均每天能盈利多少元？（2）每件吉祥物降價多少元時，能盡量讓利于顧客并且讓商家平均每天盈利5980元？【變式2-3】（2022秋?寧德期末）隨著正定旅游業(yè)的快速發(fā)展，外來游客對住宿的需求明顯增大，某賓館擁有的床位數(shù)不斷增加．（1）該賓館床位數(shù)從2016年底的200個增長到2018年底的288個，求該賓館這兩年（從2016年底到2018年底）擁有的床位數(shù)的年平均增長率；（2）根據(jù)市場表現(xiàn)發(fā)現(xiàn)每床每日收費40元，288張床可全部租出，若每床每日收費提高10元，則租出床位減少20張．若想平均每天獲利14880元，同時又減輕游客的經(jīng)濟負擔每張床位應定價多少元？【題型2幾何面積問題】【典例3】（2022春?長興縣月考）某單位要興建一個長方形的活動區(qū)（圖中陰影部分），根據(jù)規(guī)劃活動區(qū)的長和寬分別為21m和12m，同時要在它四周外圍修建寬度相等的小路．已知活動區(qū)和小路的總面積為400m2．（1）求小路的寬度；（2）某公司希望用50萬元承包這項工程，該單位認為金額太高需要降價，通過兩次協(xié)商，最終以40.5萬元達成一致．若兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．【變式3-1】（2023?大連一模）如圖，物業(yè)公司計劃整理出一塊矩形綠地，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形綠地一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長度為18m，若矩形綠地的面積為36m2，求矩形垂直于墻的一邊，即AB的長．【變式3-2】（2023春?蒼南縣期中）園林部門計劃在某公園建一個長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內部設計了一個正方形的網(wǎng)紅打卡點和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．?（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；（2）求出網(wǎng)紅打卡點的面積．【變式3-3】（2021秋?萍鄉(xiāng)期末）如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28m），圍成一個矩形花園ABCD，與墻平行的一邊BC上要預留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌60m長的墻的材料．（1）當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300m2；（2）能否圍成面積為480m2的矩形花園，為什么？【題型3動點與幾何問題】【典例4】（2022?霍林）如圖所示，在Rt△ABC中．∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．當P、Q兩點中有一點到達終點，則同時停止運動．（1）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積為4cm2．（2）如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度等于5cm．（3）在（1）中△PBQ的面積能否等于7cm2？說明理由．【變式4-1】（2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，當點Q到達點C時，P，Q均停止運動，若△PBQ的面積等于4cm2，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【變式4-2】（2022秋?澄邁縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，同時點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，點Q到達點C后，點P停止運動．（1）經(jīng)過ts后（t＞0），△PBQ的面積等于4cm2，求t的值；（2）經(jīng)過ts后，（t＞0），PQ的長度為5cm，求t的值；（3）△PBQ的面積能否等于8cm2？【變式4-3】（2022?泗陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，同時動點Q從點B出發(fā)沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，當P運動到B點時P、Q兩點同時停止運動，設運動時間為ts．（1）BP＝cm；BQ＝cm；（用t的代數(shù)式表示）（2）D是AC的中點，連接PD、QD，t為何值時△PDQ的面積為40cm2？1．（2022?河池）某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬個，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長率為x．則所列方程為（）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝502．（2019?廣西）揚帆中學有一塊長30m，寬20m的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學設計方案如圖所示，求花帶的寬度．設花帶的寬度為xm，則可列方程為（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×303.（2022?青海）如圖，小明同學用一張長11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個底面積為21cm2的無蓋長方體紙盒，他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計）．設剪去的正方形邊長為xcm，則可列出關于x的方程為．4．（2020?西藏）列方程（組）解應用題某駐村工作隊，為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600m2的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長35m，另外三面用69m長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．求這個茶園的長和寬．5.（2021?日照）某藥店新進一批桶裝消毒液，每桶進價35元，原計劃以每桶55元的價格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）在這次助力疫情防控活動中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實際售價多少元？6.（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長寬分別為35m，15m．現(xiàn)計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地．（1）若擴充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長與寬；（2）擴充后，實地測量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．7.（2022?南岸區(qū)自主招生）北京冬奧會期間，某商店購進600個紀念品，每個紀念品的進價為6元，第一周以每個10元的價格售出200個．第二周商店為了適當增加銷售量，決定降價銷售．根據(jù)市場調查，單價每降低1元，可多售出50個（售價不得低于進價）．第三周商店把每個紀念品的售價再在第二周售價的基礎上降低20%，剩余紀念品全部售完．注：銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價）（1）若第二周每個紀念品降價m元，用含m的代數(shù)式表示這批紀念品第二周的銷售利潤；（2）若前兩周商店銷售這批紀念品的利潤為1400元，求第二周每個紀念品的售價；（3）若這批紀念品共獲得銷售利潤1730元，求這批紀念品第三周的銷售數(shù)量．1．（2022秋?大渡口區(qū)校級期末）某網(wǎng)店以每件100元的價格購進一批商品，若每件商品的售價為120元，則平均每天可銷售30件，為了盡快減少庫存，網(wǎng)店決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，平均每天可多售出5件，每件商品售價為多少元時，該網(wǎng)店日盈利可達到800元？設每件商品售價為x元時，該網(wǎng)店日盈利可達到800元，則可列方程為（）A．（20﹣x）（30+5x）＝800 B．（20﹣x）（30+x）＝800 C．（x﹣100）（630﹣5x）＝800 D．（x﹣100）（630﹣x）＝8002．（2022秋?河北區(qū)期末）某超市購進一批商品，單價40元．經(jīng)市場調查，銷售定價為52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量減少10個，因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不得超過180個，超市若將準備獲利2000元，則定價為多少元？（）A．50 B．60 C．50或60 D．1003．（2022秋?江岸區(qū)校級月考）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬度為xcm（風景畫四周的金色紙邊寬度相同），則x的值為（）A．10 B．8 C．7 D．54．（2022秋?甘井子區(qū)校級月考）如圖，把一塊長為40cm，寬為20cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為576cm2，求剪去小正方形的邊長．5．（2021秋?平定縣期末）如圖所示，某景區(qū)計劃在一個長為36m，寬為20m的矩形空地上修建一個停車場，停車場中修建三塊相同的矩形停車區(qū)域，它們的面積之和為336m2，三塊停車區(qū)域之間以及周邊留有寬度相等的行車通道，問行車通道的寬度是多少m？6．（2021秋?昌圖縣期末）如圖，要使用長為27米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為12米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．（1）如果要圍成面積為54平方米的花圃，那么AD的長為多少米？（2）能否圍成面積為90平方米的花圃？若能，請求出AD的長；若不能，請說明理由．7．（2021秋?平山區(qū)校級月考）某超市銷售一款“免洗洗手液”，這款“免洗洗手液”的成本價為每瓶16元，當銷售單價定為20元時，每天可售出80瓶．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定降價銷售．市場調查反映：銷售單價每降低0.5元，則每天可多售出20瓶（銷售單價不低于成本價），若設這款“免洗洗手液”的銷售單價為x（元），每天的銷售量為y（瓶）．（1）求每天的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）當銷售單價為多少元時，銷售這款“免洗洗手液”每天的銷售利潤為320元？8．（2021秋?鐵西區(qū)校級月考）賓館有50間房供游客居住，當每間房每天定價為180元時賓館會住滿；當每間房每天的定價加10元時，就會空一間房，如果有游客居住，賓館還需對居住的每間房每天支出20元的費用．若賓館每天想獲得的利潤為10890元，應該將每間房每天定價為多少元？9．已知長方形硬紙板ABCD的長BC為40cm，寬CD為30cm，按如圖所示剪掉2個小正方形和2個小長方形（即圖中陰影部分），剩余部分恰好能折成一個有蓋的長方體盒子，設剪掉的小正方形邊長為xcm（紙板的厚度忽略不計）（1）EF=c