大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)之機械振動

理學(xué)院物理系張晚云大學(xué)物理競賽培訓(xùn)與機械波機械振動第三篇2021/5/91機械振動知識小結(jié)一、簡諧振動的定義（判據(jù)）

1、彈性回復(fù)力2、動力學(xué)方程3、運動學(xué)方程其速度、加速度也有簡諧振動的特征理學(xué)院物理系張晚云2021/5/92二、簡諧振動的三個特征量

1、振幅

2、角頻率

3、初相位

同一振動中位相差與時間差的關(guān)系：或由旋轉(zhuǎn)矢量法確定理學(xué)院物理系張晚云注意彈簧的串、并聯(lián)及彈簧自身質(zhì)量的影響2021/5/93三、簡諧振動的三種表示方法

1、解析表達法

2、振動曲線法

3、旋轉(zhuǎn)矢量法圖理學(xué)院物理系張晚云2021/5/94三、簡諧振動的三種表示方法

1、解析表達法

2、振動曲線法

3、旋轉(zhuǎn)矢量法圖理學(xué)院物理系張晚云2021/5/95理學(xué)院物理系張晚云注意：熟練掌握旋轉(zhuǎn)矢量法！Atx0=0w

txxwt0a、確定初相位b、確定相位差或時間差同一振動：同頻率不同振動：c、解決振動合成問題2021/5/96四、簡諧振動的能量理學(xué)院物理系張晚云1、由能量求振幅2、由能量求角頻率兩邊求導(dǎo)2021/5/97理學(xué)院物理系張晚云五、簡諧振動的合成1、同方向同頻率兩個簡諧振動的合成2021/5/98理學(xué)院物理系張晚云2、同方向同頻率N個等振幅、初相位依次相差定值的簡諧振動的合成2021/5/99理學(xué)院物理系張晚云３、同方向不同頻率的簡諧振動的合成

2-

1

2+

1隨ｔ緩變形成“拍”2021/5/910理學(xué)院物理系張晚云4、相互垂直的同頻率的簡諧振動的合成特別地當振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。2021/5/911理學(xué)院物理系張晚云六、阻尼振動七、受迫振動1、穩(wěn)態(tài)解

x=Acos(

t+

)驅(qū)動力頻率2、共振1）速度共振：若

<<

0

則

r

0，稱尖銳共振2）位移共振：2021/5/912理學(xué)院物理系張晚云機械振動典型問題及示例一、簡諧振動三類問題1.簡諧振動的運動學(xué)問題運動狀況振動曲線三個特征量運動學(xué)方程2.簡諧振動的動力學(xué)問題受力分析牛頓定律動力學(xué)方程初始條件3.簡諧振動的合成（通常與波的相干疊加相結(jié)合）2021/5/913理學(xué)院物理系張晚云1.簡諧振動的運動學(xué)問題舉例例1.有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心處，小球2在碗壁離碗底部中心A很近的地方，如圖所示，現(xiàn)同時釋放兩球，所有阻力均不計，則小球1與小球2到達碗底A所需時間之比為

。A小球1作自由下落：小球2作簡諧振動：2021/5/914例2.一擺鐘在g=9.800(SI)處走時準確，如移至另一地點后，每天慢10s，求該地的重力加速度值。解：由單擺的周期公式兩邊同時微分，得：標準鐘的秒擺周期T=1s,移地后的周期：理學(xué)院物理系張晚云2021/5/915理學(xué)院物理系張晚云2.簡諧振動的動力學(xué)問題舉例（兩種類型）類型Ⅰ證明或判斷振動物體是否作簡諧運動判斷簡諧運動的依據(jù)：動力學(xué)方法能量法動力學(xué)方法的步驟：

①確定振動系統(tǒng)，以平衡位置處為原點建立坐標；

②分析處于任意位置處系統(tǒng)各物體的受力情況；

③列出各物體的動力學(xué)方程，與上述微分方程比較。能量法的步驟：

①確定振動系統(tǒng)，分析振動系統(tǒng)的機械能是否守恒；

②以平衡位置為原點建立坐標,寫出任意位置機械能；

③把上述結(jié)果對時間求一階導(dǎo)數(shù)，并將所得結(jié)果與簡諧振動的動力學(xué)判據(jù)進行比較。類型Ⅱ物體與振動系統(tǒng)相互作用而引起的簡諧運動2021/5/916理學(xué)院物理系張晚云

例1.某液體的密度隨深度的增加而線性增大，且已知其表面處及深度為D處的密度分別為、?，F(xiàn)有一密度為的小球于深度為D/2處由靜止開始下落。若忽略液體阻力，試求該物體的運動方程。2021/5/917理學(xué)院物理系張晚云

例2.如圖所示，在傾角為的斜面上有一倔強系數(shù)為k的彈簧，其一端固定，另一端與一質(zhì)量為m的實心圓柱體的軸連接，圓柱體在斜面上作純滾動。若忽略軸承的摩擦，試證明該圓柱體的運動為簡諧振動。平衡位置自然位置2021/5/918理學(xué)院物理系張晚云

例2.如圖所示，在傾角為的斜面上有一倔強系數(shù)為k的彈簧，其一端固定，另一端與一質(zhì)量為m的實心圓柱體的軸連接，圓柱體在斜面上作純滾動。若忽略軸承的摩擦，試證明該圓柱體的運動為簡諧振動。平衡位置自然位置2021/5/919理學(xué)院物理系張晚云

例3.彈簧振子中的小球質(zhì)量為M，彈簧的一倔強系數(shù)為k，彈簧的質(zhì)量為m，且該質(zhì)量是均勻分布的。試求無阻尼振動的周期。2021/5/920

例4.一半徑為R的光滑圓環(huán)以恒定的角速度ω繞其豎直的直徑旋轉(zhuǎn)，圓環(huán)上套有一小珠。試求在Rω2>g的情形下：(1)小珠相對圓環(huán)的平衡位置(以小珠與圓心的連線同豎直直徑之間的夾角q0表示);(2)小珠在平衡位置附近作小振動的角頻率。理學(xué)院物理系張晚云解：(1)在平衡位置時mg=Ncosq0Nsinq0=ωmRsinq02g=cosq0Rω21cosg=q0Rω22021/5/921(2)當小球偏離平衡位置時小球除了受正壓力N，重力作用mg外，qNmgFI還受到一慣性力:切向:理學(xué)院物理系張晚云2021/5/922理學(xué)院物理系張晚云g=cosq0Rω2ωR2ω4g2R2ω2=2021/5/923理學(xué)院物理系張晚云

例5.一不可伸長的細繩穿過光滑桌面的小孔，一端系一質(zhì)量為m的小球，另一端系一質(zhì)量為M的重物。小球在桌面上以作勻速率圓周運動，此時重物靜止不動。試證明：當重物受到豎直向下或向上的微擾后，它將在豎直方向作簡諧振動，并求其振動周期。2021/5/924例6.如圖,一彈簧振子由勁度系數(shù)為k的彈簧和質(zhì)量為M的物塊組成，將彈簧一端與頂板相連。開始時物塊靜止，一顆質(zhì)量為m、速度為v01的子彈由下而上射入物塊，并留在物塊中。試求：(1)振子以后的振動振幅與周期；(2)物塊從初始位置到最高點所需的時間。

M自然位置解：建立如圖所示坐標，在平衡位置(1)由動量守恒得：理學(xué)院物理系張晚云2021/5/925M自然位置(2)最高點的相位：理學(xué)院物理系張晚云2021/5/926理學(xué)院物理系張晚云三、阻尼振動與受迫振動問題舉例1.固有頻率為

的彈簧振子，在忽略阻尼的情況下，受到頻率為的余弦策動力作用，作受迫振動并達到穩(wěn)定狀態(tài)，振幅為A。若振子在經(jīng)過平衡位置時撤去策動力，此后作振幅A′的自由振動，則A′與A的關(guān)系為

。提示：撤去策動力前、后振子在平衡位置的速率不變。振子受穩(wěn)態(tài)受迫振動時，在平衡位置處的速率為：振子自由振動時，在平衡位置處的速率為：2021/5/927理學(xué)院物理系張晚云2.一擺在空中振動，某時刻振幅為A0=0.03m，經(jīng)過t1=10s后，振幅變?yōu)?/p>

A1=0.01m，問:由振幅為A0時起經(jīng)多長時間，其振幅減為A2=0.003m？=20.9(s)=0.110βAe0=At0=lnAlnAβt1=ln100.030.01110=lnβtAA1120=lnβtAA2=10.11ln0.030.003解：2021/5/928理學(xué)院物理系張晚云五、補充練習(xí)題1.設(shè)想沿地球直徑鑿一隧道，并設(shè)地球為密度

ρ=5.5×l03kg/m3的均勻球體。試證:(1)當無阻力時，一物體落入此隧道后將作簡諧振動；(2)物體由地球表面落至地心的時間為(提示:物體在地球內(nèi)部所受引力的計算，與電荷在均勻帶電球體內(nèi)受力的計算類似)式中G是引力常量。2021/5/9292.一質(zhì)量為m，半徑為r的均勻?qū)嵭男∏蛟诎霃綖镽的球形碗底作純滾動。求微小振動的周期。理學(xué)院物理系張晚云2021/5/9303.質(zhì)量為

可在光滑水平直導(dǎo)軌上滑動，滑塊經(jīng)長為l的剛性輕桿與一質(zhì)量