復(fù)射影空間中的全實(shí)2-調(diào)和子流形

復(fù)射影空間中的全實(shí)2-調(diào)和子流形

1極子集流形的提出和推廣cpn-p是具有傅里葉變換測量量的復(fù)合n和p的復(fù)射陰影空間，全純截面曲率為常數(shù)4，為cpn-p的復(fù)結(jié)構(gòu)，mn為cpn-p的實(shí)維子流。當(dāng)mn上的每個(gè)點(diǎn)的初始空間被j轉(zhuǎn)換為自己時(shí)，mn是cpn和p的純子流。當(dāng)mn上每個(gè)點(diǎn)的初始空間轉(zhuǎn)換為點(diǎn)法空間時(shí)，mn被稱為cpn和p的全實(shí)子流。根據(jù)J.Eells和L.Lemeine的設(shè)想,文獻(xiàn)[2–3]討論了黎曼流形間2-調(diào)和映照的充要條件,根據(jù)這一條件,極小子流形一定是2-調(diào)和子流形.本文首先考慮:在什么條件下,CPn+p中的2-調(diào)和子流形是極小子流形,證明了:定理1設(shè)Mn是CPn+p中具有平行平均曲率向量的全實(shí)2-調(diào)和子流形,如果Mn的第二基本形式模長的平方S<n,則Mn是極小子流形.文獻(xiàn)研究了復(fù)射影空間中2-調(diào)和超曲面,推廣了實(shí)極小超曲面的Pinching結(jié)果.本文將文獻(xiàn)中余維數(shù)進(jìn)行推廣.考慮CPn+p中2-調(diào)和子流形的情形,得到定理2設(shè)Mn是CPn+p中緊致的全實(shí)2-調(diào)和子流形,則成立下列積分不等式推論3設(shè)Mn是CPn+p中緊致具有平行平均曲率向量的全實(shí)2-調(diào)和子流形,如果時(shí),則Mn全測地.文獻(xiàn)討論了CPn中的實(shí)2-調(diào)和緊致偽臍子流形,得到CPn中的實(shí)2-調(diào)和緊致偽臍子流形必為極小子流形,在CPn+p中有定理4設(shè)Mn是CPn+p中緊致的全實(shí)2-調(diào)和偽臍子流形,則Mn必具有平行平均曲率向量.推論5設(shè)Mn是CPn+p中緊致的全實(shí)2-調(diào)和偽臍子流形,當(dāng)時(shí),Mn全測地.2cpn+p結(jié)構(gòu)方程設(shè)Mn是CPn+p中實(shí)n維全實(shí)子流形,J為CPn+p的復(fù)結(jié)構(gòu).在CPn+p上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場使得限制于Mn,{e1,···,en}與Mn相切,約定各類指標(biāo)的取值范圍以{ωA}表示{eA}的對(duì)偶標(biāo)架場,則CPn+p的結(jié)構(gòu)方程為其中這里(JAB)為線性變換J關(guān)于{eA}的變換矩陣,即其中In+p為n+p階單位矩陣.將上述形式限制在Mn上,則有其中Rijkl,Rαβij分別是Mn的Riemann曲率張量場和法曲率張量場關(guān)于{eA}的分量.進(jìn)一步,Mn的平均曲率向量場ξ,平均曲率H,第二基本形式模長平方S可表示為用hαijk及hαijkl表示hαij的共變導(dǎo)數(shù),則根據(jù)文獻(xiàn)中定理3.1,經(jīng)簡單計(jì)算易得引理1設(shè)Mn是CPn+p中的全實(shí)2-調(diào)和子流形,則有仿文獻(xiàn)中引理2.2的證明可得引理2設(shè)Mn是CPn+p中緊致偽臍子流形,則有3積極性由Cauchy不等式由(2.4)式得由(3.1),(3.2),(3.3)式有n2H2(S-n)≥0,若S<n,則唯一可能H=0,即Mn是CPn+p中極小子流形.定理2的證明首先計(jì)算Mn的第二基本形式模長平方S的Laplace算子.設(shè)Mn是緊致的全實(shí)2-調(diào)和子流形,對(duì)引理1中第一式兩端關(guān)于指標(biāo)i求共變導(dǎo)數(shù),并關(guān)于i求和,得調(diào)整指標(biāo),結(jié)合引理1中第二式得由(2.9),(2.11),(2.13),(2.14),(3.4)式,經(jīng)計(jì)算得我們對(duì)上式各項(xiàng)作估計(jì)有固定α,使hαij=hαiiδij,則由于不等式兩邊均與局部標(biāo)架選取無關(guān),故關(guān)于α求和得另外,有(見參考文獻(xiàn))由(3.5)–(3.10)式,有由Mn的緊性,對(duì)上式兩邊積分,即得推論3的證明由推論條件當(dāng)時(shí),必有S<n由定理1知此時(shí)Mn極小,即H=0.此時(shí)定理2的結(jié)果變?yōu)橛缮鲜街?當(dāng)時(shí),只有S=0,即Mn全測地.定理4的證明對(duì)引理1的第一式關(guān)于i求導(dǎo),并