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文檔簡介

第01講概率初步1.了解什么是必然發(fā)生事件、不可能發(fā)生事件和隨機事件.2.在具體情境中了解概率的意義,體會概率是描述不確定事件發(fā)生可能性大小的數(shù)學概念,理解概率取值范圍的意義.3.能夠運用列舉法(包括列表、畫樹狀圖)計算簡單事件發(fā)生的概率.4.能夠通過試驗,獲得事件發(fā)生的頻率,知道通過大量重復試驗,可以用頻率估計概率,了解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系.5.通過實例進一步豐富對概率的認識,并能解決一些簡單的實際問題.知識點1:事件類型EQ\o\ac(○,1)必然事件:有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生,這些事情稱為必然事件.EQ\o\ac(○,2)不可能事件:有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生,這些事情稱為不可能事件.EQ\o\ac(○,3)不確定事件:許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生,稱為不確定事件(又叫隨機事件).說明:(1)必然事件、不可能事件都稱為確定性事件.(2)事件分為確定事件和不確定事件,確定事件又分為必然事件和不可能事件,其中,①

必然事件發(fā)生的概率為1,即P(必然事件)=1;②

不可能事件發(fā)生的概率為0,即P(不可能事件)=0;③

如果A為不確定事件,那么0<P(A)<1知識點2:概率1.定義:一般地,對于一個隨機事件A,把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值,稱為隨機事件A發(fā)生的概率,記為P(A).(1)一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性,反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。(2)概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。2、概率的求法:一般地,如果在一次試驗中,有n種可能的結果,并且它們發(fā)生的可能性都相等,事件A包含其中的m種結果,那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=.(1)一般地,所有情況的總概率之和為1。(2)在一次實驗中,可能出現(xiàn)的結果有限多個.(3)在一次實驗中,各種結果發(fā)生的可能性相等.(4)概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小,事件發(fā)生的可能性越大,則它的概率越接近1;反之,事件發(fā)生的可能性越小,則它的概率越接近0。(5)一個事件的概率取值:0≤P(A)≤1當這個事件為必然事件時,必然事件的概率為1,即P(必然事件)=1不可能事件的概率為0,即P(不可能事件)=0隨機事件的概率:如果A為隨機事件,則0<P(A)<1(6)可能性與概率的關系事件發(fā)生的可能性越大,它的概率越接近于1,事件發(fā)生的可能性越小,則它的概率越接近0.求概率方法:(1)列舉法:通常在一次事件中可能發(fā)生的結果比較少時,我們可以把所有可能產生的結果全部列舉出來,并且各種結果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。(2)列表法:當一次實驗要涉及兩個因素(例如擲兩個骰子),并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時,為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。(3)列樹形圖法:當一個實驗要涉及3個或更多的因素(例如從3個口袋中取球)時,列表就不方便了,為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。知識點3:頻率與概率1、頻數(shù):在多次試驗中,某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)2、頻率:某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比,叫做這個事件出現(xiàn)的頻率3、一般地,在大量重復試驗中,如果事件 A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近 ,那么,這個常數(shù)p就叫作事件A的概率,記為P(A)=P。【題型1:事件類型】【典例1】(2023春?成華區(qū)期末)下列事件是必然事件的是()A.打開電視,正在播放神舟載人飛船發(fā)射 B.擲一枚骰子,點數(shù)是3的面朝上 C.兩直線被第三條直線所截,同位角相等 D.三角形內角和是180°【答案】D【解答】解:A.打開電視,正在播放神舟載人飛船發(fā)射,是隨機事件,故A不符合題意;B.擲一枚骰子,點數(shù)是3的面朝上,是隨機事件,故B不符合題意;C.兩直線被第三條直線所截,同位角相等,是隨機事件,故C不符合題意;D.三角形內角和是180°,是必然事件,故D符合題意;故選:D.【變式1-1】(2023?武昌區(qū)一模)彩民小明購買10000張彩票,中一等獎.這個事件是()A.必然事件 B.確定性事件 C.不可能事件 D.隨機事件【答案】D【解答】解:彩民小明購買10000張彩票,中一等獎.這個事件是隨機事件,故選:D.【變式1-2】(2023春?高港區(qū)月考)“水中撈月”是()A.隨機事件 B.必然事件 C.確定事件 D.隨緣事件【答案】C【解答】解:水中撈月不可能達成,故為確定事件中的不可能事件.故選:C.【變式1-3】(2023春?江岸區(qū)校級月考)下列事件是必然事件的是()A.任意畫一個三角形,其內角和是180° B.隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是奇數(shù) C.汽車累積行駛1000km,從未出現(xiàn)故障 D.購買1張彩票,中獎【答案】A【解答】解:A、任意畫一個三角形,其內角和是180°,是必然事件,故A符合題意;B、隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是奇數(shù),是隨機事件,故B不符合題意;C、汽車累積行駛1000km,從未出現(xiàn)故障,是隨機事件,故C不符合題意;D、購買1張彩票,中獎,是隨機事件,故D不符合題意;故選:A【題型2:可能性大小】【典例2】(2023?西湖區(qū)開學)一個僅裝有球的不透明盒子里,共有20個紅球和白球(僅有顏色不同),小明進行了摸球試驗,摸到紅球可能性最大的是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:∵一個僅裝有球的不透明盒子里,共有20個紅球和白球(僅有顏色不同),0<4<10<16,∴摸到紅球可能性最大的是D選項.故選:D.【變式2-1】(2023?成武縣校級開學)同時擲兩個骰子,算點數(shù)之和.如果小芳選5、6、7、8、9五個數(shù),而小明選2、3、4、10、11、12六個數(shù),擲20次,()贏的可能性大.A.小芳 B.小明 C.機會均等 D.無法判斷【答案】A【解答】解:∵擲出和是5有4種情況,和是6有5種情況,和是7有6種情況,和是8有5種情況,和是9有4種情況,即這五個數(shù)的情況有24種,擲出和是2有1種情況,和是3有2種情況,和是4有3種情況,和是10有3種情況,和是11有2種情況,和是12有1種情況,即這六個數(shù)的情況有12種,∴小芳贏的可能性大,故選:A.【變式2-2】(2023春?乳山市期末)一個不透明的盒子中裝有3個紅球和5個白球,它們除顏色外其它都相同.若從中隨機摸出一個球,則下列敘述正確的是()A.摸到白球是必然事件 B.摸到黑球是不可能事件 C.摸到紅球比摸到白球的可能性大 D.摸到紅球與摸到白球的可能性相等【答案】B【解答】解:A、摸到白球是隨機事件,選項錯誤,不符合題意;B、摸到黑球是不可能事件,選項正確,符合題意;C、紅球的數(shù)量比白球少,摸到紅球比摸到白球的可能性少,選項錯誤,不符合題意;D、紅球的數(shù)量比白球少,摸到紅球比摸到白球的可能性少,選項錯誤,不符合題意;故選:B.【變式2-3】(2023?白云區(qū)二模)一個不透明的盒子內裝中有除顏色外,其余完全相同的2個紅球,2個白球,2個黃球,小星將盒中小球攪勻后,每次從中隨機摸出一球,記下顏色后放回盒中攪勻,再從中隨機摸出一球下面是他前兩次摸球的情況:當小星第三次摸球時,下列說法正確的是()次數(shù)第1次第2次第3次顏色紅球紅球?A.一定摸到紅球 B.摸到紅球的可能性小 C.一定摸不到紅球 D.摸到紅球、白球、黃球的可能性一樣大【答案】D【解答】解:∵不透明的盒子內裝有完全相同的2個紅球,2個白球,2個黃球,∴小星第三次摸到紅球、白球、黃球的可能性一樣大.故選:D.【題型3:概率的意義】【典例3】(2023?上城區(qū)開學)某商店開展“有獎銷售活動”:凡購物滿100元,就可以獲得一次抽獎機會,中獎的可能性是85%,也就是說抽獎()A.100個人抽獎必有85個人中獎 B.抽100次必有85次中獎 C.一定中獎 D.有可能中獎【答案】D【解答】解:某商店開展“有獎銷售活動”:凡購物滿100元,就可以獲得一次抽獎機會,中獎的可能性是85%,也就是說抽獎有可能中獎,故選:D.【變式3-1】(2023春?北票市期末)小剛擲一枚均勻的硬幣,一連99次都擲出正面朝上,當他第100次擲硬幣時,出現(xiàn)正面朝上的概率是()A.0 B.1 C. D.【答案】C【解答】解:根據(jù)概率的意義,無論哪一次擲硬幣,都有2種情況,即正面、反面朝上,正面朝上的概率都為,故選:C.【變式3-2】(2023春?清苑區(qū)期末)已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為,下列說法錯誤的是()A.通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的 B.大量重復拋一枚均勻硬幣,出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于 C.連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上 D.連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上【答案】D【解答】解:拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為,就是經過大量重復的實驗,拋一枚均勻硬幣正面朝上的頻率越穩(wěn)定在左右,因此,A.通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的,這是公平的,因此選項A不符合題意;B.大量重復拋一枚均勻硬幣,出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于,這種說法是正確的,因此選項B不符合題意;C.連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上,是可能存在的,因此選項C不符合題意;D.連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上,這是不正確的,因此選項D符合題意;故選:D.【變式3-3】(2023春?龍華區(qū)期末)某氣象臺預報“本市明天下雨的概率為90%”對此信息,下列說法正確的是()A.明天一定會下雨 B.明天全市90%的地方在下雨 C.明天90%的時間在下雨 D.明天下雨的可能性比較大【答案】D【解答】解:某氣象臺預報“本市明天下雨的概率為90%”,意思是:明天下雨的可能性比較大,故選:D.【題型4:幾何意義】【典例4】(2023春?沙坪壩區(qū)校級期末)如圖是一個可以自由轉動的轉盤,轉盤轉動并停止后,指針落在B區(qū)域的概率是?()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:由題意可得,指針落在B區(qū)域的概率是=.故選:C.【變式4-1】(2022秋?連云港期末)如圖,轉盤中的各個扇形面積相等,任意轉動轉盤1次,指針落在陰影區(qū)域的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:∵圓被等分成5份,其中陰影部分占1份,∴指針落在陰影部分的概率為.故選:B.【變式4-2】(2022秋?倉山區(qū)校級期末)一個均勻的小球在如圖所示的水平地板上自由滾動,并隨機停在某塊方磚上,若每一塊方磚除顏色外完全相同,那么小球最終停留在黑磚上的概率是()A. B. C. D.1【答案】A【解答】解:∵總面積為9個小正方形的面積,其中陰影部分面積為4個小正方形的面積,∴小球停留在陰影部分的概率是,故選:A.【變式4-3】(2023春?汝州市期末)如圖,一只螞蟻在地板上自由爬行,并隨機停在某塊方磚上,那么螞蟻最終停留在三角形區(qū)域上的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:由圖知,若設方磚的邊長為a,則地板的總面積為5a×4a=20a2,黑磚的面積為20a2﹣(3a×3a+2a×4a+a×5a)=9a2,∴小球最終停留在黑磚上的概率是=,故選:D.【題型5:概率公式】【典例5】(2022秋?銅梁區(qū)校級期末)一個布袋中放著12個黑球和8個紅球,除了顏色以外沒有任何其他區(qū)別.則從布袋中任取1個球,取出紅球的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:布袋中球的總數(shù)為:8+12=20(個),因此從布袋中任取1個球,取出紅球的概率是.故選:C.【變式5-1】(2023?柯橋區(qū)一模)學校招募運動會廣播員,從三名男生和一名女生中隨機選取一人,則選中女生的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:∵從三名男生和一名女生共四名候選人中隨機選取一人,∴選中女生的概率為,故選:C.【變式5-2】(2023春?渠縣校級期末)某路口南北方向信號燈的設置時間為:紅燈25s,綠燈30s,黃燈5s.王老師隨機地由南往北開車到達該路口,他遇到綠燈的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:因為紅燈25s,綠燈30s,黃燈5s,所以他遇到綠燈的概率是,故選:D.【變式5-3】(2023?錫林浩特市二模)質檢人員從編號為1,2,3,4,5的五種不同產品中隨機抽取一種進行質量檢測,所抽到的產品編號不小于4的概率為()A.. B. C. D.【答案】B【解答】解:∵抽取的產品數(shù)為5種,編號不小于4的情況有2種,∴所抽到的產品編號不小于4的概率為.故選:B.【題型6:列表法與樹狀圖法】【典例6】(2023?朝陽)某校在八年級開展了以“爭創(chuàng)文明城市,建設文明校園”為主題的系列藝術展示活動,活動項目有“繪畫展示”“書法展示”“文藝表演”“即興演講”四組(依次記為A,B,C,D).學校要求八年級全體學生必須參加且只能參加其中的一個項目,為了解八年級學生對這幾項活動的喜愛程度,隨機抽取了部分八年級學生進行調查,并將調查的結果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)以上信息,解答下列問題:(1)本次一共抽樣調查了50名學生;(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;(3)若該校八年級共有600名學生,請估計該校八年級學生選擇“文藝表演”的人數(shù);(4)學校從這四個項目中隨機抽取兩項參加“全市中學生才藝展示活動”.用列表法或畫樹狀圖法求出恰好抽到“繪畫展示”和“書法展示”的概率.【答案】(1)50;(2).【解答】解:(1)12÷24%=50(人),所以本次一共抽樣調查了50名學生;故答案為:50;(2)B組人數(shù)為50﹣18﹣5﹣12=15(人),條形統(tǒng)計圖補充為:(3)600×=60(人),所以估計該校八年級學生選擇“文藝表演”的人數(shù)60人;(4)畫樹狀圖為:共有12種等可能的結果,其中抽到“繪畫展示”和“書法展示”的結果數(shù)為2,所以恰好抽到“繪畫展示”和“書法展示”的概率==.【變式6-1】(2023?東城區(qū)校級模擬)不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個,除顏色外兩個小球無其他差別,從中隨機摸出一個小球,放回并搖勻,再從中隨機摸出一個小球,那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:列表如下:紅綠紅(紅,紅)(綠,紅)綠(紅,綠)(綠,綠)所有等可能的情況有4種,其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的有1種情況,所以第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率為,故選:C.【變式6-2】(2023春?渠縣校級期末)有五條線段,長度分別是2,4,6,8,10,從中任取三條能構成三角形的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:所有的情況有:2,4,6;2,4,8;2,4,10;2,6,8;2,6,10;2,8,10;4,6,8;4,6,10;4,8,10;6,8,10,共10種,其中能構成三角形的有:4,6,8;6,8,10;4,8,10,共3種,則P=.故選:B.【變式6-3】(2022秋?昌圖縣期末)小紅有三頂帽子,分別為白色、紅色和粉色,有兩條圍巾,分別為白色和紅色.她隨機拿出一頂帽子和一條圍巾戴上,恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:畫樹狀圖為:共有6種等可能的結果,其中恰好為紅色帽子和紅色圍巾的結果數(shù)為1種,所以恰好為紅色帽子和紅色圍巾的概率=.故選:C.【變式6-4】(2023?舒城縣模擬)甲、乙、丙三個同學并排走在一起,則甲乙恰好相鄰的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:用樹狀圖分析如下:∴一共有6種情況,甲、乙兩人恰好相鄰有4種情況,∴甲、乙兩人相鄰的概率是.故選:D.【變式6-5】(2023?江山市模擬)為了弘揚我國古代數(shù)學發(fā)展的偉大成就,某校九年級進行了一次數(shù)學知識競賽,并設立了以我國古代數(shù)學家名字命名的四個獎項:“祖沖之獎”、“劉徽獎”、“趙爽獎”、“秦九韶獎”.根據(jù)獲獎情況繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.?獲最高獎項“祖沖之獎”的學生成績統(tǒng)計表:分數(shù)/分80859095人數(shù)/人42104根據(jù)圖形信息,解答下列問題:(1)求獲獎學生的總人數(shù),并補全條形統(tǒng)計圖;(2)獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數(shù)是90分,眾數(shù)是90分;(3)若從獲得“祖沖之獎”且得分為95分的甲,乙,丙,丁四名同學中隨機抽取2名參加市級數(shù)學知識競賽,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求出恰好抽到甲和乙的概率.【答案】(1)200人,統(tǒng)計圖見解答;(2)90,90;(3).【解答】解:(1)本次獲獎人數(shù)有:20÷10%=200(人),則獲得“秦九韶獎”的人數(shù)有200×46%=92(人).則劉徽獎的人數(shù)為200×(1﹣24%﹣46%﹣10%)=40(人),補全條形統(tǒng)計圖如解圖所示:(2)獲得“祖沖之獎”的學生成績的中位數(shù)是90分,眾數(shù)是90分;故答案為:90,90;(3)樹狀圖如圖所示,∵從四人中隨機抽取兩人共有12種情況,并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等,恰好是甲和乙的有2種可能,分別是(甲,乙),(乙,甲).∴抽取兩人恰好是甲和乙的概率是=.【題型7:游戲的公平性】【典例7】(2021秋?烏蘭察布期末)如圖,甲、乙兩人在玩轉盤游戲時,準備了兩個可以自由轉動的轉盤A,B,每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每一個扇形內標上數(shù)字.游戲規(guī)則:同時轉動兩個轉盤,當轉盤停止后,指針所指區(qū)域的數(shù)字之和為0時,甲獲勝;數(shù)字之和為1時,乙獲勝.如果指針恰好指在分割線上,那么重轉一次,直到指針指向某一區(qū)域為止.(1)用畫樹狀圖或列表法求乙獲勝的概率;(2)這個游戲規(guī)則對甲、乙雙方公平嗎?請判斷并說明理由.【答案】見試題解答內容【解答】解:(1)列表:由列表法可知:會產生12種結果,它們出現(xiàn)的機會相等,其中和為1的有3種結果.∴P(乙獲勝)=;(2)公平.∵P(乙獲勝)=,P(甲獲勝)=.∴P(乙獲勝)=P(甲獲勝)∴游戲公平.【變式7-1】(2023春?酒泉期末)在“五?四”青年節(jié)中,全校舉辦了文藝匯演活動.小麗和小芳都想當節(jié)目主持人,但現(xiàn)在只有一個名額.小麗想出了一個辦法,她將一個轉盤(均質的)均分成6份,如圖所示.游戲規(guī)定:隨意轉動轉盤,若指針指到3,則小麗去;若指針指到2,則小芳去.若你是小芳,會同意這個辦法嗎?為什么?【答案】見試題解答內容【解答】解:不會同意.因為轉盤中有兩個3,一個2,這說明小麗去的可能性是,而小芳去的可能性是,所以游戲不公平.【變式7-2】(2023春?梅江區(qū)期末)有一張明星演唱會的門票,小明和小亮都想獲得這張門票,親自體驗明星演唱會的熱烈氣氛,小紅為他們出了一個主意,方法就是:從印有1、2、3、4、5、4、6、7的8張撲克牌中任取一張,抽到比4大的牌,小明去;否則,小亮去.(1)求小明抽到4的概率;(2)你認為這種方法對小明和小亮公平嗎請說明理由;若不公平,請你修改游戲規(guī)則,使游戲對雙方都公平.【答案】見試題解答內容【解答】(1)解:從8張撲克牌中任取一張,所有可能出現(xiàn)的結果一共有8種,每種結果出現(xiàn)的概率都相等,其中抽到4的結果有2種.所以,P(抽到4)=.(2分)答:小明抽到4的概率為.(3分)(2)解:不公平.理由如下:從8張撲克牌中任取一張,所有可能出現(xiàn)的結果一共有8種,每種結果出現(xiàn)的概率都相等,其中抽到比4大的結果有3種.所以,P(抽到比4大)=.所以小明去看演唱會的概率為,則小亮去看演唱會的概率為:1﹣=.因為<,所以,游戲不公平.(5分)修改游戲規(guī)則如下:(答案不唯一)從印有1、2、3、4、5、4、6、7的8張撲克牌中任取一張,抽到比4大的牌,小明去;抽到比4小的牌,小亮去,抽到4重新抽,游戲對雙方都公平.(7分)【變式7-3】(2023?定西模擬)小紅和小丁玩紙牌游戲:如圖是同一副撲克中的4張牌的正面,將它們正面朝下洗勻后放在桌上,小紅先從中抽出一張,小丁從剩余的3張牌中也抽出一張.比較兩人抽出的牌面上的數(shù)字,數(shù)字大者獲勝.(1)請用樹狀圖或列表法表示出兩人抽牌可能出現(xiàn)的所有結果;(2)這個游戲公平嗎?請說明理由.【答案】見試題解答內容【解答】解:(1)樹狀圖如右:則小紅獲勝的概率:=,小丁獲勝的概率:=,所以這個游戲比較公平.【題型8:用頻率估計概率】【典例8】(2022秋?路北區(qū)校級期末)在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球,這a個球中只有4個紅球,若每次將球充分攪勻后,任意摸出1個球記下顏色再放回盒子.通過大量重復試驗后,發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右,則a的值大約為()A.16 B.20 C.24 D.28【答案】B【解答】解:根據(jù)題意知=20%,解得a=20,經檢驗:a=20是原分式方程的解,故選:B.【變式8-1】(2022秋?吉安期末)某小組在“用頻率估計概率”的實驗中,統(tǒng)計了某種結果出現(xiàn)的頻率,繪制了如圖的折線圖,那么符合這一結果的實驗最有可能的是()A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀” B.袋子中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區(qū)別,從中隨機地取出一個球是黃球 C.擲一枚質地均勻的硬幣,落地時結果是“正面向上” D.擲一個質地均勻的正六面體骰子,落地時面朝上的點數(shù)是6【考點】利用頻率估計概率;頻數(shù)(率)分布折線圖.【答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可知,試驗結果在0.16附近波動,即其概率P≈0.16,計算四個選項的概率,約為0.16者即為正確答案.【解答】解:A、在“石頭、剪刀、布”的游戲中,小明隨機出的是“剪刀”的概率為,故本選項不符合題意;B、袋子中有1個紅球和2個黃球,它們只有顏色上的區(qū)別,從中隨機地取出一個球是黃球的概率為,故本選項不符合題意;C、擲一枚質地均勻的硬幣,落地時結果是“正面向上”的概率是,故本選項不符合題意;D、擲一個質地均勻的正六面體骰子,落地時面朝上的點數(shù)是6的概率為≈0.17,故本選項符合題意.故選:D.【變式8-2】(2023?巴中模擬)近年來,洞庭湖區(qū)環(huán)境保護效果顯著,南遷的候鳥種群越來越多.為了解南遷到該區(qū)域某濕地的A種候鳥的情況,從中捕捉40只,戴上識別卡并放回;經過一段時間后觀察發(fā)現(xiàn),200只A種候鳥中有10只佩有識別卡,由此估計該濕地約有800只A種候鳥.【考點】利用頻率估計概率.【答案】見試題解答內容【分析】在樣本中“200只A種候鳥中有10只佩有識別卡”,即可求得有識別卡的所占比例,而這一比例也適用于整體,據(jù)此即可解答.【解答】解:設該濕地約有x只A種候鳥,則200:10=x:40,解得x=800.故答案為:800.【變式8-3】(2023春?鹽都區(qū)期中)在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共20只,這些球除顏色外其余完全相同.攪勻后,小明做摸球試驗,他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后,再把球放回盒子中,不斷重復上述過程,下表是實驗中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).摸球的次數(shù)n10020030050080010003000摸到白球的次數(shù)m521381783024815991803摸到白球的頻率0.520.690.5930.6040.600.5990.601(1)若從盒子里隨機摸出一只球,則摸到白球的概率的估計值為0.6(精確到0.1)(2)盒子里白色的球有12只;(3)若將m個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻,隨機摸出1個球是白球的概率是0.8,求m的值.【考點】利用頻率估計概率.【答案】見試題解答內容【分析】(1)計算出其平均值即可;(2)用總數(shù)乘以其頻率即可求得頻數(shù);(3)利用概率公式求解即可.【解答】解:(1)∵摸到白球的頻率約為0.6,∴當n很大時,摸到白球的頻率將會接近0.6;(2)∵摸到白球的頻率為0.6,共有20只球,∴則白球的個數(shù)為20×0.6=12只;(3)根據(jù)題意得:,解得:m=20.故答案為:0.6;121.(2023?呼和浩特)如圖所示的兩張圖片形狀大小完全相同,把兩張圖片全部從中間剪斷,再把四張形狀大小相同的小圖片混合在一起.從四張圖片中隨機摸取一張,不放回,接著再隨機摸取一張,則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:四張形狀相同的小圖片分別用A、a、B、b表示,其中A和a合成一張完整圖片,B和b合成一張完整圖片,畫樹狀圖如下:共有12種等可能的結果,其中兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結果數(shù)為4,所以兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率=.故選:B.2.(2023?鎮(zhèn)江)如圖,桌面上有3張卡片,1張正面朝上.任意將其中1張卡片正反面對調一次后,這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是()A.1 B. C. D.【答案】B【解答】解:∵任意將其中1張卡片正反面對調一次,有3種對調方式,其中只有對調反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上,∴P=,故選:B.3.(2023?盤錦)下列事件中,是必然事件的是()A.任意畫一個三角形,其內角和是180° B.任意買一張電影票,座位號是單號 C.擲一次骰子,向上一面的點數(shù)是3 D.射擊運動員射擊一次,命中靶心【答案】A【解答】解:A、任意畫一個三角形,其內角和是180°,是必然事件,故A不符合題意;B、任意買一張電影票,座位號是單號,是隨機事件,故B符合題意;C、擲一次骰子,向上一面的點數(shù)是3,是隨機事件,故C不符合題意;D、射擊運動員射擊一次,命中靶心,是隨機事件,故D不符合題意;故選:A.4.(2023?阜新)某中學舉辦“傳承紅色精神,講好阜新故事”演講比賽,共設置“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題,每位選手隨機選取一個主題參賽.如果小明和小宇都參加比賽,他們同時選中主題“海州礦精神”的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:用1、2、3分別表示“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題,畫樹狀圖為:共有9種等可能的結果,其中他們同時選中主題“海州礦精神”的結果數(shù)為1,所以他們同時選中主題“海州礦精神”的概率=.故選:D.5.(2023?哈爾濱)將10枚黑棋子、5枚白棋子裝入一個不透明的空盒子里,這些棋子除顏色外無其他差別,從盒子中隨機取出一枚棋子,則取出的棋子是黑棋子的概率是()A. B. C. D.【答案】D【解答】解:從盒子中隨機取出一枚棋子有15種等可能結果,其中取出的棋子是黑棋子的有10種結果,所以其概率為=,故選:D.6.(2023?德陽)在6,7,8,9四個數(shù)字中任意選取兩個數(shù)字,則這兩個數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:畫樹狀圖得:∵共有12種等可能的結果,這兩個數(shù)字之和為奇數(shù)的有8種情況,∴這兩個數(shù)字之和為奇數(shù)概率為=.故選:C.7.(2023?恩施州)縣林業(yè)部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率,所統(tǒng)計的銀杏樹苗移植成活的相關數(shù)據(jù)如下表所示:移植的棵數(shù)a1003006001000700015000成活的棵數(shù)b84279505847633713581成活的頻率0.840.930.8420.8470.9050.905根據(jù)表中的信息,估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為(精確到0.1)()A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8【答案】C【解答】解:由表格數(shù)據(jù)可得,隨著樣本數(shù)量不斷增加,這種樹苗移植成活的頻率穩(wěn)定在0.9左右,故估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9.故選:C.8.(2023?北京)先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣,則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是()A. B. C. D.【答案】A【解答】解:先后兩次拋擲同一枚質地均勻的硬幣,總共有四種等可能結果,分別是:(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反),則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是,故選:A.9.(2023?湘西州)在一個不透明的袋中裝有5個白球和2個紅球,它們除顏色不同外,其余均相同現(xiàn)從袋中隨機摸出一個小球,則摸到紅球的概率是.【答案】.【解答】解:摸到紅球的概率為.答案為:.10.(2023?廣州)甲、乙兩位同學相約打乒乓球.(1)有款式完全相同的4個乒乓球拍(分別記為A,B,C,D),若甲先從中隨機選取1個,乙再從余下的球拍中隨機選取1個,求乙選中球拍C的概率;(2)雙方約定:兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣,如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上,那么甲先發(fā)球,否則乙先發(fā)球.這個約定是否公平?為什么?【答案】(1);(2)公平,理由見解答.【解答】解:(1)畫樹狀圖如下:一共有12種等可能的結果,其中乙選中球拍C有3種可能的結果,∴P(乙選中球拍C)=;(2)公平.理由如下:畫樹狀圖如下:一共有4種等可能的結果,其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結果,∴P(甲先發(fā)球)=,P(乙先發(fā)球)=,∵P(甲先發(fā)球)=P(乙先發(fā)球),∴這個約定公平.11.(2023?盤錦)某校為了解學生平均每天閱讀時長情況,隨機抽取了部分學生進行抽樣調查,將調查結果整理后繪制了以下不完整的統(tǒng)計圖表(如圖所示).學生平均每天閱讀時長情況統(tǒng)計表平均每天閱讀時長x/min人數(shù)0<x≤202020<x≤40a40<x≤602560<x≤8015x>8010根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:(1)本次調查共抽取了100名學生,統(tǒng)計表中a=30.(2)求扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60<x≤80”所對應的圓心角度數(shù).(3)若全校共有1400名學生,請估計平均每天閱讀時長為“x>80”的學生人數(shù).(4)該校某同學從《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》四本書中選擇兩本進行閱讀,這四本書分別用相同的卡片A,B,C,D標記,先隨機抽取一張卡片后不放回,再隨機抽取一張卡片,請用列表法或畫樹狀圖法,求該同學恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的概率.【答案】(1)100,30;(2)54°;(3)140名;(4).【解答】解:(1)∵40<x≤60組的人數(shù)為25,占比為25%,且25÷25%=100,∴本次調查共抽取了100名學生;∵20<x≤40組占比30%,30%×100=30,∴a=30,故答案為:100,30;(2)∵樣本中平均每天閱讀時長為“60<x≤80”有15名,且15÷100×360°=54°,∴扇形統(tǒng)計圖中學生平均每天閱讀時長為“60<x≤80”所對應的圓心角度數(shù)為54°;(3)∵樣本中平均每天閱讀時長為“x>80”的學生人數(shù)為10人,且10÷100×1400=140(名),∴估計平均每天閱讀時長為“x>80”的學生人數(shù)為140名;(4)《朝花夕拾》《紅巖》《駱駝祥子》《西游記》這四本書分別用相同的卡片A,B,C,D標記,畫樹狀圖如下:一共有12種等可能的情況,其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游記》即D有2種可能的情況,∴P(恰好抽到《朝花夕拾》和《西游記》的)=.1.(2022秋?臨汾期末)一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球,每個球除顏色外都相同,從中任意摸出3個球,下列事件為必然事件的是()A.至少有1個球是黑球 B.至少有1個球是白球 C.至少有2個球是黑球 D.至少有2個球是白球【答案】A【解答】解:一只不透明的袋子中裝有4個黑球、2個白球,每個球除顏色外都相同,從中任意摸出3個球,至少有1個球是黑球是必然事件;至少有1個球是白球、至少有2個球是黑球和至少有2個球是白球都是隨機事件.故選:A.2.(2022秋?辛集市期末)小李與小陳做猜拳游戲,規(guī)定每人每次至少要出一個手指,兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)時小李獲勝,那么,小李獲勝的概率為()A. B. C. D.【答案】A【解答】解:畫樹狀圖如圖:共有25個等可能的結果,兩人出拳的手指數(shù)之和為偶數(shù)的結果有13個,∴小李獲勝的概率為;故選:A.3.(2023春?環(huán)翠區(qū)期中)下列事件中,屬于必然事件的是()A.三角形的外心到三邊的距離相等 B.某射擊運動員射擊一次,命中靶心 C.任意畫一個三角形,其內角和是180° D.拋一枚硬幣,落地后正面朝上【答案】C【解答】解:A、三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等,三角形的內心到三邊的距離相等,只有三角形是等邊三角形時才符合,故本選項不符合題意;B、某射擊運動員射擊一次,命中靶心是隨機事件,故本選項不符合題意;C、三角形的內角和是180°,是必然事件,故本選項符合題意;D、拋一枚硬幣,落地后正面朝上,是隨機事件,故本選項不符合題意;故選:C.4.(2022秋?南關區(qū)校級期末)如圖,在4×4正方形網格中,黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形,現(xiàn)在任意選取一個白色的小正方形并涂黑,使黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解答】解:∵根據(jù)軸對稱圖形的概念,軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合,白色的小正方形有13個,而能構成一個軸對稱圖形的有5個情況,∴使圖中黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是:.故選:B.5.(2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬)如圖,飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同.若某人向游戲板投擲飛鏢一次(假設飛鏢落在游戲板上),則飛鏢落在陰影部分的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:∵總面積為3×3=9,其中陰影部分面積為4××1×2=4,∴飛鏢落在陰影部分的概率是,故選:C.6.(2022秋?雞西期末)從,0,π,3.14,6這5個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),抽到有理數(shù)的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:∵在,0,π,3.14,6這5個數(shù)中只有0、3.14和6為有理數(shù),∴從,0,π,3.14,6這5個數(shù)中隨機抽取一個數(shù),抽到有理數(shù)的概率是.故選:C.7.(2023?西崗區(qū)模擬)一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球,把它們分別標號為1,2,3,4隨機摸出一個小球,不放回,再隨機摸出一個小球,兩次摸出的小球標號的積小于4的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:畫樹狀圖得:∵共有12種等可能的結果,兩次摸出的小球標號的積小于4的有4種情況,∴兩次摸出的小球標號的積小于4的概率是:=.故選:C.8.(2023春?皇姑區(qū)期末)下列說法正確的是()A.不可能事件發(fā)生的概率為0 B.隨機事件發(fā)生的概率為 C.概率很小的事件不可能發(fā)生 D.投擲一枚質地均勻的硬幣1000次,正面朝上的次數(shù)一定是500次【答案】A【解答】解:A、不可能事件發(fā)生的概率為0,故本選項正確;B、隨機事件發(fā)生的概率P為0<P<1,故本選項錯誤;C、概率很小的事件,不是不發(fā)生,而是發(fā)生的機會少,故本選項錯誤;D、投擲一枚質地均勻的硬幣1000次,是隨機事件,正面朝上的次數(shù)不確定是多少次,故本選項錯誤;故選:A.9.(2023?齊齊哈爾模擬)從長度分別為1、3、5、7的四條線段中任選三條作邊,能構成三角形的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解答】解:從四條線段中任意選取三條,所有的可能有:1,3,5;1,3,7;1,5,7;3,5,7共4種,其中構成三角形的有3,5,7共1種,則P(構成三角形)=.故選:C.10.(2023春?碭山縣校級期末)小燕拋一枚硬幣10次,有7次正面朝上,當她拋第11次時,正面向上的概率為.【答案】見試題解答內容【解答】解:∵拋硬幣正反出現(xiàn)的概率是相同的,不論拋多少次出現(xiàn)正面或反面的概率是一致的,∴正面向上的概率為.故答案為:.11.(2023春?徐州月考)事件A發(fā)生的概率為,大量重復做這種試驗,事件A平均每100次發(fā)生的次數(shù)是5.【答案】見試題解答內容【解答】解:事件A發(fā)生的概率為,大量重復做這種試驗,則事件A平均每100次發(fā)生的次數(shù)為:100×=5.故答案為:5.12.(2022秋?甘井子區(qū)校級期末)如表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結果.那么,這名球員投籃一次,投中的概率約為0.5(精確到0.1).投籃次數(shù)(n)50100150200250300500投中次數(shù)(m)286078104123152251投中頻率(m/n)0.560.600.520.520.490.510.50【答案】見試題解答內容【解答】解:由題意得,這名球員投籃的次數(shù)為1550次,投中的次數(shù)為796,故這名球員投籃一次,投中的概率約為:≈0.5.故答案為:0.5.13.(2022秋?路南區(qū)校級期末)一只昆蟲在如圖所示的樹枝上尋覓食物,假定昆蟲在每個岔路口都會隨機選擇一條路徑,則它獲取食物的概率是.【答案】見試題解答內容【解答】解:根據(jù)樹狀圖,螞蟻獲取食物的概率是=.故答案為.14.(2023?福田區(qū)校級模擬)為了了解全校1500名學生對學校設置的籃球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳繩共5項體育活動的喜愛情況,在全校范圍內隨機抽查部分學生,對他們喜愛的體育項目(每人只選一項)進行了問卷調查,將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖兩幅不完整統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答下列各題.(1)m=20%,這次共抽取了50名學生進行調查;并補全條形圖;(2)請你估計該校約有360名學生喜愛打籃球;(3)現(xiàn)學校準備從喜歡跳繩活動的4人(三男一女)中隨機選取2人進行體能測試,請利用列表或畫樹狀圖的方法,求抽到一男一女學生的概率是多少?【答案】見試題解答內容【解答】解:(1)m=100%﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%=20%;∵跳繩的人數(shù)有4人,占的百分比為8%,∴4÷8%=50;故答案為:20,50;如圖所示;50×20%=10(人).(2)1500×24%=360;故答案為:360;(3)列表如下:男1男2男3女男1男2,男1男3,男1女,男1男2男1,男2男3,男2女,男2男3男1,男3男2,男3女,男3女男1,女男2,女男3,女∵所有可能出現(xiàn)的結果共12種情況,并且每種情況出現(xiàn)的可能性相等.其中一男一女的情況有6種.∴抽到一男一女的概率P==.15.(2023?未央區(qū)校級三模)當前,“精準扶貧”工作已進入攻堅階段,凡貧困家庭均要“建檔立卡”.某初級中學七年級共有四個班,已“建檔立卡”的貧困家庭的學生人數(shù)按一、二、三、四班分別記為A1,A2,A3,A4,現(xiàn)對A1,A2,A3,A4統(tǒng)計后,制成如圖所示的統(tǒng)計圖.(1)求七年級已“建檔立卡”的貧困家庭的學生總人數(shù);(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整,并求出A1所在扇形的圓心角的度數(shù);(3)現(xiàn)從A1,A2中各選出一人進行座談,若A1中有一名女生,A2中有兩名女生,請用樹狀圖表示所有可能情況,并求出恰好選出一名男生和一名女生的概率.【答案】見試題解答內容【解答】解:(1)總數(shù)人數(shù)為:6÷40%=15人(2)A2的人數(shù)為15﹣2﹣6﹣4=3(人)補全圖形,如圖所示A1所在圓心角度數(shù)為:×360°=48°(3)畫出樹狀圖如下:故所求概率為:P==16.(2023?東莞市三模)某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動,活動后,就活動的5個主題進行了抽樣調查(每位同學只選最關注的一個),根據(jù)調查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:(1)這次調查的學生共有多少名?(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整,并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數(shù).(3)如果要在這5個主題中任選兩個進行調查,根據(jù)(2)中調查結果,用樹狀圖或列表法,求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率(將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、B、C、D、E).【答案】見試題解答內容【解答】解:(1)56÷20%=280(名),答:這次調查的學生共有280名;(2)280×15%=42(名),280﹣42﹣56﹣28﹣70=84(名),補全條形統(tǒng)計圖,如圖所示,根據(jù)題意得:84÷280=30%,360°×30%=108°,答:“進取”所對

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