人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義第10講 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（原卷版）

第10講平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.2.能夠用兩個向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題．1、通過閱讀課本，和前面平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算2、截止當(dāng)前，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個數(shù)量積的公式，在學(xué)習(xí)過程中能根據(jù)實際情況，能夠用兩個向量的坐標(biāo)來解決與向量的模、夾角、垂直有關(guān)的問題．知識精講知識精講知識點01平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.則a·b＝x1x2＋y1y2.(1)若a＝(x，y)，則|a|2＝或|a|＝eq\r(x2＋y2).若表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)a⊥b?.(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【即學(xué)即練1】已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10B．－10C．3D．－3能力拓展能力拓展考法01數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，點F在AD上，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝________.反思感悟進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個關(guān)系(1)|a|2＝a·a.(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.【變式訓(xùn)練】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x等于()A．6B．5C．4D．3考法02平面向量的?！镜淅?】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．5D．25反思感悟求向量a＝(x，y)的模的常見思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模時，勿忘記開方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性質(zhì)可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．【變式訓(xùn)練】已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，0)，則|2a－b|的最大值為________．考法03平面向量的夾角、垂直問題【典例3】已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夾角為eq\f(π,6)，則實數(shù)m等于()A．2eq\r(3) B.eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)反思感悟解決向量夾角問題的方法及注意事項(1)求解方法：由cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ.(2)注意事項：利用三角函數(shù)值cosθ求θ的值時，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)判斷θ的值時，要注意cosθ<0時，有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ為180°；cosθ>0時，也有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ為0°.【變式訓(xùn)練】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a與b夾角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求實數(shù)λ的值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知向量SKIPIF1<0，如果向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)m的值是（

）A．3或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或1 C．3或1 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<04．若向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則實數(shù)SKIPIF1<0_______．5．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的數(shù)量投影為_______．6．將函數(shù)SKIPIF1<0的圖像和直線SKIPIF1<0的所有交點從左到右依次記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，若點P坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．7．已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.8．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．9．已知平面向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為______.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．11．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求x的值；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為負(fù)實數(shù)），求x，SKIPIF1<0的值.12．已知平面向量SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求m的值．題組B能力提升練1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．82．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多選）下列說法中正確的有（

）A．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；B．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為銳角，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0；C．若非零向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是SKIPIF1<0.D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為銳角；4．（多選）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在弧SKIPIF1<0上運(yùn)動（包括端點），則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<05．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外接圓上任意一點，則SKIPIF1<0的最大值為___________.6．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為__________.7．在△ABC中，角A，B，C所對的分別為a，b，c，向量SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為______8．已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________.9．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求x的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.10．平面內(nèi)向量SKIPIF1<0（其中O為坐標(biāo)原點），點P是直線OC上的一個動點．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的坐標(biāo)．(2)已知BC中點為D，當(dāng)SKIPIF1<0取最小值時，若AD與CP相交于點M，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值．題組C培優(yōu)拔尖練1．已知圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上四點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（多選）有下列說法，其中正確的說法為（

）A．SKIPIF1<0為實數(shù)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0C．兩個非零向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直D．若SKIPIF1<0分別表示SKIPIF1<0的面積，則SKIPIF1<03．（多選）折扇又名“紙扇”是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或者綾絹做扇面的能折疊的扇子.如圖1，其平面圖是如圖2的扇形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點F在弧SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，點E在弧SKIPIF1<0上運(yùn)動.則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最小值是-34．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________.5．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列四個命題中，所有正