專題08 二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題的四種考法（原卷版）（人教版）

專題08二次函數(shù)中特殊四邊形存在性問題的四種考法類型一、平行四邊形存在性問題例．已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，連接，，，設(shè)的面積為．①求關(guān)于的函數(shù)表達式；②求點到直線的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．(3)如圖2，設(shè)拋物線的對稱軸為，與軸的交點為，在直線上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側(cè)），直線與拋物線交于A、C兩點．

(1)求點C的坐標；(2)點P為直線下方拋物線上一點，過點P作y軸平行線交于E點，當最長時求此時點P的坐標；(3)拋物線頂點為M，在平面內(nèi)是否存在點N，使以為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在請求出N點坐標并在備用圖中畫出圖形；若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，拋物線經(jīng)過，兩點．

(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點，使得值最小，求最小值；(3)點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使以，，，四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練3】綜合與實踐如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標是，點C的坐標是，拋物線的對稱軸交x軸于點D．連接．

(1)求拋物線的解析式：(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)點E在x軸上運動，點F在拋物線上運動，當以點B，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點E的坐標．類型二、菱形存在性問題例．如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．(1)求拋物線的表達式；(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖1，拋物線交x軸于點和點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點D是直線上方拋物線上一動點，連接，和，交于點M，設(shè)的面積為，的面積為，當時，求點D的坐標；(3)如圖2，若點P是拋物線上一動點，過點P作軸交直線于Q點，請問在y軸上是否存在點E，使以P，Q，E，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由【變式訓練2】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸分別交于兩點（點在點左側(cè)），與軸交于點．

(1)求的面積；(2)點為直線上方拋物線上的任意一點，過點作軸交直線于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖2，將拋物線沿著水平方向向右平移個單位長度得到新的拋物線，點為原拋物線與平移后的拋物線的交點，點為平移后的拋物線對稱軸上的一動點，點為坐標平面內(nèi)的一點，直接寫出所有使得以點為頂點的四邊形是菱形的點N的坐標，并把求其中一個點的坐標的求解過程寫出來．類型三、矩形存在性問題例．已知拋物線交x軸于點和點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線上位于直線下方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線于點D，交x軸于點E，當取最大值時，求點P的坐標及最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，對于平面內(nèi)任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出M、N的坐標，不存在，請說明理由．【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線交軸于、兩點，交軸于點．(1)求點、、的坐標；(2)將拋物線向右平移1個單位，得到新拋物線，點在坐標平面內(nèi)，在新拋物線的對稱軸上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，拋物線經(jīng)過點，，．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)的面積為S，求S的最大值及此時點的坐標；(3)已知是拋物線對稱軸上一點，在平面內(nèi)是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．類型四、正方形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過兩點，是位于對稱軸左側(cè)的拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的對稱軸方程；(2)若點滿足，求點的坐標；(3)設(shè)是拋物線的對稱軸上一點，是坐標平面內(nèi)一點，若四邊形是正方形，求此正方形的面積．【變式訓練1】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C．連接BC．點P是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為m，過點P作直線軸于點D．交于點E．過點P作的平行線，交y軸于點M．(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線的函數(shù)表達式；(2)在點P的運動過程中，求使四邊形為菱形時，m的值；(3)點N為平面內(nèi)任意一點，在（2）的條件下，直線上是否存在點Q使得以P，E，Q，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練2】如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．課后訓練1．如圖1，拋物線與軸交于，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，點、為直線下方拋物線上的兩點，點的橫坐標比點的橫坐標大1，過點作軸交于點，過點作軸交于點，求的最大值及此時點的坐標；(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點，坐標平面內(nèi)有一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．2．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線上的動點．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為直線上的動點，當點在第四象限時，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標；(3)已知點為軸上一動點，點為平面內(nèi)任意一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為對角線的正方形，若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線與軸交于，兩點，直線與拋物線交于、兩點，與軸交于點．

(1)求出拋物線與直線的解析式；(2)已知點為線段上一動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，連接、，求的最大面積；(3)若點是軸上的一動點，點是拋物線上一動點，當以點、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，請你直接寫出符合條件的點的坐標．4．在平面直角坐標系中，拋物線（）經(jīng)過點，和．

(1)求拋物線的表達式；(2