北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題2.38 二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題

專題2.38二次函數(shù)背景下直角三角形存在性問題（專項練習）1．如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c圖像經(jīng)過原點和點A（2，0），直線AB與拋物線交于點B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函數(shù)解析式及其頂點C的坐標；（2）在直線AB上是否存在點D，使得△BCD為直角三角形．若存在，求出點D的坐標，若不存在，說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2的圖像經(jīng)過C點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)平移該二次函數(shù)圖像的對稱軸所在直線l，若直線l恰好將△ABC的面積分為1：2兩部分，請求出此時直線l與x軸的交點坐標；(3)將△ABC以AC所在直線為對稱軸翻折180°，得到△AB′C，那么在二次函數(shù)圖像上是否存在點P，使△PB′C是以B′C為直角邊的直角三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，直線與軸交于點為二次函數(shù)圖像上任一點．求這個二次函數(shù)的解析式；若點是直線上方拋物線上一點，過分別作和軸的垂線，交直線于不同的兩點在的左側(cè))，求周長的最大值；是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，求點的坐標；如果不存在，請說明理由．4．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖像與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系解析式；（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；如圖所示，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像與x軸的交點為點A(3，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，連接AC．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大?若存在，求出點D的坐標及△ACD面積的最大值，若不存在，請說明理由.（3）在拋物線上是否存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形如果存在，請直接寫出點E的坐標即可；如果不存在，請說明理由.6．已知：一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸的交點分別為B、C，二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）．（1）說明：二次函數(shù)的圖像過B點，并求出二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點A的坐標；（2）若二次函數(shù)圖像的頂點，在一次函數(shù)圖像的下方，求a的取值范圍；（3）若二次函數(shù)的圖像過點C，則在此二次函數(shù)的圖像上是否存在點D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點D坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（6，0），B（﹣2，0），C（0，4）．（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的表達式；（2）點P在第一象限的拋物線上，且能夠使△ACP得面積最大，求點P的坐標；（3）在（2）的前提下，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△APQ為直角三角形，若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．8．如圖，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．（1）求二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；（2）若點P為拋物線上的一點，且，求點P的坐標；；（3）連接BC，在拋物線的對稱軸上是否存在一點E，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．9．如圖，二次函數(shù)y=a(x2-2mx-3m2)（其中a，m為常數(shù)，且a>0，m>0）的圖像與x軸分別交于點A、B（點A位于點B左側(cè)），與y軸交于點C(0，-3)，點D在二次函數(shù)圖像上，且CD∥AB，連AD；過點A作射線AE交二次函數(shù)于點E，使AB平分∠DAE．（1）當a=1時，求點D的坐標；（2）證明：無論a、m取何值，點E在同一直線上運動；（3）設(shè)該二次函數(shù)圖像頂點為F，試探究：在x軸上是否存在點P，使以PF、AD、AE為邊構(gòu)成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數(shù)式表示點P的橫坐標，如果不存在，請說明理由．10．二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c圖像的一部分如圖所示．已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A(1，0)和點B(0，l)．若此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為C.（1）試求a，b所滿足的關(guān)系式；（2）當△AMC的面積為△ABC面積的52倍時，求a（3）是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．11．如圖，已知二次函數(shù)（）的圖像與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且，，頂點為.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點為線段上的一個動點，過點作軸的垂線，垂足為，若，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）探索：線段上是否存在點，使為直角三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.12．二次函數(shù)的圖像的一部分如圖所示．已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A(1，0)和點B(0，l)．（1）試求a，b所滿足的關(guān)系式；（2）設(shè)此二次函數(shù)的圖像與x軸的另一個交點為C，當△AMC的面積為△ABC面積的倍時，求a的值；（3）是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．13．如圖，在直角坐標系中，已知點A（-1，0）、B（0，2），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．（1）點C的坐標為（，）；（2）若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點C．①求二次函數(shù)的關(guān)系式；②當-1≤x≤4時，直接寫出函數(shù)值y對應(yīng)的取值范圍；Z_X_X_K]③在此二次函數(shù)的圖像上是否存在點P（點C除外），使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．如圖所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上)繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到的．點O′在x軸的正半軸上，點B的坐標為(1，3)．(1)如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0)的圖像經(jīng)過O，O′兩點，且圖像頂點M的縱坐標為－l，求這個二次函數(shù)的解析式；(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖像對稱軸的右側(cè)，是否存在點P，使得△POM為直角三角形?若存在，求出點P的坐標和△POM的面積；若不存在，請說明理由；(3)求邊C′O′所在直線的解析式．15．如圖，已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的圖像與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB＝OC＝3，頂點為M．（1）求出二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D．若OD＝m，△PCD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；（3）探索線段MB上是否存在點P，使得△PCD為直角三角形？如果存在，求出P的坐標；如果不存在，請說明理由．16．如圖，已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（3，0），B（0，1），C（2，2）三點.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點D（，m）在二次函數(shù)的圖像上，將∠ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)至∠FCE，使得射線CE與軸的正半軸交于點E，且經(jīng)過點D，射線CF與線段OA交于點F．求證：BE＝2FO；（3）是否存在點H（n，2），使得點A、D、H構(gòu)成的△ADH是直角三角形？若存在，有幾個符合條件的點H？（直接回答，不必說明理由）定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角滿足，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．（1）若是“近直角三角形”，，則度；（2）如圖，在中，．邊上是否存在點，使得也是“近直角三角形”，若存在，求出所有點的位置；若不存在，請說明理由．參考答案1．（1）y=，（1，-1）；（2）（2，0）或（，）．【解析】試題分析：（1）將點A和點O的坐標代入拋物線的解析式可求得b=-2，c=0，從而得到拋物線的解析式，由拋物線的對稱性可知點C的橫坐標為1，將x=1代入拋物線的解析式可求得y=-1，故此可求得點C的坐標；（2）由∠BAO=45°可知直線AB的一次項系數(shù)為-1，從而可求得直線AB的解析式為y=-x+2．當∠ADC=90°時．依據(jù)相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)之積等于-1可求得直線CD的解析式為y=x-2，將y=-x+2與y=x-2聯(lián)立可求得點D的坐標為（2，0）；當∠BCD=90°時．將y=-x+2與y=聯(lián)立得求得點B的坐標為（-1，3），然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為直線BC的解析式為y=-2x+1，依據(jù)相互垂直的兩直線的一次項系數(shù)之積等于-1可求得直線CD的解析式為y=x?，將y=-x+2與y=x?聯(lián)立可求得點D的坐標為（，）．試題解析：（1）將（0，0）、（2，0）代入函數(shù)的解析式得：，解得．二次函數(shù)的解析式為y=．∵點（0，0）與（2，0）關(guān)于x=1對稱，∴拋物線的對稱軸為x=1．將x=1代入得：y=-1．∴點C的坐標為（1，-1）；（2）∵∠BAO=45°，∴直線AB的一次項系數(shù)為-1．設(shè)直線AB的解析式為y=-x+b，將（2，0）代入得：-2+b=0，解得b=2．∴直線AB的解析式為y=-x+2．如圖1所示：當∠ADC=90°時．∵∠ADC=90°，∴CD⊥AB．∴直線CD與直線AB的一次項系數(shù)的乘以為-1．∴直線CD的一次項系數(shù)為1．設(shè)直線CD的解析式為y=x+b．∵將C（1，-1）代入得：1+b=-1．解得b=-2，∴直線CD的解析式為y=x-2．將y=-x+2與y=x-2聯(lián)立得．解得．∴點D的坐標為（2，0）．如圖2所示：當∠BCD=90°時．∵將y=-x+2與y=聯(lián)立得，解得或，∴點B的坐標為（-1，3）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將（-1，3）、（1，-1）代入得，解得．∴直線BC的解析式為y=-2x+1．∵CD⊥BC，∴直線CD的一次項系數(shù)為．設(shè)直線CD的解析式為y=x+c，將點C的坐標代入得×1+c=-1．解得：c=．∴直線CD的解析式為y=x．將y=-x+2與y=x聯(lián)立得．解得．∴點D的坐標為（，）．由圖形可知∠CBD=90°的情況不存在．綜上所述，點D的坐標為（2，0）或（，）．考點：二次函數(shù)綜合題．2．(1)y＝x2-x﹣2；(2)直線l與x軸的交點坐標為(1，0)或(3﹣，0)；(3)點P的坐標為：(﹣，)或(﹣1，﹣1)或(，﹣)．【分析】（1）過點C作CD⊥x軸于點D，根據(jù)△AOB≌△CDA求出CD、OD得出C（3，1），再代入拋物線即可.（2）先求出S△ABC，求出直線BC的解析式為，同理求得直線AC、AB的解析式，設(shè)直線l與x軸交點坐標為（x，0），設(shè)直線l與BC、AC分別交于點F、E，根據(jù)，得出，求出x即可，設(shè)直線l與BC、AB分別交于點F、E，根據(jù)，得出求出x即可.（3）延長CB交拋物線于點P3，過點B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點P1、P2，設(shè)直線B′P1的解析式為：，過點B′作B′M⊥x軸于點M，根據(jù)△AOB≌△AMB′求出B′的坐標，得出直線B′P1的解析式為：，再根據(jù)得出P1、P2的坐標，根據(jù)得出P3的坐標．【詳解】解：（1）如圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∵∠BOA=∠ADC=90°，在△AOB和△CDA中，，∴△AOB≌△CDA（AAS）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵點C（3，1）在拋物線，∴解得：b=，∴拋物線的解析式為：.（2）在Rt△AOB中，

∵OA=1，OB=2，

∴AB=，∴.設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=，b=2，

∴.同理求得直線AC的解析式為：，直線AB的解析式為：y=-2x+2，

設(shè)直線l與x軸交點坐標為（x，0）

如圖2：設(shè)直線l與BC、AC分別交于點F、E，則EF=.△CEF中，EF邊上的高h=OD-x=3-x．

由題意得：，即：，∴，解得x1=，x2=（不合題意，舍去），如圖3：設(shè)直線l與BC、AB分別交于點F、E，則EF=△BEF中，EF邊上的高h=x．

由題意得：.即：.解得x1=1，x2=-1（不合題意，舍去）

當直線l與x軸交點坐標為（1，0）或（，0）時，恰好將△ABC的面積分為1：2的兩部分，

（3）存在．

如圖4，延長CB交拋物線于點P3，過點B′作B′P1⊥BC，交拋物線于點P1、P2，則CB∥B′P1，

設(shè)直線B′P1的解析式為：，過點B′作B′M⊥x軸于點M，

在△AOB和△AMB′中，，∴△AOB≌△AMB′（AAS），∴B′M=BO=2，

AM=AO=1，∴B′的坐標為（2，-2），∴，∴b=，∴直線B′P1的解析式為：y=由得或，∴P1的坐標是（-1，-1），P2的坐標是，∵∠ACB=∠ACB′=45°，

∴∠B′CP3=90°，由得：（舍去），或，∴P3的坐標是，∴P點坐標是P1（-1，-1），P2，P3.【點撥】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．3．；最大周長為；或或．【分析】（1）運用待定系數(shù)法求這個二次函數(shù)的解析式；（2）先求解的解析式，證明得到利用的坐標表示的長度，利用三角函數(shù)求解的長度，建立周長與的橫坐標之間的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的最值求周長的最大值，（3）分情況討論：以為直角頂點，利用可直接得到答案，以為直角頂點時，利用求解的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線為：把代入（2）設(shè)直線為解得：軸，軸，設(shè)的周長當時，周長最大．最大周長為：（3）如圖，當時，為拋物線與軸的交點，當時，與軸交于點，設(shè)的解析式為：解得：為解得：或綜上：以為直角邊的直角三角形時，點坐標為或或．【點撥】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)求圖形周長的最值問題，直角三角形的存在性問題，同時考查三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（1）；（2）存在，點P，使△PAC的面積最大；（3）存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【分析】（1）直接把點A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函數(shù)y＝ax2+bx+2求出a、b的值即可得出拋物線的解析式；（2）設(shè)點P坐標為（m，n），則n＝﹣m2﹣m+2，連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．根據(jù)三角形的面積公式得出△PAC的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)求最大值的方法得出其頂點坐標即可；（3）以BC為邊，在線段BC兩側(cè)分別作正方形，正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”，因此有四個點符合題意要求，再過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，過點Q2作Q2E⊥x軸于點E，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△Q1CD≌△CBO，△CBO≌△BQ2E，故可得出各點坐標．【詳解】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2過點A（﹣3，0），B（1，0），∴∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）存在．∵如圖1所示，設(shè)點P坐標為（m，n），則n＝﹣m2﹣m+2．連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．則PM＝﹣m2﹣m+2．，PN＝﹣m，AO＝3．∵當x＝0時，y＝﹣×0﹣×0+2＝2，∴OC＝2，∴S△PAC＝S△PAO+S△PCO﹣S△ACO＝AO?PM+CO?PN﹣AO?CO＝×3×（﹣m2﹣m+2）+×2×（﹣m）﹣×3×2＝﹣m2﹣3m∵a＝﹣1＜0∴函數(shù)S△PAC＝﹣m2﹣3m有最大值∴當m＝﹣＝﹣時，S△PAC有最大值．∴n＝﹣m2﹣m+2＝﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，∴存在點P（﹣，），使△PAC的面積最大．（3）如圖2所示，以BC為邊在兩側(cè)作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，則點Q1，Q2，Q3，Q4為符合題意要求的點．過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，過點Q2作Q2E⊥x軸于點E，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3+∠4＝90°，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，在△Q1CD與△CBO中，∵，∴△Q1CD≌△CBO，∴Q1D＝OC＝2，CD＝OB＝1，∴OD＝OC+CD＝3，∴Q1（2，3）；同理可得Q4（﹣2，1）；同理可證△CBO≌△BQ2E，∴BE＝OC＝2，Q2E＝OB＝1，∴OE＝OB+BE＝1+2＝3，∴Q2（3，1），同理，Q3（﹣1，﹣1），∴存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形．Q點坐標為：Q1（2，3），Q2（3，1），Q3（﹣1，﹣1），Q4（﹣2，1）．【點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)極值、全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，涉及面較廣，難度較大．5．（1）y=-x2+2x+3；（2）拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為(，)且△ACD面積的最大值；（3）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因為點A(3，0)，點C(0,3)在拋物線y=?x2+bx+c上，可代入確定b、c的值；(2)過點D作DH⊥x軸，設(shè)D(t，-t2+2t+3)，先利用圖像上點的特征表示出S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=，再利用頂點坐標求最值即可；(3)分兩種情況討論：①過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1，交y軸于點F，連接E1C，求出點F的坐標，再求直線AE的解析式為y＝x?3，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求解即可；②過點C作CE⊥CA，交拋物線于點E2、交x軸于點M，連接AE2，求出直線CM的解析式為y＝x＋3，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求解即可.【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx+c與x軸的交點為點A(3，0)與y軸交于點C(0，3)∴解之得∴這個二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3（2）解：如圖，設(shè)D(t，-t2+2t+3)，過點D作DH⊥x軸，垂足為H，則S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=(-t2+2t+3+3)+(3-t)(-t2+2t+3)-×3×3==∵<0∴當t=時，△ACD的面積有最大值此時-t2+2t+3=∴拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為(，)且△ACD面積的最大值（3）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).理由如下：有兩種情況：①如圖，過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1、交y軸于點F，連接E1C．∵CO＝AO＝3，∴∠CAO＝45°，∴∠FAO＝45°，AO＝OF＝3．∴點F的坐標為（0，?3）．設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b，將（0，?3），（3，0）代入y＝kx＋b得：解得∴直線AE的解析式為y＝x?3，由解得或∴點E1的坐標為（?2，?5）．②如圖，過點C作CE⊥CA，交拋物線于點E2、交x軸于點M，連接AE2．∵∠CAO＝45°，∴∠CMA＝45°，OM＝OC＝3．∴點M的坐標為（?3，0）,設(shè)直線CM的解析式為y＝kx＋b，將（0，3），（-3，0）代入y＝kx＋b得：解得∴直線CM的解析式為y＝x＋3．由解得：或∴點E2的坐標為（1，4）．綜上，在拋物線上存在點E1（?2，?5）、E2（1，4），使△ACE1、△ACE2是以AC為直角邊的直角三角形．【點撥】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)中的直角三角形問題.觀察圖像、求出特殊點坐標是解題的關(guān)鍵．6．⑴A（-1,0）⑵⑶(0,2)或（3,2）【解析】解：（1）因為一次函數(shù)y=的圖像與x軸、y軸的交點分別為B、C，，且二次函數(shù)的關(guān)系式為y=ax2-3ax-4a(a<0).=a(x-4）(x+1)因為第一個交點過點B，則利用根與系數(shù)的關(guān)系可知A（-1,0）（2）若二次函數(shù)圖像的頂點，在一次函數(shù)圖像的下方即點（3/2,-7a/4）使得y<,代入可知a的范圍是（3）因為圖像過點C（0,2），則說明了-4a=2,a=-1/2C此時二次函數(shù)確定了，y=-1/2x2-3/2x-2(a<0).設(shè)D(X,Y)7．（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（3，5）；（3）點Q坐標為（2，﹣）或（2，）或（2，1）或（2，4）【分析】（1）將A、B、C三點代入，可求得拋物線的解析式；（2）設(shè)P(m，﹣m2+m+4)，先求出AC的解析式，從而得出點E的坐標，進而得出PE的長，從而求得用m表示的△PCA的面積，最后根據(jù)二次函數(shù)的特點，求出最值；（3）設(shè)設(shè)點Q的坐標為（2，m），根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出AQ2、PQ2和AP2，存在3種情況，一種是∠QAP=90°，第二種是∠AQP=90°，第三種是∠QPA=90°時，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】解：（1）把A(6，0)，B(﹣2，0)，C(0，4)的坐標代入y＝ax2+bx+c，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4．（2）作PE∥OC交AC于E．設(shè)P(m，﹣m2+m+4)．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+d將點A和點C的坐標代入，得解得：∴直線AC的解析式為y＝﹣x+4，∴E(m，﹣m+4)，∴PE＝﹣m2+2m，∴S△PAC＝×(﹣m2+2m)×6＝﹣m2+6m＝﹣(m﹣3)2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3時，△PAC的面積最大，∴P(3，5)．（3）∵A(6，0)，P(3，5)，拋物線y＝﹣x2+x+4的對稱軸為直線x=2∴可設(shè)點Q的坐標為（2，m）∴AQ2=PQ2=AP2=①當∠QAP=90°時，則AQ2＋AP2=PQ2即＋34=解得：m=∴Q(2，)②當∠AQP=90°時，則AQ2＋PQ2=AP2即＋=34解得：m1=1，m2=4∴Q(2，1)或(2，4)③當∠QPA=90°時，則AP2＋PQ2=AQ2即34＋=解得：m=∴Q(2，)綜上所述，滿足條件的點Q坐標為(2，)或(2，)或(2，1)或(2，4)．【點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合，第（3）問中，題干僅告知了△APQ是直角三角形，未確定哪個角是直角，故存在多解情況．8．（1）；；（2）P、、；（3）存在，E，，、．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)二次函數(shù)的一般式解析式，再代入、、，轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組即可解得一般式解析式，再利用配方法將一般式解析式化為頂點式解析式即可；（2）先解得，再結(jié)合三角形面積公式及絕對值的幾何意義解題即可（3）當是直角三角形時，分三種情況討論：或或，分別結(jié)合勾股定理解題即可．【詳解】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的表達式為將、、分別代入得解得：二次函數(shù)表達式為頂點坐標為；（2）當時，解得，；當時，解得，點p的坐標為、、；（3）存在，符合條件的點E共有4個，坐標分別為，，、，理由如下：拋物線的對稱軸為，設(shè)得，當時，；當時，；當時，此時或，綜上所述，符合條件的點E共有4個，坐標分別為，，、．【點撥】本題考查待定系數(shù)法解二次函數(shù)的解析式、化二次函數(shù)的一般式解析式為頂點式解析式、直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．9．（1）

D(2，－3)；（2）證明見解析；（3）P(－3m，0)或(5m，0).【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意將a=1，C（0，﹣3）代入y=a（x2﹣2mx﹣3m2），進而求出m的值，即可得出答案；（2）首先根據(jù)題意表示出A，B，C，D，進而聯(lián)立，求出E點坐標即可得出答案；（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的關(guān)系得出答案．解：（1）當a=1時，y=a（x2﹣2mx﹣3m2）=x2﹣2mx﹣3m2，∵與y軸交于點C（0，﹣3），∴﹣3m2=﹣3，解得：m=±1，∵m＞0，∴m=1，∴拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4，故拋物線頂點坐標為：D（2，﹣3）；（2）作D關(guān)于AB對稱的點D′必在AE上，當y=0，則0=a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1=﹣m，x2=3m，當x=0，y=﹣3am2，可得：A（﹣m，0）、B（3m，0），C（0，﹣3am2），D（2m，﹣3am2）∴D′（2m，3am2），∵拋物線過點C，∴﹣3am2=﹣3，則am2=1，∴直線AD′的解析式為：y=x+1，聯(lián)立，整理得x2﹣3mx﹣4m2=0解得x1=4m，x2=﹣m（舍去）∴E（4m，5）∴E在y=5上運動；（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3）設(shè)P（b，0）∴PF2=（m﹣b）2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25∴（m﹣b）2+16+9m2+9=25m2+25，解得：b1=﹣3m，b2=5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．考點：二次函數(shù)綜合題．10．（1）a＋b=－1；（2）a=－4＋15；（3）不存在.【解析】【分析】（1）把點A（1，0）和點B（0，1）的坐標代入拋物線的解析式，就可以得到關(guān)于a，b，c關(guān)系式．整理就得到a，b的關(guān)系．

（2）利用公式求出拋物線的頂點的縱坐標，進而表示出△AMC的面積，根據(jù)S△AMC=52S△ABC，就可以得到關(guān)于a的方程，解得a的值；

（3【詳解】（1）將A（1，0），B（0，l）代入y=ax2＋bx＋c得：a+b+c=0c=1，可得：a＋b=－（2）(2)∵a+b=?1，∴b=?a?1代入函數(shù)的解析式得到：y=ax2?(a+1)x+1，頂點M的縱坐標為4a-(a+1)2因為S△AMC由同底可知：-(a-1)2整理得：a2＋8a＋1=0，得：a=－4±15由圖像可知：a<0，因為拋物線過點（0，1），頂點M在第二象限，其對稱軸x=a+12a∴-1<a<0,∴a=－4－15舍去，從而a=－4＋15（3）①由圖可知，A為直角頂點不可能；②若C為直角頂點，此時與原點O重合，不合題意；③若設(shè)B為直角頂點，則可知-1令85，可得：ax2得：AC=1-1a∴(1-解得：a=-1，由－1＜a＜0，不合題意．所以不存在綜上所述：不存在.【點撥】本題是二次函數(shù)與三角形綜合題，注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.11．（1）；（2）的取值范圍是；（3）符合條件的點的坐標為【解析】【分析】（1）將，代入即可進行求解；（2）先求出二次函數(shù)的頂點坐標，令，得，，得到，根據(jù)，的坐標求出直線的解析式，得到，，再根據(jù)梯形的面積公式列出S的關(guān)系式；（3）先求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)分類討論即可求解.【詳解】解（1）將，代入中∴，（2），所以令，得，，所以設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，得，所以所以，的取值范圍是（3）由∴①以為直角頂點，舍去②以為直角頂點，所以③以為直角頂點，，，無解綜上，符合條件的點的坐標為【點撥】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及直角三角形勾股定理的性質(zhì)，注意用分類討論方法.12．（1）；（2）a=，（3）不存在，理由見解析【分析】（1）把點A（1,0）和點B（0,1）的坐標代入拋物線的解析式，就可以得到關(guān)于a,b,c關(guān)系式,整理就得到a,b的關(guān)系；（2）利用公式求出拋物線的頂點的縱坐標，進而表示出△AMC的面積,根據(jù)S△AMC＝S△ABC,就可以得到關(guān)于a的方程，解得a的值；（3）本題應(yīng)分A是直角頂點，B是直角頂點，C是直角頂點三種情況進行討論【詳解】解：(1)將A（1,0）,B（0,l）代入得，可得，（2）由(1)可知，頂點M的縱坐標為，因為，由同底可知：,整理得：，解得a=，由圖像可知，因為拋物線過點（0,1），頂點M在第二象限，其對稱軸x=<0，∴，∴a=舍去，從而a=，（3）①由圖可知，A為直角頂點不可能，②若C為直角頂點，此時與原點O重合，不合題意，③若設(shè)B為直角頂點，則可知AC2=AB2+BC2AC2=AB2+BC2，得令可得:得：，，解得：a=?1，由－1＜a＜0，不合題意，所以不存在，綜上所述：不存在【點撥】本題主要考查待定系數(shù)求二次函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)與三角形面積綜合，以二次函數(shù)為背景的直角三角形的存在性問題，學(xué)生需要熟練掌握二次函數(shù)解析式的方法，對于二次函數(shù)與三角形的綜合要求學(xué)生根據(jù)三角形的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合進行求解13．(1)∴點C的坐標為(－3，1)．(2)①∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點C(－3，1)，∴.解得∴二次函數(shù)的關(guān)系式為②當-1≤x≤4時，≤y≤8；③過點C作CD⊥x軸，垂足為D，i)當A為直角頂點時，延長CA至點，使，則△是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點作⊥軸，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐標為(1，－1)，經(jīng)檢驗點在二次函數(shù)的圖像上；ii）當B點為直角頂點時，過點B作直線L⊥BA，在直線L上分別取，得到以AB為直角邊的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y軸，同理可證△≌△∴BF＝OA＝1，可得點的坐標為（2，1），經(jīng)檢驗點在二次函數(shù)的圖像上．同理可得點的坐標為（－2，3），經(jīng)檢驗點不在二次函數(shù)的圖像上綜上：二次函數(shù)的圖像上存在點(1，－1)，（2，1）兩點，使得△和△是以AB為直角邊的等腰直角三角形．【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C點坐標；（2）①把C點代入求得二次函數(shù)的解析式；②利用二次函數(shù)的圖像得出y的取值范圍；③分二種情況進行討論.14．(1)y＝x2－2x(2)1(3)y=【解析】分析:(1)連接BO,B則B0=B,求出M點坐標,列出方程組求出未知數(shù)的值,進而求出二次函數(shù)的解析式;(2)設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P(x,y),連接OM,PM,OP,過P作PN⊥x軸,求出P點坐標和△POM的面積.(3)已知(2,0),點D的橫坐標為1,由相似關(guān)系求其縱坐標,用待定系數(shù)法求解析式.本題解析：(1)如圖2－83所示，連接BO，BO′，則BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴解得∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x．(2)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點P(x，y)．連接OM，PM，OP，過P作PN⊥x軸于N，則∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y(tǒng)．∵P(x，y)在二次函數(shù)y=x2－2x的圖像上，∴x＝x2－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在對稱軸的右側(cè)，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的點．連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形，∴點O′(2，0)也是滿足條件的點，∴滿足條件的點是P(2，0)或P(3，3)，∴OP=3，OM=，∴S△POM=OP·OM=3或S△POM＝OM·O′M=1．(3)設(shè)AB與C′O′的交點為D(1，y)，顯然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′2＋AD2＝O′D2，即1＋y2＝(3－y)2，解得y=，∴D(1，)．設(shè)邊C′O′所在直線的解析式為y＝kx＋b，則解得∴所求直線的解析式為y=點睛：本題較復(fù)雜，結(jié)合了二次函數(shù)，一次函數(shù)及圖形的幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，結(jié)合直角三角形及全等三角形的性質(zhì)解答，難度較大.15．（1）；（2）；（3）存在，（，3），（3﹣3，12﹣6）【分析】（1）根據(jù)題意得出點B和點C的坐標，將兩點坐標代入即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式得出點M的坐標，根據(jù)OD＝m設(shè)出點P的坐標，從而得出PD的長度，再根據(jù)得出S關(guān)于m的函數(shù)解析式；再根據(jù)點P在線段MB上得出m的取值范圍；（3）分別討論∠PDC、∠DPC和∠DCP分別是直角的的情況是否存在，如果存在，根據(jù)實際情況，利用數(shù)形結(jié)合的思想得出點P的坐標.【詳解】解：（1）∵OB＝OC＝3，∴B（3，0），C（0，3）∴，解得∴二次函數(shù)的解析式為；（2）由（1）可得函數(shù)解析式為：，∴M（1，4）設(shè)直線MB的解析式為y＝kx+