專題5.3 動點問題的函數(shù)圖象（壓軸題專項講練）（蘇科版）（解析版）

專題5.3動點問題的函數(shù)圖象【典例1】如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，正方形BDEF的邊長為2，且邊BD在線段AB上，點F，B，C在同一條直線上，將正方形BDEF沿射線FC方向平移，當點F與點C重合時停止運動，設(shè)點F平移的距離為x，平移過程中兩圖重疊部分的面積為y，則下列函數(shù)圖象中能大致反映y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A．B．C．D．【思路點撥】根據(jù)題意可知，需要分三種情況：①當0≤x≤2時，②當2＜x≤4時，③當4＜x≤6時，畫出對應(yīng)的圖形，求出每一段y的表達式，結(jié)合選項排除即可．【解題過程】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況：①當0≤x≤2時，如下圖所示：根據(jù)圖形的運動可知BG＝x，∴y＝S四邊形BGDH＝BG?DG＝2x；②當2＜x≤4時，如下圖所示：根據(jù)圖形的運動可知BG＝x，∴FG＝x﹣2，CG＝4﹣x，∴DN＝2﹣NG＝2﹣CG＝x﹣2，∴y＝S五邊形FGNME＝FG2﹣S△DMN＝4-12（x﹣2）2=-12x2這一段函數(shù)開口方向向下，可排除A，B選項，③當4＜x≤6時，如下圖所示：根據(jù)圖形的運動可知BG＝x，∴BF＝x﹣2，CF＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x，∴y＝S△CFP=12CF2=12（6﹣x）2=12x這一段函數(shù)開口方向向上，可排除C選項．故選：D．1．（2021?長豐縣二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3、AD＝4，直線MN從點D出發(fā)，沿D→A方向以每秒1個單位長度的速度運動，且該直線平行于對角線AC，與邊AD（或AB）、CD（或BC）所在直線分別交于點M、N，設(shè)直線MN的運動時間為t（秒），△DMN的面積為y，則y關(guān)于t的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】要找出準確反映y與x之間對應(yīng)關(guān)系的圖象，需分析在不同階段中y隨x變化的情況，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形的面積公式求解即可．【解題過程】解：當0＜x≤4時，y=1當4＜x≤8時，y＝12-1由以上分析可知，這個分段函數(shù)的圖象左邊為拋物線的一部分且開口方向向上，右邊為拋物線的一部分，開口方向向下．故選：D．2．（2022春?城關(guān)區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝3cm，動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度沿B→A→C方向勻速移動，同時動點Q從點B出發(fā)以1cm/s的速度沿B→C方向勻速移動．設(shè)△BPQ的面積為y（cm2），運動時間為x（s），則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】當0≤t＜32時，S△BPQ=12?BQ?BP，當32≤t≤4時，如下圖所示，S△BPQ【解題過程】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝3cm，∴AC=BC∴0≤t≤4．（1）0≤t＜32時，S△BPQ=12?BQ?BP=12t（2）當32≤tPH=3S△BPQ=12?BQ?HP=12t×（8﹣2故選：B．3．（2022?安徽模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為3cm，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿A→B→C→A的方向運動，當點P回到點A時運動停止．設(shè)運動時間為x（秒），y＝PC2，則y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．【思路點撥】需要分類討論：①當0≤x≤3，即點P在線段AB上時，過C作CD⊥AB于點D，由勾股定理即可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定該函數(shù)的圖象．②當3＜x≤6，即點P在線段BC上時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象；③當6＜x≤9時，即點P在線段CA上，此時，PC＝（x﹣6）cm，則y＝（x﹣6）2（6＜x≤6），根據(jù)該函數(shù)關(guān)系式可以確定該函數(shù)的圖象．【解題過程】解：如圖，過C作CD⊥AB于點D，則AD＝1.5cm，CD=33①當點P在AB上時，0≤x≤3，AP＝xcm，PD＝|1.5﹣x|cm，∴y＝PC2＝（332）2+（1.5﹣x）2＝x2﹣3x+9（0≤x該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線x=32；由此可排除A，B，②當3＜x≤6時，即點P在線段BC上時，PC＝（6﹣x）cm；則y＝（6﹣x）2＝（x﹣6）2（3＜x≤6），∴該函數(shù)的圖象是在3＜x≤6上的拋物線，且對稱軸為x＝6；③當6＜x≤9時，即點P在線段CA上，此時，PC＝（x﹣6）cm，則y＝（x﹣6）2（6＜x≤9），∴該函數(shù)的圖象是在6＜x≤9上的拋物線，且對稱軸為直線x＝6；故選：D．4．（2022?東營二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點M、N同時從A點出發(fā)，點M沿AB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點N沿折線ADC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，設(shè)運動時間為t秒，則△CMN的面積為S關(guān)于t函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【思路點撥】當0≤t≤2時，AM＝t，AN＝2t，利用S＝S正方形ABCD﹣S△AMN﹣S△BCM﹣S△CDN可得到S＝﹣t2+6t；當2＜t≤4時，CN＝8﹣2t，利用三角形面積公式可得S＝﹣4t+16，于是可判斷當0≤t≤2時，S關(guān)于t函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線的一部分，當2＜t≤4時，S關(guān)于t函數(shù)的圖象為一次函數(shù)圖象的一部分，然后利用此特征對四個選項進行判斷．【解題過程】解：當0≤t≤2時，AM＝t，AN＝2t，所以S＝S正方形ABCD﹣S△AMN﹣S△BCM﹣S△CDN＝4×4-12?t?2t-12?4?（4﹣t）-12?4?（4﹣2t當2＜t≤4時，CN＝8﹣2t，S=12?（8﹣2t）?4＝﹣4t即當0≤t≤2時，S關(guān)于t函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線的一部分，當2＜t≤4時，S關(guān)于t函數(shù)的圖象為一次函數(shù)圖象的一部分．故選：D．5．（2022?鞍山一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2，AB＝4，∠A＝60°，點M從A出發(fā)沿路徑A﹣B運動，點N從B出發(fā)沿路徑B﹣C﹣D運動，M，N兩點同時出發(fā)，且點N的運動速度是點M運動速度的3倍，當M運動到B時，M，N兩點同時停止運動，若M的運動路程為x，△BMN的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】分點N在BC段、CD段分別求出函數(shù)表達式，即可求解．【解題過程】解：∵M，N兩點同時出發(fā)，且點N的運動速度是點M運動速度的3倍，∴點N的運動路程是點M運動路程的3倍，根據(jù)題意可知，AM＝x，∠ABC＝120°，①當點N在BC上時，即0＜x＜4根據(jù)題意可知，BN＝3x，過點M作MP⊥BC交CB的延長線于點P，如圖，∴∠PBM＝60°，∴BP=12（2﹣x），PM=32（∴y=12?BN=12?3x?32（2=-334x2函數(shù)為開口向下的拋物線；故排除A，B；②當點N在CD上運動時，如圖，由平行四邊形的性質(zhì)可知，AB∥CD，∴△BMN的面積＝△BMC的面積，∴y=12BC?PM=12×32（2﹣x）×4故選：C．6．（2022?合肥模擬）在△EFG中，∠G＝90°，EG＝FG＝22，正方形ABCD的邊長為1，AD與EF在一條直線上，點A與點E重合．現(xiàn)將正方形ABCD沿EF方向以每秒1個單位的速度勻速運動，正方形ABCD和△EFG重疊部分的面積S與運動時間t的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【思路點撥】分0≤t≤1、1＜t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4分別求出函數(shù)表達式即可求解．【解題過程】解：EG＝FG＝22，則EF＝4，①當0≤t≤1時，如圖1，設(shè)AB交EG于點H，則AE＝t＝AH，S=12×AE×AH=12t2，函數(shù)為開口向上的拋物線，當t＝②當1＜t≤2時，如圖2，設(shè)直線EG交BC于點G，交CD于點H，則ED＝AE﹣AD＝t﹣1＝HD，則CH＝CD﹣HD＝2﹣t＝CG，S＝S正方形ABCD﹣S△CGH＝1-12×CH×CG＝1-12（2﹣t）2，函數(shù)為開口向下的拋物線，當t＝2③當2＜t≤3時，S＝S正方形ABCD＝1，④當3＜t≤4時，同理可得：S＝1-12（t﹣3）故選：C．7．（2022?銅仁市）如圖，等邊△ABC、等邊△DEF的邊長分別為3和2．開始時點A與點D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，當點D到達點B時停止．在此過程中，設(shè)△ABC、△DEF重合部分的面積為y，△DEF移動的距離為x，則y與x的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【思路點撥】當△DEF在△ABC內(nèi)移動時，△ABC、△DEF重合部分的面積不變，當△DEF移出△ABC時，計算出S△DBN，得到y(tǒng)=3【解題過程】解：如圖所示，當E和B重合時，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，∴當△DEF移動的距離為0≤x≤1時，△DEF在△ABC內(nèi)，y＝S△DEF=3當E在B的右邊時，如圖所示，設(shè)移動過程中DF與CB交于點N，過點N坐NM垂直于AE，垂足為M，根據(jù)題意得AD＝x，AB＝3，∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，∴△NDB是等邊三角形，∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，∵NM⊥DB，∴DM=MB=1∵NM2+DM2＝DN2，∴NM=3∴S△DBN∴y=3∴當1≤x≤3時，y是一個關(guān)于x的二次函數(shù)，且開口向上，∵當0≤x≤1時，y=3故選：C．8．（2022?本溪一模）如圖，Rt△ABD≌Rt△CBD，BD＝4，∠A＝∠DCB＝90°，∠DBA＝∠DBC＝60°，動點P從A點出發(fā)，沿A→B→C，到C點停止運動，點Q從點C出發(fā)，在BC延長線上向右運動，點P、Q同時出發(fā)，點P停止運動時，點Q也停止運動，點P、Q的運動速度都是1cm/s，則下列圖象能大致反映△PDQ的面積S（cm2）與運動時間t（s）之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】分點P在AB段、BC段分別求出函數(shù)表達式，即可求解．【解題過程】解：如圖，∵Rt△ABD≌Rt△CBD，BD＝4，∠A＝∠DCB＝90°，∠DBA＝∠DBC＝60°，∴AB＝BC＝2，AD＝CD＝23．①當點P在AB上運動時，t秒時，AP＝t＝CQ，∵AD＝CD，∠A＝∠DCQ＝90°，∴△ADP≌△CDQ（SAS），∴△ADP的面積等于△DCQ的面積；∴四邊形ABCD的面積＝四邊形PBQD的面積．∴BP＝2﹣t，BQ＝2+t，過點P作PM⊥BC交CB的延長線于點M，如圖，∴∠PBM＝60°，∴BM=12（2﹣t），PM=32（∴S＝2×12AB?AD-12＝2×12×2×23-12?（2+t）?=-34t2+3故0＜t≤2時，函數(shù)為開口向上的拋物線；故排除A，B，D；②當點P在BC上運動時，∵點P、點Q的運動速度相等，故PQ的距離保持不變，PQ＝4，S=12DC?PQ=12×2即點P在BC上運動時，S為常數(shù)43；故選：C．9．（2022?盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，AB＝2，點P為射線BC上一點，連接DP，將DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EP，過B作EP平行線交DC延長線于F．設(shè)BP長為x，四邊形BFEP的面積為y，下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】方法一：根據(jù)P點在C點右側(cè)時，BP越大，則四邊形BFEP的面積越大，即可以得出只有D選項符合要求；方法二：分兩種情況分別求出y與x的關(guān)系式，根據(jù)x的取值判斷函數(shù)圖象即可．【解題過程】解：方法一：由題意知，當P點在C點右側(cè)時，BP越大，則則四邊形BFEP的面積越大，故D選項符合題意；方法二：如下圖，當P點在BC之間時，作EH⊥BC于H，∵∠DPE＝90°，∴∠DPC+∠EPH＝90°，∵∠DPC+∠PDC＝90°，∴∠EPH＝∠PDC，在△EPH和△PDC中，∠EPH=∠PDC∠PHE=∠DCP∴△EPH≌△PDC（AAS），∵BP＝x，AB＝BC＝2，∴PC＝EH＝2﹣x，∴四邊形BPEF的面積y＝x（2﹣x）＝﹣x2+2x，同理可得當P點在C點右側(cè)時，EH＝PC＝x﹣2，∴四邊形BPEF的面積y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，綜上所述，當0＜x＜2時，函數(shù)圖象為開口方向向下的拋物線，當x＞2時，函數(shù)圖象為開口方向向上的拋物線，故選：D．10．（2021秋?亳州月考）在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3．點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以2個單位長度/秒向點B運動，到達點B停止運動；點Q以2個單位長度/秒沿著AD→DC向點C運動，到達點C停止運動．設(shè)點Q運動時間為ts，△APQ的面積為S，則S隨t變化的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【思路點撥】分別求出0＜t≤2，2＜t≤3以及3＜t≤3.5時S與t的函數(shù)關(guān)系式即可．【解題過程】解：∵∠A＝45°，∠D＝90°，AD∥BC，BC＝1，CD＝3，∴AD＝CD+BC＝3+1＝4，AB=3如圖1，當0＜t≤2時，過點P作PE⊥AD于點E，則：S=12PE?AQ=如圖2，當2＜t≤3時，連接PD，則：S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ=1＝﹣t2+4t；如圖3，當3＜t≤3.5時，點P已經(jīng)到達點B，則：S＝S△ADP+S△PQD﹣S△ADQ=1＝﹣3t+12．綜上所述，選項B符合題意．故選：B．11．（2021秋?阜陽月考）如圖，△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°，直線l經(jīng)過點B且直線l⊥BC，直線l從點B出發(fā)以23cm/s的速度沿BC向右勻速移動，直到直線l經(jīng)過點C時停止移動．移動過程中，直線l交BC于點M，交AB或AC于點N，設(shè)△BMN的面積為S（cm2），直線l的運動時間為t（s），則下列最能反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，再分點N在AB和AC上兩種情況討論，分別求出對應(yīng)的函數(shù)解析式即可確定圖象．【解題過程】解：過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC＝8cm，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴AD=12AB＝4∴BD=82-42=∴BC＝83（cm），分兩種情況：（1）當0＜t≤2時，如圖：∵∠B＝30°，∴BN＝2MN，根據(jù)勾股定理得(2MN)∴MN＝2t，∴S=1∴該部分函數(shù)圖象是拋物線位于y軸右側(cè)的一部分，拋物線的開口向上；（2）當2＜t≤4時，如圖：∵∠C＝30°，∴CN＝2MN，根據(jù)勾股定理得(2MN)∴MN＝8﹣2t，∴S=1該部分函數(shù)圖象是拋物線位于對稱軸x＝2的右側(cè)的一部分，拋物線的開口向下；故選：C．12．（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點M從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著B→A→D運動，同時點N從點C出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著C→D→A→B運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，設(shè)S△DMN＝S，時間為t（s），則S與t之間的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【思路點撥】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①0≤t≤2，②2＜t＜4，③4≤t≤6，④6＜t≤8；依據(jù)t的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致圖象即可得出結(jié)論．【解題過程】解：①當0≤t≤2時，此時，點M在AB上，點N在CD上，由題意得：CN＝2t，∴DN＝CD﹣CN＝4﹣2t．∴S=12DN?AD=12×（4﹣2t）×8＝∵0≤t≤2，∴此時函數(shù)的圖象是以（0，16）和（2，0）為端點的線段；②當2＜t＜4時，此時點M在AB上，點N在AD上，如圖，由題意得：DN＝2t﹣4，MB＝t．∴AM＝AB﹣BM＝4﹣t，∴S=12DN?AM=12（2t﹣4）（4﹣t）＝﹣t2+6t﹣8＝﹣（t﹣3∵2＜t＜4，∴此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線t＝3的拋物線的一段；③當4≤t≤6時，此時點M，N均在線段AD上，此時s＝0，函數(shù)圖象為x軸上以（4，0）和（6，0）為端點的線段；④當6＜t≤8時，此時點M在線段AD上，點N在線段AB上，如圖，由題意得：AN＝2t﹣12，M＝t﹣4．∴DM＝AD﹣AM＝12﹣t．∴S=12DM?AN=12（12﹣t）（2t﹣12）＝﹣t2+18∵6＜t≤8，∴當t＝8時，S＝8．∴此時的函數(shù)的圖象是拋物線S＝﹣t2+18t﹣72上以（6，0）和（8，8）為端點的一段．綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為B，故選：B．13．（2021?鐵嶺三模）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，0），點B（0，23），點C（﹣3，3），點P從點O出發(fā)沿O→A→B路線以每秒1個單位的速度運動，點Q從點O出發(fā)沿O→C→B路線以每秒3個單位的速度運動，當一個點到達終點時另一個點隨之停止運動，設(shè)y＝PQ2，運動時間為t秒，則正確表達y與t的關(guān)系圖象是（）A． B． C． D．【思路點撥】先分析各個線段的長，在Rt△OAB中，可知，OA＝2，OB＝23，AB＝4，∠BAO＝60°，過點C作CM⊥y軸于點M，易得△OBC是等邊三角形，OC＝BC＝OB＝23，點P在OA上運動用時2s，在AB上運動用時4s，點Q在OC上運動用時2s，在OC上運動用時2s，則點P和點Q共用時4s，可排除D選項；再算出點P在OA上時，y的函數(shù)表達式，結(jié)合選項可得結(jié)論．【解題過程】解：如圖，∵點A（2，0），點B（0，23），∴OA＝2，OB＝23，∴AB＝4，∠BAO＝60°，過點C作CM⊥y軸于點M，則OM＝BM=3，CM＝3∴OC＝BC＝23，∴△OBC是等邊三角形，∠BOC＝60°，∴點P在OA上運動用時2s，在AB上運動用時4s，點Q在OC上運動用時2s，在OC上運動用時2s，即點P和點Q共運動4s后停止；由此可排除D選項．當點P在線段OA上運動時，點Q在線段OC上運動，過點Q作QN⊥x軸于點N，由點P，點Q的運動可知，OP＝t，OQ=3t∴QN=12OQ=32t∴PN=52∴y＝PQ2＝（52t）2+（32t）2＝7t2．即當0＜t結(jié)合選項可排除A，C．故選：B．14．（2021秋?包河區(qū)期中）如圖，直線l為拋物線y＝﹣x2+2x+3的對稱軸，點P為拋物線上一動點（在頂點或頂點的右側(cè)），過點P作PA⊥x軸于點A，作PB∥x軸交拋物線于點B，設(shè)PA＝h，PB＝m，則h與m的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【思路點撥】分兩種情況：①0≤m≤4，②m＞4分別求出h與m的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)關(guān)系式得出函數(shù)的大致圖象．【解題過程】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為直線x＝1．令y＝0，則﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3．∴拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于（﹣1，0）和（3，0）．設(shè)直線l與PB交于點C，與x軸交于點D，與y軸交于點E，如圖，則OD＝CE＝1．∵PB∥x軸，拋物線y＝﹣x2+2x+3關(guān)于直線x＝1對稱，∴PC＝PB．∵PB＝m，∴PC=m∴PE＝OA＝PC+CE=m2∴點P的橫坐標為m2+∵點P為拋物線上一動點（在頂點或頂點的右側(cè)），∴m2+∴m≥0．①當點P在x軸及x軸上方時，1≤m2即當0≤m≤4時，∵點P為拋物線上一動點，∴P點的縱坐標為：-(m2+1)∴PA＝h=-14②當點P在x軸的下方時，m2+1＞即m＞4時，∵P點的縱坐標為：-(m2+1)∴PA＝h＝﹣（-14m2+∴h與m的函數(shù)關(guān)系式為：h=-∵函數(shù)h=-14m2+4∴正確的選項是：A．故選：A．15．（2022?沈陽模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，現(xiàn)有兩個動點M，N同時從點B出發(fā)，在矩形ABCD的邊上沿B﹣C﹣D﹣A移動，點M的速度為每秒3個單位長度，點N的速度為每秒1個單位長度，點M到達點A時點M，N同時停止，連接AM，AN，設(shè)點M的運動時間為t，△AMN的面積為S，下列圖象能大致反映出s與t的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．【思路點撥】根據(jù)點M，N的位置，由三角形的面積公式進行計算即可．【解題過程】解：①當M，N都在線段BC上時，如圖所示：S△AMN=12MN?AB=12（3t﹣t）×9∴S與t的函數(shù)解析式為正比列函數(shù)，圖象是過原點呈上升趨勢的直線一部分；②當點M在CD邊、點N在BC邊時，如圖所示：S△AMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△NCM﹣S△ADM＝3×9-12AB?BN-12MC?MN＝27-12×9t-12（3﹣t）（3t﹣3）-12=92t2-27∴S與t的圖象是開口向