2024年北京大學強基計劃數(shù)學試卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁北京大學2024年強基計劃筆試數(shù)學試題1．求模7的余數(shù).2．求.3．求的排列的個數(shù)，使得排列中沒有出現(xiàn)連續(xù)的.4．已知數(shù)列，求第2024項模5的余數(shù).5．求四元組的個數(shù)，使得，且.6．求上方程的解的個數(shù).7．求上方程的解的個數(shù).8．求上方程的解的個數(shù).9．在體積為的正方體內(nèi)取一個點，過這個點作三個平行于正方體面的平面，將正方體分為個長方體，求這些小長方體中體積不大于的長方體個數(shù)的最小值.10．在離心率為的橢圓中，是兩個焦點，是橢圓上一點，且，求.11．用表示正整數(shù)的數(shù)碼和，求滿足與均為5的倍數(shù)的的最小值.12．稱正整數(shù)為好數(shù),當它各位數(shù)字均不相同，且對于所有正整數(shù)滿足，都有，求最大好數(shù)的范圍（

）A.

B.

C.

D.以上均不對13．在中，求的最小值或下確界.14．在中，若邊上的高為，求的范圍.15．在中，若在上，比較與的大小.16．在中，若為形外一點，滿足，線段與線段交于，且，，求.17．在中，若在上，平分的內(nèi)心與的外心重合，求.18．在中，若在上，平分，求的周長.19．在中，求的最大值的取等條件.20．，用表示不超過的最大整數(shù)，并用表示小數(shù)部分，已知：，，求

.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．1【分析】只要注意到19與20的相鄰關(guān)系，容易將高斯取整寫成普通的計算式，剩下就只需要對冪次進行常規(guī)的同余計算.【詳解】因為，所以，上述中用到，，所以.2．【分析】由，化簡得到，，化簡得到，從而將原式化簡為，利用，求出，即可求解.【詳解】因為，從而得到：，則由于，，所以，因為因為所以，即，解得：或(舍去)所以3．【分析】先考慮包含連續(xù)的排列對應(yīng)的七個集合，計算它們通過取交得到的集合的元素個數(shù)，然后利用容斥原理得到不滿足條件的排列數(shù)，再用總排列數(shù)與該數(shù)相減即得答案.【詳解】對有限集合，記其元素個數(shù)為.在的所有排列中，設(shè)為所有包含連續(xù)的的排列構(gòu)成的集合，這里.則對而言，集合中的所有排列，都相當于在將需要相鄰的數(shù)進行捆綁以后，個整體元素的全排列，從而.故由容斥原理即得.這就表明出現(xiàn)了連續(xù)的中之一的排列有個，所以不出現(xiàn)連續(xù)的的排列有個.故所求排列的個數(shù)為.4．4【分析】設(shè)，可得，從而得到，即可求解【詳解】設(shè)數(shù)列滿足：，，，，，，，，，，，設(shè)，所以，，則，故所以64模5余數(shù)為45．25【分析】根據(jù)，可得可能的取值，再利用排列組合求得四元組的個數(shù).【詳解】因為，且，所以的取值有三種不同的組合：或或，即，當時，四元組有個，當時，四元組有1個當時，四元組有個，故滿足題意的四元組的個數(shù)為個.6．【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)可得只能，分別比較和時，的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)和的凹凸性即可得解.【詳解】由，只能，當時，，當時，，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)是凹函數(shù)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)是凸函數(shù)，所以函數(shù)與有兩個交點，即上方程的解的個數(shù)為個.7．【分析】用反證法證明原方程的解都滿足，即，然后逐一代入驗證即可.【詳解】一方面，假設(shè)原方程有一個滿足的根，則.令，則.對，有，故；對，有，故.所以對，都有，從而由知，矛盾.所以無解，故原方程的解，只有滿足，即，直接驗證即知都是原方程的解.所以原方程一共有個解.8．【分析】由得，由得，解得的范圍，得可能取值為，代入計算檢驗即可.【詳解】由得，所以，因為，所以，得，解得，此時可能取值為，分別代入計算可得，經(jīng)檢驗不符合題意，故方程的解只有4個.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)得不等式組，進而得可能取值為，代入計算可得.9．【分析】先通過不等式方法證明這個長方體中至少有個的體積不超過，再說明當，，時，這個長方體中恰有個的體積不超過，即可說明這些小長方體中體積不大于的長方體個數(shù)的最小值為.【詳解】設(shè)該正方體的長寬高分別被切成長度為和，和，和的兩段，這里，且根據(jù)據(jù)對稱性，可不妨設(shè).此時，個長方體的體積分別是.由，可知，.由于，故.而，故和中至少有一個數(shù)不超過，所以這個長方體中至少有個的體積不超過.當，，時，個長方體的體積分別是，此時這個長方體中恰有個的體積不超過.綜上，這些小長方體中體積不大于的長方體個數(shù)的最小值為.10．【分析】根據(jù)離心率確定，根據(jù)橢圓定義及求出，在中，由余弦定理求得，再計算面積即可.【詳解】由題意得，即，由橢圓定義知，，又，所以，在中，由余弦定理得，解得，所以.

11．49999【分析】利用的必要條件為得到最小為4,得到最后的結(jié)果.【詳解】設(shè)的末尾有個9,即,所以,此時必要條件為,所以最小為4,當時不符合題意,所以最小可能為五位數(shù),經(jīng)檢驗最小值為49999.12．D.【分析】利用題目給的“好數(shù)”的定義，設(shè)，結(jié)合由，得到的最大可能值為4，從而求出最大的好數(shù)為3570.【詳解】設(shè),由可得，其中,所以的最大可能值為4.當,由,得,有,解得,經(jīng)檢驗最大的好數(shù)為3570.故選：D.13．【分析】要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設(shè)為鈍角，可得，利用余弦值的范圍可得，即可得到答案.【詳解】在中，要使最小，則為鈍角三角形，不妨假設(shè)為鈍角，則，，所以，則，，，所以則則，當為等腰三角形，且無限接近于時，無限接近于，即的下確界為14．【分析】利用三角形面積公式和余弦定理得到，從而表達出，求出，結(jié)合基本不等式求出，得到結(jié)論.【詳解】由三角形面積公式得，即，由余弦定理得，故，，其中，當且僅當，即時，等號成立，又，當且僅當時，等號成立，故.15．【分析】由余弦定理求出三角形每個內(nèi)角的余弦值，從而求出對應(yīng)正弦，在和分別利用正弦定理得到：和，化簡，即可求解.【詳解】在中，若在上由余弦定理可得：，同理：，，在中，，，所以，，設(shè)，，則，在，由正弦定理可得：，同理在，，所以，所以16．【分析】使用平面幾何知識證明點是外接圓的圓心，然后利用圓的相交弦定理即得結(jié)果.【詳解】由于線段與線段有交點，故點和點一定在線段的同側(cè)（否則線段和整體各位于線段的兩側(cè)且端點不同，不可能有交點）.而，，且和在的同側(cè)，故由圓心角是圓周角的2倍，可知點一定是外接圓的圓心.記的外接圓為，并設(shè)為在上的對徑點，則根據(jù)相交弦定理有.再由已知有，故.17．【分析】利用與全等，得到求出【詳解】設(shè)題中的內(nèi)心和外心為，即圖中兩點，一方面在的角平分線上，又所以與為等腰三角形，又所以所以所以得到.另一方面,所以,綜上可得.18．【分析】設(shè)，先利用角平分線定理得出的關(guān)系，再利用雙余弦定理求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由角平分線定理可得，則，由余弦定理得，即，將代入化簡得，即解得或（舍去），經(jīng)檢驗只能，所以的周長為.19．，【分析】先分析得最大，再利用和差化積公式得到，再利用換元法構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究得最大值，從而得解.【詳解】顯然要使取最大值，則最大，所以，都為銳角，，，由于，所以，則，當時，取等號；令，，構(gòu)造函數(shù)，，所以，令