2023-2024學(xué)年河北省衡水市武強(qiáng)縣高二上冊(cè)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省衡水市武強(qiáng)縣高二上冊(cè)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，集合滿足，則可能為（

）A． B． C． D．2．是虛數(shù)單位，A． B． C． D．3．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績(jī)的第80百分位是（

）A．90 B．90.5 C．91 D．91.54．函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．5．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．已知，，且、的夾角為，如果，那么的值為（

）A． B．C． D．7．已知600°角的終邊上有一點(diǎn)P(a，－3)，則a的值為（

）A． B．－ C． D．－8．已知各頂點(diǎn)都在球面上的正四棱錐的高度為，錐體體積為6，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．關(guān)于命題p：“”的敘述，正確的是（

）A．p的否定： B．p的否定：C．p是真命題，p的否定是假命題 D．p是假命題，p的否定是真命題10．樣本容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)分布在內(nèi)，將樣本數(shù)據(jù)分為4組：，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是（）

A．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻率為0.32B．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40C．樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為40D．估計(jì)總體數(shù)據(jù)大約有分布在內(nèi)11．下列說法正確的是（

）A．在中，B．在中，若，則C．在中，若，則；若，則D．在中，12．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A．與所成的角為B．平面C．∥平面D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，．若，則的值為；14．為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是．15．若a，b∈R＋，滿足a＋b＋3＝ab，則a＋b的取值范圍是.16．已知函數(shù)是上是減函數(shù)，則a的取值范圍四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求C的大小；(2)求的面積．18．某校醫(yī)務(wù)室抽查了高一10位同學(xué)的體重(單位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.（1）求這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；（2）估計(jì)高一所有學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.19．如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求證：平面．20．一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字，，，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機(jī)有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，，.（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數(shù)字，，不完全相同”的概率.21．已知函數(shù)，再從條件①、②、③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：圖像的對(duì)稱軸為；條件②：；條件③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．1．D根據(jù)得到，是的子集，根據(jù)選項(xiàng)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧蠞M足，所以，又，A選項(xiàng)，顯然是集合的子集，不滿足題意，排除；B選項(xiàng)，顯然是集合的子集，不滿足題意，，排除；C選項(xiàng)，不是集合的子集，且也不是的子集，不滿足題意，排除；D選項(xiàng)，包含集合，故滿足題意，正確.故選：D.本題主要考查由交集的結(jié)果確定集合，考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.2．B【詳解】試題分析：；應(yīng)選B.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算.3．B【分析】由樣本數(shù)據(jù)第80百分位的定義以及求解步驟直接求解即可得出答案.【詳解】把成績(jī)按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因?yàn)?5×80%＝12，所以這15人成績(jī)的第80百分位是.故選：B.本題考查了樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4．A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性和函數(shù)的最值,以及函數(shù)的凹凸性即可判斷.【詳解】解：,易得函數(shù)為偶函數(shù),即函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，,,故當(dāng)時(shí),函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)為減函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為1,故選A本題考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性和函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題5．D【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】在直四棱柱中，四邊形為正方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，，所以，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.6．C【分析】由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，由已知可得，解得.故選：C.7．B【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義列方程求解即可【詳解】由題意得tan600°＝－，又因?yàn)閠an600°＝tan(360°＋240°)＝tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，所以－＝，所以a＝－．故選：B8．B【分析】先求得正四棱錐的高，然后利用勾股定理求得球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，則，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為，設(shè)球的半徑為，則，解得，則球的表面積為.故選：B9．AC【分析】任一個(gè)都符合的否定是存在一個(gè)不符合，否命題的真假與原命題相反【詳解】p的否定為“”，A對(duì)B錯(cuò)；，所以p是真命題，則p的否定是假命題，故C對(duì)D錯(cuò).故選：AC10．ABC【分析】根據(jù)頻率分布直方圖一一分析可得.【詳解】對(duì)于A，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻率為，故A正確；對(duì)于B，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，由題圖可得，樣本數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的頻數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，由題圖可估計(jì)，總體數(shù)據(jù)分布在內(nèi)的比例約為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC11．ACD【分析】A、C、D根據(jù)正弦定理判斷即可，由判斷B即可.【詳解】A：由正弦定理知，則，故A正確；B：顯然時(shí)，成立，但不成立，故B錯(cuò)誤；C：三角形中，故C正確；D：由正弦定理及合比的性質(zhì)知：，故D正確.故選：ACD12．BCD對(duì)A，可得即為與所成的角，求出可判斷；對(duì)B，通過和可得；對(duì)C，通過線面判定定理可得；對(duì)D，分別表示出三棱錐和四棱錐的體積可得.【詳解】對(duì)A，底面是正方形，，則即為與所成的角，平面，，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，連接，底面是正方形，，平面，平面，，，平面，故B正確；對(duì)C，設(shè)，連接，則是中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面，平面，∥平面，故C正確；對(duì)D，，,，故D正確.故選：BCD.本題考查異面直線所成角的求解，考查線面垂直和線面平行的判斷，考查棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確理解定義和平行垂直的判定定理.13．【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得，由此可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】，，解得：，.故答案為.14．【分析】確定基本事件的個(gè)數(shù)為6，利用古典概型的概率公式，可得結(jié)論．【詳解】從4種顏色的花中任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一個(gè)花壇有4種種法，故所求概率為，故答案為.本題主要考查等可能事件的概率計(jì)算與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范圍.【詳解】，∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)故16．【分析】根據(jù)函數(shù)是上的減函數(shù)，則每一段都是減函數(shù)且左側(cè)的函數(shù)值不小于右側(cè)的函數(shù)值.【詳解】函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得.故答案為.易錯(cuò)點(diǎn)睛：分段函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，除了保證在各段內(nèi)單調(diào)性一致，還要注意在接口處單調(diào).17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，然后由三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可求出C的大小，（2）利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式求得三角形的面積【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）由余弦定理得，所以，所以，解得，所以18．（1）平均數(shù)71、中位數(shù)71.5、方差11、標(biāo)準(zhǔn)差；（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為71.5，方差為11，標(biāo)準(zhǔn)差為.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可求解.（2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】解：(1)這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)為＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)從小到大依次為65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中間的兩個(gè)數(shù)是71，72，∴這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的中位數(shù)為.這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的方差為s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11，這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝.(2)由樣本估計(jì)總體得高一所有學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)為71，中位數(shù)為71.5，方差為11，標(biāo)準(zhǔn)差為.19．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）通過中位線得到線線平行，利用判定定理可證或利用法向量證明線面平行；（2）利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，結(jié)合線面垂直的判定可證或利用直線的方向向量與平面的法向量平行可證.【詳解】（1）解法一：證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，，由三角形中位線性質(zhì)可得且，又因?yàn)榍遥郧?，所以是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面?/p>

解法二：證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又平面，所以．如圖，以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則．因?yàn)?，易知為平面的一個(gè)法向量．

因此，所以．又平面，所以平面．（2）解法一：證明：因?yàn)?，，，所以，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面．解法二：由?）可得，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得，所以是平面的一個(gè)法向量．因此，所以平面．20．（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）所有的可能結(jié)果共有種，而滿足的共計(jì)3個(gè)，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率；（2）所有的可能結(jié)果共有種，用列舉法求得滿足“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的共計(jì)三個(gè)，由此求得“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的概率，再用1減去此概率，即得所求．試題解析：（1）所有的可能結(jié)果共有種，而滿足的有、、共計(jì)3個(gè)故“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率為（2）所有的可能結(jié)果共有種滿足“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的有、、共計(jì)三個(gè)故“抽取的卡片上的數(shù)字、、完全相同”的概率為所以“抽取的卡片上的數(shù)字、、不完全相同”的概率為考點(diǎn)：獨(dú)立事件的概率．【方法點(diǎn)睛】求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式求解．如果采用方法一，一定要將事件拆分成若干個(gè)互斥事件，不能重復(fù)和遺漏；如果采用方法二，一定要找準(zhǔn)其對(duì)立事件，否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．21．（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）答案見解析.選①(Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降冪后，使用輔助角公式化簡(jiǎn)得，根據(jù)對(duì)稱軸求得的值，進(jìn)而求得的值，得到函數(shù)的解析式，求得最小正周期；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得的遞增區(qū)間.選②(Ⅰ)逆用余弦的二倍角公式降冪得到，根據(jù)選擇的條件求得的值，得到函數(shù)的解析式，并利用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后求得的最小正周期；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得的遞增區(qū)間.選③逆用余弦的二倍角公式降冪后，使用輔助角公式化簡(jiǎn)得到然后求得的最小正周期；（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求得的遞增區(qū)間.【詳解】選①（圖像的一條對(duì)稱軸為）

解：(Ⅰ)（其中）因?yàn)閳D像的一條對(duì)稱軸為所以即有所以所以

故所以的最小正周期為：

（Ⅱ）

所以的遞增區(qū)間為選②(解：(Ⅰ)所以的最小正周期為：（Ⅱ）所以的遞增區(qū)間為選③（）解：（I）所以的最小正周期為：

（Ⅱ）

所以的遞增區(qū)間為本題考查三角函數(shù)的恒等變形和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是逆用余弦的二倍角公式降冪后，并使用輔助角公式化簡(jiǎn).22．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）方法一：根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）［