上海八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末幾何提優(yōu)題目集錦

上海八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末幾何提優(yōu)題目集錦

一.解答題(共33小題)

1.如圖，已知AE平分N3AC,即垂直平分8C,EF^AC,EGVAB,垂足分別是點(diǎn)尸、

G.求證：

(1)BG=CF；

(2)AB=AF+CF.

2.如圖，在A48C中，ZACfi=90°,NA=30。，A8=4,點(diǎn)P是A8邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P作的垂線交AC邊與點(diǎn)￡),以PZ)為邊作NE)PE=60。，PE交BC邊與點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)。為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)時(shí)，求4°的長(zhǎng)；

(3)設(shè)AP的長(zhǎng)為x,四邊形CDPE的面積為y,請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)解析式及自變量

x的取值范圍.

3.如圖1,在RtAABC中，ZC=90°.AC=2,AB=4,點(diǎn)。是邊AC上動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與

點(diǎn)A、C重合)，過(guò)點(diǎn)。作QR//A8,交8C邊于點(diǎn)R.

(1)求/CR。的大?。?/p>

(2)若把AQCR沿著直線QR翻折得到AQPR,設(shè)AQ=x

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在斜邊他上時(shí)，求x的值；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸落在RIAABC外部時(shí)，即與M相交于點(diǎn)E,如果8E=y,寫(xiě)出y與x的

函數(shù)關(guān)系式以及定義域.

4.已知：如圖，AD//BC,D8平分NADC,CE平分NBCD,交AB于點(diǎn)E,皮)于點(diǎn)O.求

證：點(diǎn)O到EB與￡?的距離相等.

5.已知，如圖在AABC中，AD.3E分別是BC,AC邊上的高，AD.BE交于H,DA=DB,

BH=AC,點(diǎn)尸為8〃的中點(diǎn)，ZABE=\50.

(1)求證：MDC^MDH；

(2)求證：DC=DF.

6.已知，如圖，在A4BC中，AE平分NC4B交8C于點(diǎn)E,AC=6,CE=3,AE=345,

3E=5,點(diǎn)F是邊Afi上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F與點(diǎn)A,8不重合)，連接防，設(shè)/#,EF=y.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

(3)當(dāng)AA￡尸為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出3尸的長(zhǎng).

7.如圖，在RtAABC中，已知NC=90。，ZB=60°,AC=8>/5,點(diǎn)。在邊8c上，BD=3CD,

線段。8繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度后(0<a<180),點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,如果點(diǎn)E恰好落在

RtAABC的邊上，求：的面積.

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。是邊A上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A、

8不重合)，過(guò)點(diǎn)。作。交射線于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)他，點(diǎn)尸是小的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。、

戶(hù)作直線，交AC于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)C尸、CD.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，設(shè)，DB=x,CE=y.

①寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；

②判斷ACD尸的形狀，并給出證明；

(2)如果AE=巡，求。G的長(zhǎng).

3

9.已知，如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=2,々=30。，P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作PEL43，垂足為￡，延長(zhǎng)PE至點(diǎn)。，使PQ=PC,連接C。交邊他于點(diǎn)￡).

(1)求4)的長(zhǎng)；

(2)設(shè)CP=x,APC。的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CFLAB,垂足為F,聯(lián)結(jié)依、QF,試探索當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的什么位置

時(shí)，APF。為等邊三角形？請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置并加以證明.

BBC

備用圖

10.已知：如圖，在AABC中，ZR4C=90°,ZC=30°,瓦'垂直平分AC,點(diǎn)。在84的

延長(zhǎng)線上，AO=」EC.

2

求證(1)AZMF=AEFC:

(2)DF=BE.

11.已知：如圖，在ABC￡)中，CE_L8O于點(diǎn)E,點(diǎn)A是邊8的中點(diǎn)，EF垂直平分線A3

(1)求證：BE=-CD；

2

(2)當(dāng)AB=BC,NABE>=25。時(shí)，求NAC3的度數(shù).

12.已知：如圖，N尸=90。，AE_LOC于點(diǎn)E,點(diǎn)A在NFOC的角平分線上，且點(diǎn)A到點(diǎn)

8、點(diǎn)C的距離相等.求證：BF=EC.

13.已知：如圖，在AA5C中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),

且MN_L￡)E,垂足為點(diǎn)N

(1)求證：ME=MD；

(2)如果皮>平分NABC,求證：AC=4EN.

14.如圖，AA8C中，AC=2也,ZJC=4>/3,AB=6,點(diǎn)P是射線C8上一點(diǎn)(不與點(diǎn)5

重合)，砂為PB的垂直平分線，交PB于點(diǎn)F,交射線43于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)PE、AP.

(1)求"的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)3E=x,AACP的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

(3)如果3E=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出AACP的面積.

15.問(wèn)題情境：如圖，在RtAABC中，ZACB=90°ZR4C=30°.?

動(dòng)手操作：(1)若以直角邊AC所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸.將RIAABC作軸對(duì)稱(chēng)變換，請(qǐng)你在原

圖上作出它的對(duì)稱(chēng)圖形：

觀察發(fā)現(xiàn)：(2)RtAABC和它的對(duì)稱(chēng)圖形組成了什么圖形？你最準(zhǔn)確的判斷是.

合作交流：(3)根據(jù)上面的圖形，請(qǐng)你猜想直角邊3c與斜邊的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

猜想.

16.如圖，已知=

(1)如果3E=6,DE=2,求3c的長(zhǎng);

17.如圖(1),己知四邊形的四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角都等于90。，點(diǎn)E是邊上一

點(diǎn)，尸是3C邊上一點(diǎn)，且NE4F=45。.

圖(1)

(1)求證：BF+DE=EF；

(2)若43=6,設(shè)BF=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍;

(3)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H,如圖(2),當(dāng)FH=2,石”=1時(shí)，求AAEE的面積.

18.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,ZB=15°,邊他的垂直平分線交邊3c于點(diǎn)E,

垂足為點(diǎn)。，取線段BE的中點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)。尸.求證：AC=DF.（說(shuō)明：此題的證明過(guò)

程需要批注理由）

19.如圖，已知在RtAABC中，ZACB=90°.M是邊A3的中點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，

使得=。是邊AC上一點(diǎn)，且AD=8C,聯(lián)結(jié)￡>E,求NC0E的度數(shù).

2

20.已知：如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,將這個(gè)三角形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使

點(diǎn)8落在邊BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)。處，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處.求證：AO垂直平分線

段CE.

BCD

21.己知：如圖，反比例函數(shù)y=勺的圖象上的一點(diǎn)4,小〃)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)5在x軸的正

X

半軸上，且他=AO,過(guò)點(diǎn)8作3C_Lx軸，與線段。4的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C,與反比例

函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)。.

(1)用含機(jī)的代數(shù)式表示點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求證：CD=3BD；

(3)聯(lián)結(jié)4)、試求AAfiD的面積與AAOD的面積的比值.

22.已知：如圖，在AABC和AABE中，NACB=NAEB=90。，。是用?中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)ZX?、DE、

CE,尸是CE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF.

(1)求證：DC=DE；

(2)若他=10,CE=8,求。尸的長(zhǎng).

23.已知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=20。是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)。作。￡_1_鉆交AB于尸，且ZE迎？，聯(lián)結(jié)CE交相于G(點(diǎn)G不與點(diǎn)尸重合).

(1)求的度數(shù)；

(2)求BG的長(zhǎng)；

(3)設(shè)C￡)=x,GF^y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫(xiě)出x的取值范圍.

24.已知：如圖，A￡>平分N84C,DBLAB于B,。〃_14(7于//,G是A3上一點(diǎn),

GD=DC.求證：ZC=ZBGD.

25.到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的內(nèi)心，由此我們引入如下定義：到三角

形的兩條邊距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)內(nèi)心.舉例：如圖，若4)平分NC4S,

則AO上的點(diǎn)E為AABC的準(zhǔn)內(nèi)心.

應(yīng)用：

(1)如圖AD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)內(nèi)心P在高AD上，且尸￡)=1A8,則NBPC的

2

度數(shù)為度.

26.在R&BC中，ZC=90°.N8=30。，A8=10,點(diǎn)。是射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AADE

是等邊三角形，點(diǎn)尸是4?的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上時(shí),

①求證：AAEF^AAZX:；

②聯(lián)結(jié)設(shè)線段C￡>=x,線段=求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;

27.已知：如圖，在AABC中，ZACB=45°,AD是邊BC上的高，G是AD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)

CG,點(diǎn)、E、尸分別是A3、CG的中點(diǎn)，S.DE=DF.

求證：BD=GD.

28.已知：如圖，在AABC中，BC=BA,BE平分NCBA交邊C4于點(diǎn)E,Z4BC=45°,

CD±AB,垂足為O,尸為8C中點(diǎn)，BE與DF、”1分別交于點(diǎn)G、H.

(1)求證：BH=CA；

(2)求證：BG-=GE2+EA1.

29.如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30。，。是邊AC上不與點(diǎn)A、C重合的任意

一點(diǎn)，DELAB,垂足為點(diǎn)￡,M是如的中點(diǎn).

(1)求證：CM=EM；

(2)如果8C=石，設(shè)AD=x,CM=y,求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;

(3)當(dāng)點(diǎn)。在線段AC上移動(dòng)時(shí)，NMCE的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求出NMCE的

大?。蝗绻l(fā)生變化，說(shuō)明如何變化.

B

30.已知：如圖，zMBC=ZADC=90°,E、尸分別是力C、的中點(diǎn).

（1）求證：EFLBD-.

（2）若AC=10cmBD=8cm,求砂的長(zhǎng).

31.己知：如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=6,A」D平分NC4B交BC于D,

E為射線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E/_L4）交射線至于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)。E.

（1）求￡）8的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，設(shè)A￡=x,S^DF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（5&加「表

示的面積）

（3）當(dāng)AE為何值時(shí)，ABZ）尸是等腰三角形.（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案，不必寫(xiě)出過(guò)程）

CDDD

備用圖備用圖

32.已知：如圖，點(diǎn)。是3c的中點(diǎn)，DEA.AB,￡>F_LAC,垂足分別為點(diǎn)E、F,DE=DF.

求證：ADLBC.

BDC

33.已知，如圖，在四邊形AfiCD中，ZBAD^ZBCD=90°,AC平分4W，點(diǎn)E是瓦＞

中點(diǎn)，AFLBD,垂足為點(diǎn)F.求證:

(1)ZABF=ZDAFi

(2)CB=CD.

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參考答案與試題解析

一.解答題(共33小題)

1.如圖，己知4E平分44C,即垂直平分8C,EFYAC,EG±AB,垂足分別是點(diǎn)F、

G.求證：

(1)BG=CF；

(2)AB=AF+CF.

【分析】(1)連接CE、BE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EC=￡B,根據(jù)角平分線的

性質(zhì)得到所=改7,于是證得RtACFE三RtABGE,即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)他平分N54C,EFA.AC,EGJL,得到防=EG,證得RtAAGE三RtAAFE,

得到AG=A尸，于是得到結(jié)論.

【解答】證明：(1)連接CE、BE,

即垂直平分BC,

\EC=EB,

AE平分NC48,EFYAC,EG.LAB,

\EF=EG,

在RtACFE和RtABGE中,

\EC=EB

\EF=EG'

RtACFE=RtABGE,

:.BG=CF；

(2)AE平分/叢C,EFA,AC,EG工AB,

:.EF=EG,

在RtAAGE和RtAAFE中,

AE=AE

EG=EF

/.RtAAGE=RtAAFE,

AG=AF,

AB=AG+BG,

:.AB=AF+CF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，

正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在A48C中，ZACB=90°,44=30。，AB=4,點(diǎn)P是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P作45的垂線交AC邊與點(diǎn)。，以PZ)為邊作"PE=60。，PE交BC邊與點(diǎn)E.

(1)當(dāng)點(diǎn)。為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求8E的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)PD=PE時(shí)，求"的長(zhǎng)；

(3)設(shè)AP的長(zhǎng)為x,四邊形CDPE的面積為y,請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)解析式及自變量

x的取值范圍.

【分析】(1)由Z4=30。，AB=4求得8c=2,AC=26,結(jié)合。是AC中點(diǎn)知A￡)=g,

DP=—,AP=-,從而得出8尸=AB-AP=3,再根據(jù)NEPB=300可得答案；

222

(2)設(shè)/P不，知牙=4式，由勾股定理解得=,PE=—(4-x),?PD=PE

32

得出關(guān)于'的方程，解之可得；

hpiI

(3)由(2)知：AP=PD=qx,PE=^-(4-x),B￡=-(4-x),依據(jù)

y=^ABC~APDl可得答案?

【解答】解：(1)在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,/W=4,

BC=-AB=2,

2

AC=>JAB2-BC2=20,

。是AC的中點(diǎn)，

:.AD=6,DP=—,AP=2,

22

:.BP=AB-AP=-,

2

ZOPE=60。，

.?.Z￡P(guān)B=30°,

:.EB=-BP=~；

24

(2)設(shè)AP=x,貝ij8P=4—x,

在兩個(gè)有30。的RtAAPD,RtABPE中，AD=2DP,BP=2BE,

由勾股定理解得「。=且、，PE=B(4-X),

32

因?yàn)镻D=PE,

所以立X=近(4-1)，

32

解得工=上1?，即AP=1上9；

55

(3)由(2)知：AP=x,PD=*x,PE=*(4-x),B￡,=-(4-x),

''y=S^BC-S但D-S'BPE

=—x2x2-—x-—x—(4-x)—(4-x)

22J222

——--%2+\/3x(0<x<3).

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的有關(guān)性質(zhì)、勾股定理、

三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn).

3.如圖1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=2,AB=4,點(diǎn)。是邊AC上動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與

點(diǎn)A、。重合)，過(guò)點(diǎn)。作0R//AB,交BC邊于點(diǎn)、R.

(1)求NCRQ的大?。?/p>

(2)若把AQCR沿著直線QR翻折得到AQPR,設(shè)AQ=x

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在斜邊AB上時(shí)，求x的值；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P落在RtAABC外部時(shí)，RP與A3相交于點(diǎn)E,如果=寫(xiě)出y與x的

(2)根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理得到A4QP為等邊三角形，根據(jù)等邊三

角形的性質(zhì)得到AQ=QP,證明AQ=QC,計(jì)算即可；

(3)作。G_LAB于G,RHLAB于H,根據(jù)正弦的定義用x表示出QG，證明您=描，

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)正切的定義計(jì)算即可.

2-

【解答】解：(1)在RtAABC中，AC=2fAB=4,

,oAC1

..sinD-二一，

AB2

/.ZB=30°,

QR//AB,

NCRQ=N3=30。；

(2)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P落在斜邊45上時(shí),

ZC/?e=ZB=30°,ZC=90°,

.\ZA=60°,NCQR=60。，

由翻折的性質(zhì)可知，/PQR=NCQR=60。,QP=QC,

:,ZAQP=60°,XZA=60°,

??.AAQP為等邊三角形，

：.AQ=QP,

AQ=QC=\,即X=1；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P落在RtAABC外部時(shí)，

作QG_LA8于G,RHLAB于H,

QR//AB,

.?.QG=RH,

在RtAAQG中，QG=AQxsinA=咚x,

由翻折的性質(zhì)可知，/PRP=/CRQ=3(f,

QR/1AB,

：./REB=/PRQ,

.\Z/?EB=ZB,

:.RE=RB，

RHLAB,

:.EH=-EB=-y,

22

鳥(niǎo)

在RtAERH中，EH=———,即=

tan/REB23

T

整理得，y=3元，

則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=3x(0<x<1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)解

析式的確定，掌握等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

4.己知：如圖，AD//BC,/)及平分NAZ)C,CE平分ZBCD,交他干點(diǎn)￡,于點(diǎn)O.求

證：點(diǎn)O到EB與的距離相等.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到ZDOC=90。，根據(jù)等腰三角形的三線合

一證明即可.

【解答】證明：AD//BC,

.".ZA￡)C+ZBCC>=180o,

D5平分ZAZX7,CE平分N8CD,

ZODC+ZOCD=90°,

:.ZDOC=90°,又CE平分NB8,

CB=CD，

..OB=OD,

，CE是比)的垂直平分線，

：.EB=ED,又"OC=90°,

..EC平分NftED,

.?.點(diǎn)。到EB與ED的距離相等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理

是解題的關(guān)鍵.

5.已知，如圖在AABC中，AD.8E分別是BC,AC邊上的高，AD.BE交于H,DA=DB,

BH=AC,點(diǎn)F為BH的中點(diǎn),ZABE=\5°.

(1)求證：AA￡>C=AfiE>W；

(2)求證：DC=DF.

【分析】(1)由全等三角形的判定定理兒證得結(jié)論即可;

（2）結(jié)合（1）中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到。C=然后根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可；

【解答】證明：（1）AD.LBC,BEVAC.

:.ZADC=ZBDH=90°9

在RtAADC和RtABDH中，

\AC=BH

[AD=BD'

:.NADC=bBDH（Hl）.

（2）DB=DA,

NDBA=NDAB=45。,

NAB石二15。，

/.ZDBW=30°,

:.DH=-BH,

2

BF=FH,

.?.DF=、BH,

2

:.DF=DH,

/^ADC=ABDH；

:.CD=DH,

:.DC=DF.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等，全等三角形

的判定和性質(zhì)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

6.己知，如圖，在AABC中，A石平分NC鉆交3C于點(diǎn)石，AC=6,CE=3,AE=3舊,

3石=5,點(diǎn)尸是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)廠與點(diǎn)A,8不重合），連接所，設(shè)爐#,EF=y.

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

（3）當(dāng)AAE廠為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出班'的長(zhǎng).

B

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理的逆定理可得NACE=90。，再由勾股定理計(jì)算他的長(zhǎng)；

(2)作輔助線，構(gòu)建三角形全等，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：EG=CE=3,表示fG的長(zhǎng),

因?yàn)镕可能在G的左邊或右邊，所以尸G=|4-x|,最后根據(jù)勾股定理可得y關(guān)于x的函

數(shù)解析式；

(3)當(dāng)A4"為等腰三角形時(shí)，存在兩種情況:①當(dāng)AE=4F=36時(shí)，如圖2,②當(dāng)AF=EF

時(shí)，如圖3,分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【解答】解：(1)AC=6,CE=3,AE=3小,

AC2+CE2=62+32=45,

AE2=(362=45,

AC2+CE2=AE2,

ZACE=90°,

BE=5,

.-.BC=8,

由勾股定理得：AB-yjAC2+BC2^^62+82=10；

(2)如圖1,過(guò)E作于G,

AE平分NBAC,NC=90。，

:.EG=EC=3,

AE^AE,

/.RtAACE=RtAAGE(HL),

AG=AC=6,

.-.BG=10-6=4,

BF=x,

.-.FG=|4-X|,

在RtAEFG中，由勾股定理得：EF=JEG2+FG。,

y=732+(4-X)2=JX2-8X+25(0<X<10)；

(3)分兩種情況討論：

①當(dāng)AE=AF=3j5時(shí)，如圖2,

AB=W,

BF=10-3y/5,

②當(dāng)AF=所時(shí)，如圖3,過(guò)F作即于P,

AP=-AE=—,

22

ZCAE=ZFAP,ZAPF=NC=90°,

AEAFm3亞AF

ACAP63A/5

綜上，當(dāng)AAE尸為等腰三角形時(shí)，5b的長(zhǎng)為10-3石或空.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)定理,

勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論

的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

7.如圖，在RlAABC中，已知NC=90。，ZB=60。，AC=8x/5,點(diǎn)。在邊8C上，BD=3CD,

線段03繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度后(0<a<180),點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)E,如果點(diǎn)E恰好落在

RtAABC的邊上，求：ADBE的面積.

【分析】根據(jù)勾股定理可求Afi，3C的長(zhǎng)，即可求80=6,8=2,分點(diǎn)E落在他上，

或AC上兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)以及三角形面積公式可求

AZME的面積.

【解答】解：NC=90。，ZB=60°,

?.ZA=30°,

:.AB=2BC

在RtAABC中，AB2=BC2+AC2,

:.4BC2=BC2+64x3,

BC=S，

/.A5=16,

點(diǎn)D在邊BC上,BD=3CD,

:.BD=6,CD=2,

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在他上時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作瓦'J_BC于點(diǎn)P,

旋轉(zhuǎn)

:.DE=BD=f),且ZABC=60°,

:.MDE是等邊三角形

:.BE=6,且EF_L3D,ZABC=60°,

:.BF=3.EF=y[3BF=3>/3

：.SgED=gBDxEF=9C，

旋轉(zhuǎn)

：.BD=DE=6

在RtACDE中，CE=力DE2-CD2=j36-4=40,

.?S^ED=gBDxEC=12^2,

綜上所述：AftBE的面積為120或9G.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí),

靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在AA8C中，ZACfi=90°,AC=8C=4,點(diǎn)。是邊A上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。與點(diǎn)A、

3不重合)，過(guò)點(diǎn)。作。ELAB交射線8c于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)短，點(diǎn)F是鉉的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D、

廠作直線，交AC于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CF、CD.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊8c上，設(shè)，DB=x,CE=y.

①寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域;

②判斷ZCDF的形狀，并給出證明；

(2)如果4￡=述，求OG的長(zhǎng).

3

【解答】解：(1)①ZACB=90P,AC=BC=4,

:.AB=4直,ZB=Zfi4C=45°,

又DEIAB,

.?.ADEB為等腰直角三角形,

DB=x,CE=y，

EB=41x,

又EB+CE=4,

y[lx+y=4,

/.y=4->/2x(0<A;,2\/2)；

②DELAB,ZACB=90°,

.\ZADE=90°,

點(diǎn)尸是A石的中點(diǎn)，

.?.CF=AF=-AE,DF=AF=-AE.

22

:.CF=DF,

/CFE=2/CAE,ZEFD=2ZEAD,

??.ZCFD=Z.CFE+ZEFD=2ZCAE+2ZEAD=2ZCAD,

ZC4B=45°,

/.ZC/D=90°,

」.ACD尸是等腰直角三角形;

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)石在8C上時(shí)，AE=—AC=4,

3

4J3

在RtAACE中，CE=^—

3

則AE=2CE,

/.ZC4E=30°,

又CF=DF，AE=處,

23

4

在RtACFG中，GF=—

3

DG=DF+FG="+4；

3

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在8C延長(zhǎng)線上時(shí)，ZCFD=90°,

同理可得CF=DF=—AE=43,

23

在RtACFG中，GF=-,

3

4百一4

..DG=DF-FG=--------.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要是三角形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

9.已知，如圖，在RtAABC中，Z4C8=90。，AB=2,ZS=30°,尸是邊8C上的一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作垂足為E,延長(zhǎng)PE至點(diǎn)Q,使尸Q=PC,連接CQ交邊45于點(diǎn)Q.

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)設(shè)CP=x,APCQ的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；

(3)過(guò)點(diǎn)C作C尸J_A8,垂足為尸，聯(lián)結(jié)尸尸、QF,試探索當(dāng)點(diǎn)P在邊8c的什么位置

時(shí)，APFQ為等邊三角形？請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置并加以證明.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定

定理解答即可；

(2)作多，比于H,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)用x表示出Q”，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)

算，得到答案；

(3)證明AWC為等邊三角形，得到NFPC=60。，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論.

【解答】解：(1)ZACB=90°,ZB=30°,

:.AC^-AB=\,

2

PQ=PC,

ZPQC=ZPCQ,

PEYAB,

NPQC+NQ￡)E=90。，

ZACS=90。，

ZPCQ+ZACD=90°,

ZACD^ZQDE,

ZACD=ZADC，

/.ZACD=ZADC,

.?.AD=AC=\;

(2)作QH_L8C于”，

ZACB=90°,ZB=30°,

/.ZA=60°,又AD=AC,

.?.A4ZX?為等邊三角形，

/.NQCB=30。,

PQ=PC=X,

NPQC=NPCQ=30。,

ZQPH=60%

...QH=^-x,

:.kPCQ的面積為y=^xxx-^-x=^-x2(^-<x<\fi)；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在邊5c的中點(diǎn)時(shí)，APFQ為等邊三角形,

理由如下：如備用圖，NBPC=90。，點(diǎn)。是的中點(diǎn),

:.PF=-BC=CP,

2

ZBFC=90°,ZB=30°,

；.FC=LBC=CP,ZBPE=60°,

2

：.FC=PF=CP,

.?.AFPC為等邊三角形，

/.ZFPC=60°,

ZBPE=60°,

NQPF=60。,

PF=PC=PQ,

.?.△PbQ為等邊三角形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，

掌握等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.已知：如圖，在AA8C中，ABAC=90°.ZC=30°,EF垂直平分AC,點(diǎn)。在84的

延長(zhǎng)線上，AD=-EC.

2

求證(1)ADAF=AEFC；

(2)DF=BE.

【分析】(I)根據(jù)全等三角形的判定解答即可;

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

/.Z￡FC=90°,AF=CF,

ZC=30°,

:.EF=-EC,

2

AD=-EC,

2

:.AD=EF,

ZBAC=90°,

ZBAC+ZDAF=\8O09

,\ZDAF=90°=ZEFCf

在AZMF與AEFC中

AD=EF

<NDAF=ZEFC,

AF=FC

:.M)AF=AEFC(SAS)；

(2)連接AE,

M)AF=AEFC,

:.DF=EC,

斯垂直平分AC,

:.EA=ECf

/.Z￡AC=ZC=30°,

/.ZE4B=ZB=60°,

:.EA=EB,

:.DF=EB.

【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等

是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.已知：如圖，在ABCO中，CEL8O于點(diǎn)石，點(diǎn)A是邊8的中點(diǎn)，即垂直平分線A3

(1)求證：BE=-CDx

2

(2)當(dāng)AB=5C,NABO=25。時(shí)，求NACB的度數(shù).

DEB

【分析】（1）連接AE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=AO=』CO,根據(jù)線段垂直平分

2

線的性質(zhì)得到￡4=￡S,等量代換證明結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)求出乙回，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算,

得到答案.

【解答】（1）證明：連接在，

CEA.BD,點(diǎn)A是邊C￡＞的中點(diǎn)，

/.AE=AD=-CD,

2

EF垂直平分線AB,

:.EA=EB,

BE=-CD；

2

（2）EA=EB,

ZEAB=ZABD:=25°,

:.ZAED=ZEAB+ZABD=50°,

EA=AD,

:.ZD=ZAED=50°,

:.ZBAC=ZABD+ZD=15°,

AB=BC,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌

握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

12.已知：如圖，N尸=90。，AELOC于點(diǎn)E,點(diǎn)A在NFOC的角平分線上，且點(diǎn)A到點(diǎn)

B、點(diǎn)C的距離相等.求證：BF=EC.

【分析】證明RIAABF三RtAACE(HL)即可解決問(wèn)題.

【解答】證明：點(diǎn)A在ZFOC的角平分線上，ZF=90°,AEA.OC,

.-.AE^AF,

點(diǎn)4到點(diǎn)3、點(diǎn)C的距離相等，

/.AB=AC,

ZF=ZAEC=90°,

RtAABF=RtAACE(HL),

:.BF=EC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正

確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

13.已知：如圖，在A4BC中，BD、CE分別是邊AC、/歸上的高，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，

且MN工DE,垂足為點(diǎn)N

(1)求證：ME=MD；

(2)如果比＞平分求證：AC=4EN.

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EM=-BC,等量代換即可證明；

22

(2)證明4題三△CBQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)證明.

【解答】證明：(1)8D是邊AC上的高，

:.ZBDC=90°,

點(diǎn)”是BC的中點(diǎn),

:.DM=-BC,

2

同理，EM=、BC,

2

.\ME=MD；

(2)BD平分乙，$C,

.?.ZABD=/CBD,?

BD是邊AC上的高，

.\ZADB=ZCDB=90°.

在AAB￡>和ACB。中，

/ABD=/CBD

,BD—BDt

4ADB=NCDB

:.MLBD=\CBD(ASA),

.\AD=CD,

CE是邊AB上的高，

.?.ZCE4=90°，

AC=2ED,

ME=MD,MNIDE,

:.DE=2EN,

,-.AC=4EN.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，斜邊上

的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，A48C中，AC=2C，3c=40，AB=6,點(diǎn)P是射.線C8上一點(diǎn)(不與點(diǎn)3

重合)，EF為的垂直平分線，交PB于點(diǎn)F,交射線于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)PE、AP.

(1)求々的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，設(shè)8E=x,A4CP的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并

寫(xiě)出函數(shù)的定義域；

(3)如果3￡=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出AACP的面積.

【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理判斷出AA8C是直角三角形，再由AC=』8C即可得出

2

答案；

（2）作⑷JfiC，垂足為點(diǎn)。.由直角三角形30。角所對(duì)邊等于斜邊一半知AO=LAB=3,

2

EF=3BE=；x,根據(jù)勾股定理知8F=#x,繼而由=（CFAO可得答案.

（3）點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，由BE=2知x=2,代入（2）中所得解析式計(jì)算即可得；當(dāng)點(diǎn)P

在射線C3上時(shí)，作AMJLBC,根據(jù)已知條件得出所=l3￡：=1,PF=BF=6，

2

AM=-AB=3,利用三角形的面積公式計(jì)算可得.

2

【解答】解：（1）在AA8C中，

AC=26,8c=46，AB=6,

AC2+AB2=48,BC2=48,

AC2+AB2=BC2.

.-.ZBAC=90°.

又AC=26,8c=40，

AC=-BC,

2

ZB=30°.

（2）過(guò)點(diǎn)A作ADJ_3C,垂足為點(diǎn)。.

在AA￡）B中，ZADB=90°,ZB=30°.

：.AD=-AB=3,

2

同理，EF=-BE=-x.

22

在RtAEFB中，EF2+FB1=EB2,即（萬(wàn)*產(chǎn)+8我=/,

:.BF=—x,

2

又BP=2BF,

：.BP=\f3x.

:.CP=CB-PB=4-j3->/3x,

SM”；CPAD,

...y=l（4百一岳）x3=66-地x,（0<%,4）；

22

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在線段8c上時(shí)，由砥=2知x=2,

由(2)知I止匕時(shí)A4CP的面積為—宏3*2=36；

2

當(dāng)點(diǎn)P在射線CB上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AW_LBC于點(diǎn)M,

:.EF=-BE=\,

2

則PF=BF=y/3,

AB=6,

：.AM^-AB=3,

2

則AACP的面積為,XPC*AM=L*(48+&+G)X3=9K.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的

性質(zhì)及三角形的面積公式和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.

15.問(wèn)題情境：如圖，在RtAABC中，ZACB=90PZBAC=30°.?

動(dòng)手操作：(1)若以直角邊AC所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸.將RtAABC作軸對(duì)稱(chēng)變換，請(qǐng)你在原

圖上作出它的對(duì)稱(chēng)圖形:

觀察發(fā)現(xiàn)：（2）RIAABC和它的對(duì)稱(chēng)圖形組成了什么圖形？你最準(zhǔn)確的判斷是等邊三角

形.

合作交流：（3）根據(jù)上面的圖形，請(qǐng)你猜想直角邊BC與斜邊轉(zhuǎn)的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

猜想.

【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)3C到點(diǎn)。使CD=8C,則AACD滿足條件；

（2）利用NAC8=90。，4%。=30。得到/8=60°,再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到/W=，

從而可判斷八鉆。為等邊三角形；

（3）利用AAfi。為等邊三角形得到AB=5D,再利用對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)得到3C=CZ>,所以

BC=-AB.

2

【解答】解：（1）如圖，A48為所作；

（2）RtAABC和它的對(duì)稱(chēng)圖形組成了等邊三角形:

理由如下：ZACB=90°,ABAC=30°,

/.ZB=60°,

AACD與AABC關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng),

/.AB=AD,

為等邊三角形；

故答案為等邊三角形；

(3)BC=-AB.

2

利用如下：4題為等邊三角形;

：.AB=BD,

AACD與MBC關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng),

:.BC=CD,

BC=-AB.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換：幾何圖形都可看做是有點(diǎn)組成，我們?cè)诋?huà)一個(gè)圖形

的軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)開(kāi)始的.也考查了等邊三角形的判定

與性質(zhì).

16.如圖，已知=

(1)如果5E=6,DE=2,求8c的長(zhǎng);

(2)如果NS4c=75。，ZBAD=3QP,求"4E的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得出砥=8,根據(jù)3E=6,?！?2,得出CE=4,

從而得出8C的長(zhǎng)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出N8AE=NC4r>,即可得出=NC4E,計(jì)算

NC4￡>-NC4E即得出答案.

【解答】解：(1)MBE^AACD,

:.BE=CD,ZBAE=/1CAD,

又BE=6,DE=2,

:.EC=DC-DE=BE-DE=A,

;.BC=BE+EC=W-,

(2)ACAD=ABAC-ABAD=75°-30°=45°,

r.ZBAE=ZCAD=45°,

.ZZME=NBAE-NR4Z)=45。-30。=15。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相

等.

17.如圖(1),已知四邊形/WC力的四條邊相等，四個(gè)內(nèi)角都等于90。，點(diǎn)E是8邊上一

點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn),且NE4尸=45。.

(1)求證：BF+DE=EF；

(2)若他=6,設(shè)BF=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

(3)過(guò)點(diǎn)A作力HJ_正于點(diǎn)”，如圖(2),當(dāng)FH=2,E”=l時(shí)，求AAFE的面積.

【分析】(1)如圖1中，將AAOE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到.只要證明

AAFH三AAFf(5A5)即可解決問(wèn)題；

(2)利用(1)中結(jié)論，在RtAECF中，根據(jù)EF;C尸+EC?,構(gòu)建關(guān)系式即可；

(3)如圖2中，將A4DE繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到首先證明47=加，設(shè)唐節(jié)，

在RtAEFC中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；

【解答】(1)證明：如圖1中，將AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

四邊形ABCD是正方形,

:.AB=AD=CD=BC,ZBAD=90°,

ZE4F=45°,

.-.ZBAF+ZBAH=ZBAF+ZDAE=45°,

.\ZFAH=ZFAE=45°,

AF^AF,AH=AE,

:.^AFH^MFE(SAS),

:.EF=FH,

FH=BH+BF=DE+BF,

:.EF=BF+DE.

(2)解：AB=BC=CD=6,BF=x,DE=yf

EF=x+yJFC=6—x,EC=6—y,

在RtAECF中，EF?=CF2+EC2,

，(x+y)2=(6-x)2+(6-y)2,

.丁=2^(瞬6)

x+6

(3)解：如圖2中，將AM見(jiàn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABA7.

由(1)可知合

ABA.FM,AHLEF,

.\AB=AH,

設(shè)A8=8C=CD=AD=x,

ZABF=ZAHF=90°,

AF=AF.AB=AH9

RtAAFB二RtAAFH(HL),

：.BF=FH=2,同理可證：DE=EH=\,

CT7=x—2,EC=x—1,

在RtAECF中，EF2=CF2+EC：

.-.32=(X-2)2+(X-1)2,

或子（舍棄）'

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)

建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

18.如圖，已知RtAABC中，ZACB=90°,ZB=15°,邊45的垂直平分線交邊8C尸點(diǎn)后，