2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市千陽(yáng)縣高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年陜西省寶雞市千陽(yáng)縣高二上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若直線過(guò)點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°2．已知平面的一個(gè)法向量是，，則下列向量可作為平面的一個(gè)法向量的是（

）A． B．C． D．3．正方形所在平面外一點(diǎn)平面.若，則平面與平面所成的角的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，直線y=ax-3a+2所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是（

）A． B． C． D．5．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式.如圖，在重檐四角攢尖中，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的倍，則側(cè)面與底面所成角的大小為（

）A． B． C． D．6．如圖，在平行六面體中，M是與的交點(diǎn)，若，，，且，則（

）A．1 B． C．0 D．7．已知直線過(guò)點(diǎn)，若與連接，的線段總有公共點(diǎn)，則l的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知直線的方程為，則（

）A．直線在軸上的截距為2B．直線在軸上的截距為3C．直線的傾斜角為銳角D．過(guò)原點(diǎn)且與垂直的直線方程為10．長(zhǎng)方體中，，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離不可能是（

）A．B．C．D．11．直線，的圖像可能是（

）A． B．C． D．12．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．C．平面 D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．直線的傾斜角為，直線，則直線的斜率為.14．已知直線l過(guò)點(diǎn)，直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程為.15．如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為16．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則實(shí)數(shù)．四、解答題：本題共6小題，70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．根據(jù)條件寫(xiě)出下列直線的斜截式方程.(1)斜率為2，在y軸上的截距是5；(2)傾斜角為，在y軸上的截距是.18．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：平面.(2)求直線與平面.所成角的正弦值.19．已知三角形△的頂點(diǎn)為.(1)求邊上的高所在直線的方程;(2)求經(jīng)過(guò)的直線，使得A，B到直線的距離相等.20．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn).(1)求證.(2)已知點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，試確定點(diǎn)的位置.21．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（1，3）.（1）求AB所在直線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，求CD所在直線的方程.22．如圖，在三棱錐中，，D是BC的中點(diǎn)，⊥平面，垂足O落在線段AD上，已知，，，.(1)求證.(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且，求平面ABC與平面BCM的夾角余弦.1．A【分析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為．故選：A．2．D【分析】根據(jù)兩平面平行，則兩平面的法向量也平行可得出結(jié)論.【詳解】，所以，平面與平面的法向量平行，因?yàn)?，且ABC選項(xiàng)中的向量均與不共線.故選：D.3．B【分析】由P為正方形外一點(diǎn)，平面，有CD⊥PD，PA⊥AB，AB∥CD又面PAB，面PCD且P面PAB面PCD即可確定二面角，進(jìn)而求其大小【詳解】由題意，有如下示意圖

∵P為正方形外一點(diǎn)，平面∴PA⊥CD，又CD⊥AD∴CD⊥面PAD故，有CD⊥PD，又PA⊥AB，AB∥CD，面PAB，面PCD且P面PAB面PCD可知，面與面所成的二面角為在內(nèi)，故選：B本題考查了二面角，兩個(gè)面內(nèi)有兩直線平行，過(guò)兩面交線上一點(diǎn)分別作兩直線的垂線，即可得兩面的夾角的平面角即二面角，進(jìn)而確定角的大小4．B【分析】把直線化為點(diǎn)斜式，求出所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).【詳解】整理為：，所以直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為.故選：B5．B【分析】作出正四棱錐側(cè)面與底面所成角的平面角，利用側(cè)面積和底面積之間的關(guān)系即可求得平面角的余弦值，即得答案.【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐為，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則底面，作于E，連接，底面，則,而平面，故平面，平面，故，故即為平面與底面所成角，也即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角；因?yàn)檎睦忮F的側(cè)面積是底面積的倍，故,即，即,在中，，則，即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小為，故選：B6．A【分析】根據(jù)給定的幾何體，結(jié)合空間向量運(yùn)算用表示，再利用空間向量基本定義即可求解.【詳解】在平行六面體中，M是與的交點(diǎn)，則，又，由空間向量基本定理，知，，，所以.故選：A7．C【分析】作出圖形，求得直線與線段有交點(diǎn)時(shí)的臨界斜率，從而得解.【詳解】由題意得，，由直線l與線段AB總有公共點(diǎn)，可畫(huà)出圖形如圖，根據(jù)圖形可知或，即或，所以l的斜率的取值范圍是.故選：C.8．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，求出兩平面的法向量，從而根據(jù)兩平面的所成角得到方程，求出，求出BE的長(zhǎng)的最大值.【詳解】依題意，，，兩兩互相垂直，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，（，，且m，n不同時(shí)為0），則，，，所以，.設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，令，得，則，顯然為平面ABC的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫媾c平面所成角的大小為，所以，即，得，所以，所以當(dāng)時(shí)，m取得最大值，最大值為.故選：B9．BCD【分析】根據(jù)直線方程，分別令即可判斷AB，由直線斜率可判斷C，求出原點(diǎn)且與垂直的直線方程即可判斷D.【詳解】在中，令，得，所以A不正確；令，得，所以B正確；因?yàn)橹本€l的斜率為，所以直線l的傾斜角為銳角，故C正確；因?yàn)榕cl垂直的直線方程可設(shè)為，又直線過(guò)原點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD10．ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量求點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】解：根據(jù)題意，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以，所以設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，因?yàn)?，所以，所以所以點(diǎn)到平面的距離不可能是，，．故選：ABC11．C【分析】將兩直線的方程均化為斜截式，先固定，判斷另外一條是否與之相符【詳解】直線可化為，直線可化為.A中，由可知，，但此時(shí)與圖像不符，錯(cuò)誤；B中，由可知，，但此時(shí)與圖像不符，錯(cuò)誤；C中，由可知，，此時(shí)圖像合理，正確；D中，由可知，，但此時(shí)與圖像不符，錯(cuò)誤.故選：C12．ABC【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；對(duì)于A，，即，平面，A正確；對(duì)于BD，，，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，平面，C正確.故選：ABC.13．由已知可知直線的斜率為，再根據(jù)，斜率之積為，即可求出直線的斜率.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，則直線的斜率為又，故，則，所以直線的斜率為故14．或【分析】設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程.【詳解】設(shè)直線的方程為,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為10，所以②，由①②可解得或，故直線的方程為或，即或.故或.本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15．【分析】分析空間幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒【詳解】如圖所示，連接BD，，連接OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．設(shè)，則．所以，，，．結(jié)合圖形可知，，且為平面BOF的法向量，由，，可求得平面BCF的一個(gè)法向量為．所以，，所以．故16．【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，平面與平面的法向量共線，∴，則，即，解得.故答案為.17．(1)；(2).【分析】（1）利用直線的斜截式方程直接寫(xiě)出方程即可.（2）求出直線的斜率，再利用直線的斜截式方程寫(xiě)出方程即可.【詳解】（1）由直線的斜截式方程知，所求直線方程為.（2）因?yàn)橹本€的傾斜角，則該直線的斜率.所以該直線的斜截式方程為.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由可證明平面；（2）由向量法可求直線與平面.所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，平?（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，.19．(1)(2)和【分析】（1）根據(jù)直線垂直確定CD的斜率，即可求得答案；（2）分類(lèi)討論經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)和與平行，分別求解，即得答案.【詳解】（1）直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以所在直線的方程為，即.（2）因?yàn)榈街本€的距離相等，所以有兩種情況，①經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)式得化簡(jiǎn)得，②與平行，由（1）得，所以的方程為，即綜合①②得直線l的方程為和.20．(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)為的中點(diǎn)【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)即可證明.（2）設(shè)，根據(jù)平面PCB得到，，即可得到答案.【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，，，，，，所以，，所以，所以.（2）因?yàn)槠矫鍼AD，設(shè)，所以.由（1），知，.因?yàn)槠矫鍼CB，所以，，所以，，所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為，即點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).21．（1）y=3x-9；（2）x+3y-10=0.（1）由，利用點(diǎn)斜式即可求解.（2）根據(jù)直線垂直，斜率之間的位置關(guān)系可得，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】（1）平行四邊形，點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（1，3），，所在直線的斜率為，所在直線方程，即.（2）在平行四邊形中，，，，所在直線的斜率為，所在直線方程為，即x+3y-10=0.本題考查了直線平行、直線垂直斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式求直線方程，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，得到，證明出結(jié)論；（2）求出兩平面的法向量，求