2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高三上冊(cè)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市黃浦區(qū)高三上冊(cè)開學(xué)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．已知集合，則．2．的平方根為3．已知向量與的夾角為，，，則.4．設(shè)F1和F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足,則的面積為;5．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則6．若，則.7．直線是曲線的切線，則的最小值為．8．各項(xiàng)為正且公差不為0的等差數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第6項(xiàng)恰好是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)（順序不變），設(shè)，若對(duì)于一切的，，則的最小值為．9．設(shè)函數(shù)，則使得成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是.10．在中，，為鈍角，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若的最小值為，則．11．三棱錐中，已知平面，是邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，則的長為.12．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，，直線和圓交于兩點(diǎn)A，B，若對(duì)于任意的，均存在正數(shù)m，使得的面積均不小于，則的最大值為．二、選擇題（本大題共有4小題，滿分18分，其中第13、14題每題4分，第14、15題每題5分）13．已知是實(shí)數(shù)，命題；命題，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件14．下列說法正確的是（

）A．如果直線l不平行于平面α，那么平面α內(nèi)不存在與l平行的直線B．如果直線//平面α，平面//平面β，那么直線//平面βC．如果直線l與平面α相交，平面//平面β，那么直線l與平面β也相交D．如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β15．設(shè)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P，那么下列函數(shù)：①；②；③；具有性質(zhì)P的函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．316．某單位為了解該單位黨員開展學(xué)習(xí)黨史知識(shí)活動(dòng)情況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011黨員人數(shù)610987則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（

）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別為棱的中點(diǎn)，，平面平面.求證：

(1)平面；(2)平面．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．(1)證明是等差數(shù)列；(2)是否存在常數(shù)a、b，使得對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．19．如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形BCE綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅MN（寬度不計(jì)），點(diǎn)M在線段AD上，并且與曲線CE相切；另一排為單人弧形椅沿曲線CN（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為2a元，單人弧形椅的造價(jià)每米為a元，記銳角，總造價(jià)為W元．(1)試將W表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2)問當(dāng)AM的長為多少時(shí)，能使總造價(jià)W最?。?0．已知橢圓C：（）經(jīng)過，兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為.過點(diǎn)且斜率為k（）的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，且直線，分別與y軸交于點(diǎn)S，T.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，，求的取值范圍.21．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．【分析】進(jìn)行并集的運(yùn)算即可．【詳解】解：，故．本題考查了列舉法的定義，并集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】先設(shè)復(fù)數(shù)，可得，再結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件求解即可.【詳解】解：設(shè)所求復(fù)數(shù)為，由題意有，即，則，解得或，即或，即的平方根為，故答案為.本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.3．4【詳解】試題分析：向量與的夾角為，，則，.所以，則（舍去）或.考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積.4．1.【詳解】∵點(diǎn)P在雙曲線右支上，且滿足∠F1PF2=90°，②﹣①2得|PF1|?|PF2|=2．∴△F1PF2的面積S=|PF1|?|PF2|=1．故結(jié)果為1.5．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后由已知條件列方程組可求出，從而可求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，所以，?．【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式，倍角公式求解即可.【詳解】故本題主要考查了誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡求值，屬于中檔題.7．2【分析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，可得，再根據(jù)基本不等式可得的最小值.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線，故,由得，所以切線方程為，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以．故2.本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.8．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第6項(xiàng)恰好是等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，利用等比中項(xiàng)得到，化簡得到，從而求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求得，再由，得到求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，因?yàn)?，所以，所以，，所以，則，因?yàn)?，所以，故的最小值為．故本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)，裂項(xiàng)相消法求和以及數(shù)列不等式問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9．【分析】利用定義證明函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合在上單調(diào)遞增，解不等式，即可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍.【詳解】，則函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，即，即，故本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.10．【分析】取的中點(diǎn)得，，再將用向量表示并結(jié)合的最小值為得，即到直線的距離為，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得【詳解】取的中點(diǎn)，取，，，因?yàn)榈淖钚≈?，所以．作，垂足為，如圖，則，又，所以，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?，，所以．故答案?本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理解三角形，余弦的差角公式等，是中檔題.11．2或【分析】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)作，則，可證明平面，連接，則是與平面所成的角，設(shè)，利用平面所成的角的正弦值為，列方程求解即可.【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，平面，，為正三角形，，平面，在平面內(nèi)作，則，平面，連接，則是與平面所成的角，設(shè)，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值為，,解得或，即的長為2或，故答案為2或.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理.12．【分析】設(shè)O到直線l的距離為d，利用三角形的面積均不小于列不等式，由此求得的取值范圍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式.根據(jù)的取值范圍，求得的取值范圍，由此求得關(guān)于的不等式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【詳解】設(shè)O到直線l的距離為d，則，解得，即，所以，因?yàn)?，時(shí)，，，所以，因?yàn)榇嬖跐M足條件，所以，化簡得，且，由得，所以，因?yàn)椋獠坏仁綗o解，所以在上單調(diào)遞減，所以．故的最大值為．故本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于難題.13．B【分析】由題意可得命題，命題.由，可得結(jié)論.【詳解】解，得，命題.解，得，命題.p是q的必要不充分條件.故選：B.本題考查充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題.14．C【分析】根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷A，根據(jù)線面平行、面面平行的性質(zhì)判斷B，由直線與平交即平面平行的性質(zhì)判斷C，根據(jù)平面垂直的性質(zhì)判斷D.【詳解】如果直線l不平行于平面α，例如，則平面α內(nèi)存在與l平行的直線，故A錯(cuò)誤；如果直線//平面α，平面//平面β，那么直線//平面β或，故B錯(cuò)誤；如果直線l與平面α相交，平面//平面β，直線l與平面β也相交，故C正確；如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β或與相交，故D錯(cuò)誤.故選：C15．C根據(jù)題意，找出存在的點(diǎn)，如果找不出則需證明：不存在，，使得．【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，可找關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，比如，存在；②假設(shè)存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函數(shù)為偶函數(shù)，，令，，則，存在．故選：．本題考查函數(shù)新定義，考查函數(shù)的解析式以及函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)學(xué)生的理解能力，以及反證法的應(yīng)用，屬于中檔題．16．A【分析】眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的，百分位數(shù)根據(jù)從小到大排列后，根據(jù)計(jì)算即可求解.【詳解】黨員人數(shù)一共有，學(xué)習(xí)黨史事件為8小時(shí)的人數(shù)最多，故學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)為8，，那么第40百分位數(shù)是第16和17個(gè)數(shù)的平均數(shù)，第16，17個(gè)數(shù)分別為8，9，所以第40百分位數(shù)是故選：A17．(1)證明詳見解析(2)證明詳見解析【分析】（1）通過線面平行的判定定理證得平面.（2）根據(jù)通過證明來證得平面.【詳解】（1）由于分別為棱的中點(diǎn)，所以，由于四邊形是矩形，所以，所以，由于平面，平面，所以平面；（2）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于平面平面且交線為，平面，，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面.18．(1)證明見解析；(2)存在，.【分析】(1)由數(shù)列的前n項(xiàng)和為，可求得，，再由等比數(shù)列的定義證明即可.(2)根據(jù)題意可求得，，代入中得，只需滿足以即可，從而求解的值即可.【詳解】（1）解：證明：因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，所以，，所以是等差數(shù)列；（2）解：因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；所以，要使對(duì)一切正整數(shù)n都有成立．即，即，所以，解得.故存在常數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)n都有成立.19．(1)，(2)米【分析】（1）總造價(jià)由兩部分組成，根據(jù)弧長公式可求得，而切線長需構(gòu)造直角三角形或借助坐標(biāo)求解，最后由線段長為正，可得的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，分析函數(shù)單調(diào)性，確定極值點(diǎn)，即最值點(diǎn)即可得答案.【詳解】（1）解：過N作AB的垂線，垂足為F，過M作NF的垂線，垂足為G，在中，，則，在中，，則，由題意易得，所以，；（2）解：，令，得，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)W最小，最小值為，此時(shí)，，，所以當(dāng)米時(shí)，能使總造價(jià)W最小．20．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓的方程得.由的面積為可知，，解得b，進(jìn)而得橢圓C的方程.（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立直線l與橢圓C的方程可得關(guān)于x的一元二次方程.，進(jìn)而解得k的取值范圍.（Ⅲ）因?yàn)?，，，，寫出直線的方程，令，解得.點(diǎn)S的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)T的坐標(biāo)為.用坐標(biāo)表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化簡再求取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C：經(jīng)過點(diǎn)，所以解得.由的面積為可知，，解得，所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，，.聯(lián)立，消y整理可得.因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得.因?yàn)?，所以k的取值范圍是.（Ⅲ）因?yàn)?，，?所以直線的方程是.令，解得.所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)T的坐標(biāo)為.所以，，.由，，可得：，，所以.同理.由（Ⅱ）得，，所以所以的范圍是.涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21．（1）極小值，無極大值；（2）參考解析；（3）【詳解】試題分析：第一問，將代入中確定函數(shù)的解析式，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷的單調(diào)性，確定在時(shí)，函數(shù)有極小值，但無極大值，在解題過程中，注意函數(shù)的定義域；第二問，對(duì)求導(dǎo)，的根為和，所以要判斷函數(shù)的單調(diào)性，需對(duì)和的大小進(jìn)行3種情況的討論；第三問，由第二問可知，當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，所以為最大值，為最小值，所以的最大值可以求出來，因?yàn)閷?duì)任意的恒成