專題2.10 等腰三角形的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學年八年級數學上冊基礎知識專項突破講與練（蘇科版）

專題2.10等腰三角形的軸對稱性（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．特別提醒：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.【知識點二】等腰三角形的性質1.等腰三角形的性質性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質的作用性質1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據．性質2用來證明線段相等，角相等，垂直關系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【知識點三】等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.特別提醒：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.【考點一】等腰三角形??等腰三角形的定義【例1】已知等腰，解答以下問題：（1）若有一個內角為，求這個等腰三角形另外兩個角的度數；（2）若等腰三角形的周長為27，兩條邊長分別是a和，求三邊的長．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）分為等腰三角形的頂角和底角兩種情況，根據等腰三角形的性質結合三角形的內角和定理解答即可；（2）分若兩條邊長a和都是腰，一條是腰，另一條是底邊兩種情況，結合等腰三角形的性質、三角形的三邊關系和三角形的周長列出方程，求解即可．解：（1）當為等腰三角形的頂角時，則底角為，當為等腰三角形的底角時，則頂角為，所以這個等腰三角形另外兩個角的度數為；（2）若兩條邊長a和都是腰，則，解得，不符合題意，舍去；若兩條邊長a和一條是腰，另一條是底邊，分兩種情況：若a是腰，則為底邊，則，解得，此時三角形的三邊長分別是，∵，故此時不能構成三角形，舍去；若a是底邊，則為腰，則，解得，此時三角形的三邊長分別是，能構成三角形，綜上，三角形的三邊長分別是．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質、三角形的三邊關系等知識，全面分類、熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】若a、b是等腰三角形的兩邊長，且滿足關系式，則這個三角形的周長是（）A．9 B．12 C．9或12 D．15或6【答案】B【分析】先根據非負數的性質求出，再分兩種情況求解即可．解：根據題意，，解得，（1）若2是腰長，則三角形的三邊長為：2、2、5，，不能組成三角形；（2）若2是底邊長，則三角形的三邊長為：2、5、5，能組成三角形，周長為．故選：B．【點撥】此題考查了等腰三角形、構成三角形的條件、非負數的性質等知識，分類討論是解題的關鍵．【變式2】如圖，在中，，點是射線上一動點（在點的右側），，當時，以，，三點為頂點的三角形是等腰三角形．

【答案】或或【分析】先根據題意畫出符合的情況，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出即可．解：分為以下3種情況：①，

∵，∴∵，∴∴②，

∵，，∴，又，∴③

∵，∴∵∴∴綜上所述，或或，以，，三點為頂點的三角形是等腰三角形．故答案為：或或．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質和判定、三角形內角和定理等知識點，能畫出符合的所有圖形是解此題的關鍵．【考點二】等腰三角形??等邊對等角★★等角對等邊??求值?★證明【例2】如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接．

（1）若，求的度數；（2）若，的周長是，求的長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出，求得的度數，根據垂直平分線性質得出，得出，利用外角性質進而求出的度數；（2）由（1）知，，利用，即可求出的長．（1）解：，，，是的垂直平分線，，，；（2）由（1）知，，，，的周長是，即，．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，線段的垂直平分線性質，三角形內角和定理，三角形外角性質，熟練掌握這些性質定理是解答本題的關鍵．【舉一反三】【變式】如圖，在中，，，于點，點在上且，

（1）若的周長是，求線段的長；（2）求的度數.【答案】(1)；(2)【分析】（1）證明點是的中點，，從而可得答案；（2）證明，求解，證明，結合，可得，從而可得答案.（1）解：∵，于點，∴點是的中點，∵的周長是，，∴，∴；（2）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴.【點撥】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，等腰三角形的性質，熟記等腰三角形的三線合一是解本題的關鍵.【例3】如圖，在中，，作交的延長線于點，作，，且，相交于點，求證：．【分析】根據等邊對等角可得，根據平行線的性質可得，推得，根據全等三角形的判定和性質即可證明．證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在和中，∴，∴．【點撥】本題考查了等邊對等角，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵，屬于中考常考題型．【舉一反三】【變式】已知：如圖所示，中，，為的角平分線，求證：．（推理過程請注明理由）【分析】等邊對等角，得到，外角的性質和角平分線的定義，得到，即可得證．證明：（已知），（等邊對等角），是的外角，（外角的定義）（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），，（等量代換）是的角平分線，（已知）（角平分線定義），（等量代換），．（內錯角相等，兩直線平行）【點撥】本題考查等腰三角形的性質，三角形的外角的性質，平行線的判定．熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．【考點三】等腰三角形??三線合一??求值?★證明【例4】如圖，在中，于點．（1）若，求的度數；（2）若點在邊上，交的延長線于點，試說明．

【答案】(1)；（2）見解析【分析】（1）根據等腰三角形的性質可得，然后根據直角三角形兩銳角互余求出的度數即可；（2）根據等腰三角形的性質可得，根據平行線的性質可得，等量代換可得答案．（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】小明遇到這樣一個問題：如圖①，在中，，點在上，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計算的方法外，還可以用下面的方法：如圖②，作，垂足為，證明．請從以上兩種方法中任選一種，加以證明．【分析】方法1：利用三角形的內角和計算角的度數即可得出結論；方法2：作，垂足為，根據同角的余角相等得出，再根據等腰三角形三線合一的性質得出．證明：方法1：，，又，，．方法2：作，垂足為，，，．又，，，．【點撥】本題主要考查了三角形的內角和，同角的余角相等，等腰三角形三線合一的性質，熟練掌握三角形的內角和定理，等腰三角形三線合一的性質是解題的關鍵．【考點四】等腰三角形性質與判定??綜合??求值?★證明【例5】如圖：在的邊的延長線上，點在邊上，交于點，，．求證：是等腰三角形．（過作交于）

【分析】過作交于，根據平行線的性質可得出、，結合以及可證明，根據全等三角形的性質可得出，結合可得出，進而可得出，即可得證出△ABC是等腰三角形．證明：如圖，過作交于，∵，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．

【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質、平行線的性質以及全等三角形的判定與性質，通過作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】在中，，點分別在邊上，且，．（1）求證：是等腰三角形；（2）當時，求的角度．【答案】(1）見解析；(2)【分析】（1）由得，通過證明得到，從而即可得到是等腰三角形；（2）由得到，由三角形內角和定理和等腰三角形的性質可得，從而得到，進而得到，最后由進行計算即可得到答案．（1）證明：，，在和中，，，，是等腰三角形；（2）解：，，，，，，，，，，．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理，是解題的關鍵．【變式2】如圖，中，，，，垂足是D，平分，交于點E．在外有一點F，使，．

（1）求證：；（2）在上取一點M，使，連接，交于點N，連接．求證：①；②平分．【分析】（1）兩次運用同角的余角相等證明，得；（2）①過