高二數(shù)學(xué)人教版空間向量基本定理

空間向量基本定理(1)年級(jí)：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）主講人：王琦學(xué)校：北京市第五中學(xué)開公開課參加各類比賽備亮點(diǎn)找素材盡在高中數(shù)學(xué)公開課優(yōu)質(zhì)課融合課資源QQ群865257936

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．平面向量基本定理問題1空間中的任意向量能不能通過有限個(gè)向量的線性運(yùn)算來表示呢？追問2

兩個(gè)不共線的向量還夠用嗎？

如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使

p＝xa＋yb．至少需要三個(gè)向量．追問1

為了表示空間中的任意向量，我們至少需要幾個(gè)向量？

三個(gè)向量共面

三個(gè)向量不共面abc追問3

任給三個(gè)向量都可以表示空間中的任意向量嗎？？pijkPQOαxipijkPQOyjzkα我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p在

i，j，k上的分向量．xipijkPQOyjzk我們稱

xi，yj，zk分別為向量

p在

i，j，k上的分向量．α追問4

如果給定的三個(gè)不共面的向量不是兩兩垂直的，能用它們的線性運(yùn)算表示任意一個(gè)空間向量嗎？abcpabcOPαpacbBCAQQαabcOPpacbBCAOQPpacbBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabcxaOQPpacbybzcBCAαabc問題2你能類比平面向量基本定理的表述，寫出空間向量基本定理嗎？

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空間向量基本定理平面向量基本定理

如果

e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

那么，所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．空間向量基本定理

如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．

我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底(base)，a，b，c都叫做基向量(basevectors)．問題3空間的基底有多少個(gè)，需要滿足什么條件？答：任意三個(gè)不共面的向量都能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．空間的基底有無窮多個(gè)．

{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c不共面．

特別地，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．ijkOaijkPQO由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．

像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？{e1，e2}空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？{a，b，c}{e1，e2}空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？{a，b，c}{e1，e2}二維空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．問題4

平面向量基本定理與空間向量基本定理的聯(lián)系與區(qū)別是什么？{a，b，c}{e1，e2}二維三維空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．{a，b，c}{e1，e2}二維三維一維空間向量基本定理平面向量基本定理如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．{a，b，c}{e1，e2}二維三維一維{a}空間向量基本定理平面向量基本定理向量共線充要條件如果三個(gè)向量

a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組

(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．向量a(a≠0)與向量b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.{a，b，c}{e1，e2}二維三維一維{a}給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬起地球．——阿基米德給我一個(gè)基底，我還