基于munich鏈梯法的未決賬款公積金評(píng)估

基于munich鏈梯法的未決賬款公積金評(píng)估

一、儲(chǔ)備評(píng)估的鏈梯度法1.已決收款及預(yù)測(cè)隨著中國(guó)康復(fù)按摩技術(shù)的普及和提高，計(jì)算機(jī)從業(yè)人員逐漸意識(shí)到使用傳統(tǒng)鏈梯法的評(píng)價(jià)準(zhǔn)備金存在兩個(gè)不足。首先，他們沒(méi)有充分考慮歷史信息中的索賠和報(bào)告損失之間的關(guān)系。其次，如果基于這兩個(gè)數(shù)據(jù)獲得的索賠準(zhǔn)備金數(shù)量差異很大，則大多數(shù)人無(wú)法理解這兩個(gè)數(shù)據(jù)的選擇。為此,下面考慮兩類數(shù)據(jù)的相關(guān)性,進(jìn)而提出改進(jìn)鏈梯法的基本思路。鏈梯法假設(shè)不同事故年的賠款支出具有相同的進(jìn)展模式。設(shè)事故年i、進(jìn)展年j的累計(jì)已決賠款為Pi,j,累計(jì)已報(bào)案賠款為Ii,j(1≤i≤I,1≤j≤J,I=J=n)。當(dāng)1≤j≤n+1-i時(shí),Pi,j和Ii,j為已知數(shù)據(jù);當(dāng)n+1-i<j≤n時(shí),Pi,j和Ii,j為待預(yù)測(cè)的未知量。定義事故年i、進(jìn)展年j的(P/I)比率為:(Ρ/Ι)i,j=Ρi,jΙi,j(1)所有事故年在進(jìn)展年j的加權(quán)平均(P/I)比率為:(Ρ/Ι)j=1∑ni=1Ιi,j∑ni=1Ιi,j(Ρ/Ι)i,j=∑ni=1Ρi,j∑ni=1Ιi,j(2)經(jīng)過(guò)推導(dǎo),可以得到以下重要結(jié)論:(Ρ/Ι)i,j(Ρ/Ι)j=(Ρ/Ι)i,n+1-i(Ρ/Ι)n+1-i(n+1-i<j≤n)(3)式(3)表明,事故年i的(P/I)i,j比率的預(yù)測(cè)值與所有事故年加權(quán)平均(P/I)j比率的比值為常數(shù),它等于準(zhǔn)備金評(píng)估日對(duì)應(yīng)的比值。也就是說(shuō),如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率比所有事故年的加權(quán)平均(P/I)n+1-i的比率大,鏈梯法會(huì)把這種趨勢(shì)在進(jìn)展中逐步擴(kuò)大。鑒于這些不足,為了更準(zhǔn)確地評(píng)估準(zhǔn)備金,Quarg和Mack(2004)提出了通過(guò)調(diào)整進(jìn)展因子來(lái)減小兩類數(shù)據(jù)得到的未決賠款準(zhǔn)備金之間的差異,即MunichChainLadder(MCL)方法。2.mcl方法(1)已判決賬款進(jìn)展因子回歸與其他事故年相比,如果事故年i的(P/I)i,n+1-i比率高于平均(P/I)n+1-i比率,那么,意味著事故年i截至準(zhǔn)備金評(píng)估日的已決賠款偏多,或者已報(bào)案未決賠款準(zhǔn)備金偏少,因此,在未來(lái)進(jìn)展年的賠款額會(huì)減少,從而應(yīng)該減少下一進(jìn)展年的已決賠款進(jìn)展因子,增加已報(bào)案賠款進(jìn)展因子,即通過(guò){(Ρ/Ι)i,j}比率調(diào)整單個(gè)進(jìn)展因子{fΙi,j}。同理,通過(guò){(Ι/Ρ)i,j}比率調(diào)整單個(gè)進(jìn)展因子{fΡi,j}1。(2)擴(kuò)展mack模型假設(shè)MCL方法基于Mack模型的假設(shè),并同時(shí)考慮已決賠款和已報(bào)案賠款數(shù)據(jù),進(jìn)一步擴(kuò)展了Mack模型的假設(shè)。設(shè)事故年i到進(jìn)展年j的累計(jì)已決賠款進(jìn)展序列為Pi(j)={Pi(1),…,Pi(j)},累計(jì)已報(bào)案賠款進(jìn)展序列為Ii(j)={Ii(1),…,Ii(j)}。方差參數(shù)①對(duì)不同的事故年i和k?{Ρi,j}和{Ρk,j}相互獨(dú)立,{Ιi,j}和{Ιk,j}相互獨(dú)立。②對(duì)所有的1≤i,j≤n,存在加權(quán)平均進(jìn)展因子fΡj→j+1>0和fΙj→j+1>0,使得E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=fΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,jE(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=fΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(4)③對(duì)所有的1≤i,j≤n,存在方差參數(shù)σΡj→j+1≥0和σΙj→j+1≥0,使得σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=σΡj→j+1√Ρi,jσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=σΙj→j+1√Ιi,j(5)p/p比的條件殘差①定義(P/I)過(guò)程和(I/P)過(guò)程。(P/I)過(guò)程和(I/P)過(guò)程的定義類似,下面只給出(P/I)過(guò)程。對(duì)所有事故年i,令Qi=Ρi/Ιi=(Ρi,j/Ιi,j)j∈{1,2,?,n}=(Qi,j)j∈{1,2,?,n}表示(P/I)過(guò)程。對(duì)所有的1≤i,j≤n,存在比率qj>0和方差參數(shù)ρΙj≥0,使得E(Qi,j|Ιi(j))=qjVar(Qi,j|Ιi(j))=(ρΙj)2/Ιi,j(6)②定義條件殘差。下面定義進(jìn)展因子、(P/I)比率和(I/P)比率的條件殘差。Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Ρi,j+1Ρi,j-E(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Ιi,j+1Ιi,j-E(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))Res(Qi,j|Ιi(j))=Ρi,jΙi,j-E(Ρi,jΙi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))Res(Q-1i,j|Ρi(j))=Ιi,jΡi,j-E(Ιi,jΡi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))容易看出,這四個(gè)殘差的均值為0,方差為1。③考慮進(jìn)展因子和(P/I)比率、(I/P)比率的相關(guān)性。設(shè)Bi(j)={Pi(1),…,Pi(j),Ii(1),…,Ii(j)},對(duì)所有事故年i,存在常數(shù)λP和λI,使得進(jìn)展因子條件殘差與(I/P)比率(或(P/I)比率)的條件殘差之間滿足如下線性關(guān)系。E[Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))|Bi(j)]=λΡRes(Q-1i,j|Ρi(j))(7)E[Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))|Bi(j)]=λΙRes(Qi,j|Ιi(j))(8)對(duì)式(7)、式(8)進(jìn)行整理,可以得出E(Ρi,j+1Ρi,j|Bi(j))=fΡj→j+1+λΡσ(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))σ(Q-1i,j|Ρi(j))(Q-1i,j-E(Q-1i,j|Ρi(j)))(9)E(Ιi,j+1Ιi,j|Bi(j))=fΙj→j+1+λΙσ(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))σ(Qi,j|Ιi(j))(Qi,j-E(Qi,j|Ιi(j)))(10)(3)求各sq-1i,j[i,j[i,λP=Corr(Q-1i,j,Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))=Corr[Res(Q-1i,j|Ρi(j)),Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))](11)λI=Corr(Qi,j,Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))=Corr[Res(Qi,j|Ιi(j)),Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))](12)3.mcl方法的參數(shù)估計(jì)2(1)基于mack模型參數(shù)的無(wú)指定推測(cè)酶n-j,bn-j,ff?fΡj→j+1=∑n-ji=1Ρi,j+1∑n-ji=1Ρi,j?fΙj→j+1=∑n-ji=1Ιi,j+1∑n-ji=1Ιi,j(13)n-l-b1n-1i(?σΡj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ρi,j(Ρi,j+1Ρi,j-?fΡj→j+1)21≤j≤n-2(14)(?σΙj→j+1)2=1n-j-1n-j∑i=1Ιi,j(Ιi,j+1Ιi,j-?fΙj→j+1)21≤j≤n-2(15)式(14)、式(15)沒(méi)有給出σ2n-1→n的估計(jì)。以已決賠款為例,在進(jìn)展年n-1和n之間僅有一個(gè)觀察值Pi,n/Pi,n-1不足以估計(jì)兩個(gè)參數(shù)fΡn-1→n和(σΡn-1→n)2?(σΡn-1→n)2的一種近似估計(jì)為:(?σΡn-1→n)2=min[(?σΡn-3→n-2)2,(?σΡn-2→n-1)2](16)(2)mcl方法的擴(kuò)展參數(shù)的估計(jì)首先，p.i比率沒(méi)有得到估計(jì)?qj=∑n+1-ji=1Ρi,j∑n+1-ji=1Ιi,j?q-1j=∑n+1-ji=1Ιi,j∑n+1-ji=1Ρi,j(17)jq-1i,n-1,18(?ρΡj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ρi,j(Q-1i,j-?q-1j)21≤j≤n-1(18)(?ρΙj)2=1n-jn+1-j∑i=1Ιi,j(Qi,j-?qj)21≤j≤n-1(19)已約化2,j為1i,j為1.由通常的最小二乘估計(jì)(OLS)可以得出:?λΡ=∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))?Res(Ρi,j+1Ρi,j|Ρi(j))∑n-ji=1Res(Q-1i,j|Ρi(j))21≤j≤n-2(20)λ^Ι=∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))?Res(Ιi,j+1Ιi,j|Ιi(j))∑i=1n-jRes(Qi,j|Ιi(j))21≤j≤n-2(21)(3)[1e采用1-in,1.2,2,5.2,2,10.2,10.2,10.2,10.2,10。[2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2,5.2Ρ^i,j+1=Ρ^i,j[f^j→j+1Ρ+λ^Ρσ^j→j+1Ρρ^jΡ(Ι^i,jΡ^i,j-q^j-1)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(22)Ι^i,j+1=Ι^i,j[f^j→j+1Ι+λ^Ισ^j→j+1Ιρ^jΙ(Ρ^i,jΙ^i,j-q^j)]1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1(23)(4)未決收款保證金rv的估計(jì)MCL方法可得到最終損失的估計(jì)∑i=1nΡ^i,n和∑i=1nΙ^i,n,未決賠款準(zhǔn)備金(RV)的估計(jì)。RV^Ρ=∑i=2n(Ρ^i,n-Ρi,n+1-i)RV^Ι=∑i=2n(Ι^i,n-Ρi,n+1-i)(24)4.未決收款保證金的預(yù)測(cè)算法事故年i的未決賠款準(zhǔn)備金R^iΡ、R^iΙ的預(yù)測(cè)均方誤差的估計(jì)量分別為:MSEP[R^iΡ]=Ρ^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2)(1Ρ^i,j+1∑i=1n-jΡi,j)2≤i≤n(25)MSEP[R^iΙ]=Ι^i,n2∑j=n+1-in-1((σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2)(1Ι^i,j+1∑i=1n-jΙi,j)2≤i≤n(26)所有事故年的未決賠款準(zhǔn)備金總額R^P、R^I的預(yù)測(cè)均方誤差的估計(jì)量分別為:MSEP(∑i=2nR^iΡ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΡ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ρ)2(f^j→j+1Ρ)2?1∑i=1n-jΡi,j(27)MSEP(∑i=2nR^iΙ)=∑i=2nΜSEΡ[R^iΙ]+2∑2≤i<k≤nΡ^i,nΡ^k,n∑j=n+1-in-1(σ^j→j+1Ι)2(f^j→j+1Ι)2?1∑i=1n-jΙi,j(28)二、基于循環(huán)模擬方法的估計(jì)誤差雖然MCL方法可以更合理地評(píng)估未決賠款準(zhǔn)備金,并得到了MSEP估計(jì)的解析形式,但是解析解相對(duì)復(fù)雜,并且MSEP僅度量了一階矩和二階矩,為了更深入地研究波動(dòng)性,可以基于Bootstrap方法估計(jì)參數(shù)誤差,并按照模型假設(shè),在隨機(jī)模擬中考慮過(guò)程方差,可以同時(shí)得到MSEP的估計(jì)和未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布。1.就業(yè)狀態(tài)的模擬結(jié)果及分析(1)基于Bootstrap的隨機(jī)性MCL(SMCL)方法的兩種基本思路。第一,在應(yīng)用Bootstrap方法時(shí),考慮兩類增量賠款數(shù)據(jù)的殘差,其基本思路為:①將累計(jì)已決賠款Pi,j和累計(jì)已報(bào)案賠款I(lǐng)i,j轉(zhuǎn)化為增量已決賠款Xi,jΡ和增量已報(bào)案賠款Xi,jΙ(i,j≥1,i+j≤n+1)。②構(gòu)造殘差。計(jì)算上三角數(shù)據(jù)中每個(gè)進(jìn)展年增量數(shù)據(jù)的均值XˉjΡ和XˉjΙ、標(biāo)準(zhǔn)差σjΡ和σjΙ,標(biāo)準(zhǔn)化后,得出下面的殘差流量三角形:Res(Xi,jΡ)=Xi,jΡ-XˉjΡσjΡRes(Xi,jΙ)=Xi,jΙ-XˉjΙσjΙi,j≥1,i+j≤n+1③這里對(duì)步驟②得到的殘差乘以因子(n+2)/n加以調(diào)整4,然后再進(jìn)行Bootstrap再抽樣,進(jìn)而得到模擬的上三角增量賠款數(shù)據(jù)和累計(jì)賠款數(shù)據(jù)。④應(yīng)用MCL方法,計(jì)算模擬的下三角累計(jì)已決賠款i,jB5和累計(jì)已報(bào)案賠款i,jB,進(jìn)而得到一次模擬中,兩種累計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的最終損失、未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的均值估計(jì)。⑤基于MCL方法的假設(shè),對(duì)下三角數(shù)據(jù)(1<i≤n,n+1-i≤j≤n-1)進(jìn)一步假設(shè)。Ρi,j+1～Ν(f^′j→j+1ΡBΡ^i,jB,(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB)Ιi,j+1～Ν(f^′j→j+1ΙBΙ^i,jB,(σ^j→j+1Ι)2BΙ^i,jB)這里類似式(22)、(23)所示,f^′j→j+1ΡB和f^′j→j+1ΙB是按照模擬數(shù)據(jù)調(diào)整后的單個(gè)進(jìn)展因子。進(jìn)而可以從均值為f^′j→j+1ΡBi,jB,方差為(σ^j→j+1Ρ)2BΡ^i,jB的正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù),得到未決賠款準(zhǔn)備金預(yù)測(cè)分布的一次模擬,同理,也可得到基于已報(bào)案數(shù)據(jù)的一次模擬結(jié)果。⑥重復(fù)步驟③、④、⑤,B次Bootstrap再抽樣后,即可得到兩類數(shù)據(jù)情況下最終損失、未決賠款準(zhǔn)備金、IBNR的預(yù)測(cè)分布,并得到相關(guān)的分布特征。第二,在應(yīng)用Bootstrap方法時(shí),考慮MCL方法中參數(shù)的四類殘差,其基本思路為:①計(jì)算進(jìn)展因子的無(wú)偏估計(jì)f^j→j+1Ρ和f^j→j+1Ι,方差參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)(σ^j→j+1Ρ)2和(σ^j→j+1Ι)2;比率的無(wú)偏估計(jì)q^j和q^j-1,方差參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)(ρ^jΡ)2和(ρ^jΙ)2。②構(gòu)造Pearson殘差。按照第一部分定義的條件殘差,構(gòu)造四類殘差的流量三角形。包括兩個(gè)進(jìn)展因子條件殘差流量三角形(1≤i≤n-j,1≤j≤n-2),(P/I)比率和(I/P)比率條件殘差流量三角形(1≤i≤n+1-j,1≤j≤n-1)。③對(duì)步驟②得到的殘差乘以因子(n-j)/(n-j-1)加以調(diào)整6,然后再進(jìn)行Bootstrap再抽樣,分別得到模擬累計(jì)已決、已報(bào)案賠款進(jìn)展因子Pi,j+1B/Pi,jB和Ii,j+1B/Ii,jB的流量三角形,比率Pi,jB/Ii,jB和Ii,jB/Pi,jB的流量三角形。④類似步驟①,計(jì)算模擬數(shù)據(jù)得到的估計(jì)值f^j→j+1ΡB和f^j→j+1ΙB?(σ^j→j+1ΡB)2和(σ^j→j+1ΙB)2?q^jB和q^j-1B?(ρ^jΡB)2和(ρ^jΙB)2。并類似式(20)、(21)計(jì)算調(diào)整后殘差的相關(guān)系數(shù)λ^PB和λ^IB。在保持主對(duì)角線最近評(píng)估日歷年賠款數(shù)據(jù)不變的假設(shè)下,應(yīng)用MCL方法,后續(xù)處理與SMCL方法1的步驟④、⑤、⑥完全相同。(2)兩種思路的比較。第一,抽樣方法側(cè)重點(diǎn)不同。SMCL方法1是基于原始數(shù)據(jù)的抽樣方法,考慮了Mack模型中不同事故年i和k?{Ρi,j}和{Ρk,j}?{Ιi,j}和{Ιk,j}相互獨(dú)立的假設(shè),對(duì)兩類增量賠款數(shù)據(jù)的調(diào)整后殘差進(jìn)行Bootstrap再抽樣。SMCL方法2是基于模型參數(shù)的抽樣方法,考慮了Mack模型和MCL方法擴(kuò)展假設(shè)中進(jìn)展因子和比率的均值、方差假設(shè),對(duì)模型參數(shù)的調(diào)整后殘差進(jìn)行Bootstrap再抽樣。第二,(P/I)比率和(I/P)比率的殘差的相關(guān)性處理方式不同。在按照SMCL方法1進(jìn)行Bootstrap再抽樣時(shí),不需要考慮這兩類殘差之間的相關(guān)性。這是因?yàn)榘凑者@種方法產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)后,這種相關(guān)性在后續(xù)的MCL方法中得以體現(xiàn)。在按照SMCL方法2進(jìn)行Bootstrap再抽樣時(shí),需要對(duì)四類調(diào)整后的Pearson殘差進(jìn)行再抽樣。在這四類殘差中,(P/I)比率的殘差和(I/P)比率的殘差之間不是獨(dú)立的,存在負(fù)的相關(guān)性。在進(jìn)行Bootstrap再抽樣的過(guò)程中,要考慮這種相關(guān)性。一種直觀的處理方法是綁定這兩個(gè)流量三角形每個(gè)單元格的對(duì)應(yīng)元素,組成有序元素組,然后成對(duì)地抽取隨機(jī)數(shù)。第三,上三角模擬數(shù)據(jù)不同。由于抽樣方法不同,SMCL方法1模擬的是累計(jì)已決、已報(bào)案賠款流量三角形數(shù)據(jù),SMCL方法2模擬的是MCL方法中進(jìn)展因子和比率參數(shù)的流量三角形數(shù)據(jù)。第四,預(yù)測(cè)均方誤差的估計(jì)?；贐ootstrap方法的SMCL方法模擬預(yù)測(cè)分布的過(guò)程中,同時(shí)也可以得到MSEP。其中,參數(shù)誤差就是B次Bootstrap模擬的未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)值的樣本方差。過(guò)程方差通過(guò)從下三角正態(tài)分布的假設(shè)中抽取隨機(jī)數(shù)得以體現(xiàn)。以已決賠款為例,事故年i的未決賠款準(zhǔn)備金的過(guò)程方差7為B次模擬得到的估計(jì)量(Ρ^i,nB)2∑j=n-i+1n-1(σ^j→j+1Ρ)2B/(f^′j→j+1ΡB)2Ρ^i,jB的樣本均值,所有事故年未決賠款準(zhǔn)備金總額的過(guò)程方差就是所有事故年估計(jì)量之和的樣本均值?？傊?與MCL方法相比,這兩種SMCL方法各有特色,本文實(shí)證分析部分分別給出了MCL方法、兩種SMCL方法得到的MSEP、預(yù)測(cè)分布以及相關(guān)的分布特征,并對(duì)其進(jìn)行了比較,希望能為保險(xiǎn)公司精算人員學(xué)習(xí)和使用隨機(jī)性準(zhǔn)備金評(píng)估方法提供理論基礎(chǔ)。2.bootstud方法是模擬中的合理處理(1)殘差參數(shù)估計(jì)時(shí)組合SMCL方法1進(jìn)行Bootstrap模擬時(shí),是對(duì)調(diào)整以后的殘差進(jìn)行再抽樣。這是因?yàn)槔碚撋蠘?biāo)準(zhǔn)化后殘差的均值應(yīng)為0,方差應(yīng)為1。但是實(shí)際中,我們已經(jīng)證明殘差的均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為n/(n+2),此值小于1,因此需要對(duì)殘差乘以因子(n+2)/n加以調(diào)整。這樣的調(diào)整使得在均值保持不變的情況下,方差變?yōu)?。SMCL方法2進(jìn)行Bootstrap模擬時(shí),如對(duì)殘差進(jìn)行再抽樣,未考慮被估計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù),將低估參數(shù)誤差。為修正估計(jì)偏差,本文通過(guò)對(duì)每列殘差乘以相應(yīng)的因子(n-j)/(n-j-1)加以調(diào)整。類似地,這樣的調(diào)整使得在均值保持不變的情況下,方差接近于1。(2)基于增量數(shù)據(jù)的殘差建模從SMCL方法1構(gòu)造的殘差可知,進(jìn)展年n只有一個(gè)數(shù)據(jù),其標(biāo)準(zhǔn)差為0,無(wú)法計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差和模擬后的增量數(shù)據(jù)。鑒于流量三角形中所有殘差是獨(dú)立同分布的,本文假設(shè)上端點(diǎn)也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。SMCL方法2在對(duì)Pearson殘差進(jìn)行調(diào)整時(shí),無(wú)法計(jì)算上三角進(jìn)展年n-1、n的調(diào)整后殘差,類似地,本文假設(shè)這三個(gè)值也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。(3)smcl方法的再抽樣個(gè)數(shù)為了防止方差被低估,本文允許上端點(diǎn)也參與其他殘差樣本的Bootstrap再抽樣。因此,對(duì)于事故年和進(jìn)展年都為n的上三角數(shù)據(jù),SMCL方法1的再抽樣個(gè)數(shù)為(n+2)(n-1)/2;SMCL方法2中進(jìn)展因子上三角數(shù)據(jù)的再抽樣個(gè)數(shù)為(n+1)(n-2)/2,比率上三角數(shù)據(jù)的再抽樣個(gè)數(shù)為(n+3)(n-2)/2。(4)單元編碼函數(shù)如果兩種方法模擬的i,jB和i,jB為負(fù)值,而方差不能為負(fù),那么從正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù)就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。以累計(jì)已決賠款數(shù)據(jù)為例,本文對(duì)模擬出的下三角累計(jì)已決賠款的每個(gè)單元定義了如下符號(hào)函數(shù):這樣就可先從均值為f^′j→j+1ΡB|Ρ^i,jB|,方差為(σ^j→j+1Ρ)2B|Ρ^i,jB|的正態(tài)分布中抽取隨機(jī)數(shù),最后再乘以sign(i,jB)。對(duì)累計(jì)已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)可類似處理。三、mcl方法估計(jì)的未決賬款惡意程序msep本文實(shí)證分析部分中的數(shù)據(jù)來(lái)源于Quarg和Mack(2004),如表1、表2所示。在準(zhǔn)備金評(píng)估的相關(guān)文獻(xiàn)中,這些數(shù)據(jù)被經(jīng)常引用,這里也是為了更好地與MCL方法的結(jié)果進(jìn)行比較。另外,本文假設(shè)已發(fā)生已報(bào)案未決賠款保持不變,即等于評(píng)估日歷年累計(jì)已報(bào)案賠款減去累計(jì)已決賠款,其目的是為了避免模擬得到的兩類數(shù)據(jù)之間的相互影響。按照第二部分的思路,表3給出了MCL方法中最終損失、未決賠款準(zhǔn)備金和IBNR的估計(jì)。表4和表5分別給出了在Mack模型假設(shè)下,MCL方法基于已決、已報(bào)案賠款數(shù)據(jù)得到的MSEP,兩表中第二列給出的是Mack模型估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金。為了更好地與SMCL方法的結(jié)果進(jìn)行比較,也可以將第二列數(shù)據(jù)替換成MCL方法估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金,這里采用Mack模型的結(jié)果,更嚴(yán)格地講應(yīng)是Mack模型的MSEP。表6和表7分別給出了SMCL方法1基于已決、已報(bào)案數(shù)據(jù)得到的MSEP,表8和表9分別給出了SMCL方法2基于已決、已報(bào)案數(shù)據(jù)得到的MSEP。由于每次模擬得到的未決賠款準(zhǔn)備金的估計(jì)值與MCL方法的估計(jì)值差別不大,這四個(gè)表中第二列給出的是MCL方法估計(jì)的未決賠款準(zhǔn)備金。圖1和圖2分別給出了SMCL方法1、方法2得到的未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布,其對(duì)應(yīng)的分布特征如表10所示。四、完成結(jié)論和方法建議1.未決收款保證金的預(yù)測(cè)分布(1)估計(jì)結(jié)果的一致性。表6～表9與表4、表5相比,可以看出兩種基于Bootstrap方法的SMCL方法得到的參數(shù)誤差、過(guò)程方差、MSEP與Mack模型的結(jié)果都很接近,從某種程度上體現(xiàn)了這兩種SMCL方法具有一致性。(2)與表4、表5類似,隨著事故年已有信息的減少,表6～表9中的MSEP也相應(yīng)增大,這是符合實(shí)際的。因?yàn)橐延行畔⒃缴?估計(jì)誤差就越大,精度就越低。(3)Bootstrap方法的基本思路簡(jiǎn)單、操作性強(qiáng)、可靠有效。Bootstrap方法比較容易理解,在計(jì)算機(jī)上易于編程實(shí)現(xiàn)。(4)本文只給出了兩種SMCL方法模擬的未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布,如圖1和圖2所示。由于SMCL方法1每次模擬的評(píng)估日歷年賠款數(shù)據(jù)都不同,所以最終損失和未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)分布的圖形形狀存在差異,而SMCL方法2假設(shè)評(píng)估日歷年賠款數(shù)據(jù)不變,故兩類分布的圖形形狀相同。表10中SMCL方法1模擬的最終損失和未決賠款準(zhǔn)備金的標(biāo)準(zhǔn)差不同,