2.6正多邊形與圓（八大題型）（ 原卷版）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.6正多邊形與圓知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的相關(guān)概念1、正多邊形的概念：名稱定義正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的外接圓一般地，用量角器把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多形的外接圓.中心正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.邊心距內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.中心角正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.◆2、正多邊形的判定：一個(gè)多邊形必須同時(shí)滿足各邊相等，各角也相等才能判定其是正多邊形，兩個(gè)條件缺一不可，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各邊不一定相等，因此它們不是正多邊形.◆3、正多邊形的對(duì)稱性：正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的有關(guān)計(jì)算名稱公式內(nèi)角(n-2)中心角360°外角360°正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距rR周長CC=na面積SS=12ar·n=12知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三正多邊形的畫法◆1、正多邊形的畫法：把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.◆2、等分圓周的方法：（1）用量角器畫一個(gè)等于360°n的圓心角，它對(duì)著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，得到圓的n個(gè)等分點(diǎn)（2）順次連接各等分點(diǎn).題型一正多邊的相關(guān)概念題型一正多邊的相關(guān)概念【例題1】下列命題正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．正多邊形一定是中心對(duì)稱圖形 C．各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑解題技巧提煉根據(jù)正多邊形的相關(guān)概念進(jìn)行判斷即可，正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形.【變式1-1】下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．正多邊形的外接圓的圓心，就是它的中心 B．正多邊形的外接圓的半徑，就是它的半徑 C．正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，就是它的邊心距 D．正多邊形的外接圓的圓心角，就是它的中心角【變式1-2】下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為720° C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓 D．不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【變式1-3】以下說法正確的是（）A．每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形 B．正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù) C．正n邊形的對(duì)稱軸不一定有n條 D．正多邊形一定既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形【變式1-4】正多邊形的一邊所對(duì)的中心角與它的一個(gè)外角的關(guān)系是A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互余或互補(bǔ)題型二正多邊形與圓中求角度題型二正多邊形與圓中求角度【例題2】一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于30°，那么這個(gè)正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對(duì)的圓心角為（）A．15° B．60° C．45° D．30°解題技巧提煉1、正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=(n-2)·2、正多邊形的中心角=3603、正多邊形的每個(gè)外角=360°【變式2-1】（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【變式2-2】（2023?太原二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F是DE上的動(dòng)點(diǎn)，則∠AFC的度數(shù)為（）A．60° B．72° C．144° D．隨著點(diǎn)F的變化而變化【變式2-3】（2023?荷塘區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A為圓心作⊙A分別與邊AE、AB交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P是劣弧FG上一點(diǎn)，連接PF、PG，則∠FPG的度數(shù)為（）?A．116° B．120° C．124° D．126°【變式2-4】（2022春?株洲期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【變式2-5】（2023?山西模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線與AF的延長線相交于點(diǎn)G．（1）試判斷AC與DG的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求∠G的度數(shù)．題型三正多邊形與圓中求線段長題型三正多邊形與圓中求線段長【例題3】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．5解題技巧提煉主要考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握它們的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A．3 B．6 C．3 D．23【變式3-2】（2023?玉屏縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（）A．2 B．4 C．4.5 D．5【變式3-3】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，則正方形ABCD的邊長為（）A．7 B．52 C．10 D．【變式3-4】（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-5】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．題型四正多邊形與圓中求半徑題型四正多邊形與圓中求半徑【例題4】（2022秋?靈寶市期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于⊙O，則⊙O的半徑是（）A．2 B．2 C．22 D．4解題技巧提煉正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r,根據(jù)勾股定理得到它們之間的關(guān)系式：R2=r2【變式4-1】（2023?武功縣模擬）如果一個(gè)正六邊形的邊長等于2cm，那么這個(gè)正六邊形的半徑等于cm．【變式4-2】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學(xué)，多邊形在生活中的應(yīng)用更是不勝枚舉．如圖是一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則這個(gè)正六邊形的半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2cm，23cm B．4cm，43cm C．4cm，23cm 【變式4-3】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD＝52，求⊙O的半徑．題型五正多邊形與圓中求周長題型五正多邊形與圓中求周長【例題5】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于33，則⊙O的周長等于解題技巧提煉正多邊形的周長公式：C=na，圓的周長公式C=2πr,根據(jù)正多邊的性質(zhì)求解即可.【變式5-1】（2022秋?同心縣期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長為2cm，則正六形ABCDEF的周長為cm．【變式5-2】（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為3，則它的周長＝．【變式5-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．題型六正多邊形與圓中求面積題型六正多邊形與圓中求面積【例題6】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是23，則該六邊形的面積是解題技巧提煉正多邊形中求面積用到面積公式S=12ar·n=12Cr，【變式6-1】（2023?張家口四模）如圖，點(diǎn)O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對(duì)角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則△GEF的面積為（）A．23 B．33 C．833 D【變式6-2】圓內(nèi)接正方形的面積為a，則圓的面積為（）A．πa2 B．2πa C．πa22 D【變式6-3】（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）?A．π B．2π C．24 D．題型七正多邊形與圓中的證明題型七正多邊形與圓中的證明【例題7】（2022秋?定西期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝解題技巧提煉本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握?qǐng)A心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?贛州期中）如圖，點(diǎn)M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC，CD上，BM＝CN，連接AM，BN相交于H．（1）求證：△ABM≌△BCN；（2）求∠AHB的度數(shù)．【變式7-2】（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點(diǎn)E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點(diǎn)C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點(diǎn)C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．【變式7-3】（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點(diǎn)E．（1）求證：PA＝PD；（2）當(dāng)AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：AE=題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題【例題8】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)，BM＝CN，BN、AM相交于點(diǎn)Q，求∠BQM的度數(shù)；（2）當(dāng)（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增加，分別變?yōu)檎叫蜛BCD（如圖2）、正五邊形ABCDE（如圖3）、正六邊形ABCDEF（如圖4）…，“點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)”變?yōu)辄c(diǎn)N是CD上一點(diǎn)，其余條件不變，分別確定∠BQM的度數(shù)，并直接將結(jié)論填入下表：正多邊形正方形正五邊形正六邊形…正n邊形∠BQM的度數(shù)…解題技巧提煉本題考查正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；（