專題07 弧長、扇形面積和圓錐側(cè)面積（解析版）

專題7弧長、扇形面積和圓錐側(cè)面積知識梳理：1、弧長公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)2、扇形面積公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：n°的圓心角所對的扇形面積公式：3、圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.題型一：求弧長【例1】如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則的長是（結(jié)果保留π）．【答案】π．【解析】解：連接OA、OB．∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的長＝＝π，【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB為直徑的⊙O交邊BC，AC于D，E兩點(diǎn)，AC＝2，則的長是．【答案】．【解析】解：連接OE，OD，∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠C＝＝65°，又∵OB＝OD，OA＝OE，∴∠B＝∠ODB＝65°，∠A＝∠OEA＝50°，∴∠BOD＝50°，∠AOE＝80°，∴∠DOE＝50°，由于半徑為1，∴的長是＝．【例3】如圖，AB是圓O的直徑，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，則弧BD的長為（）A．π B．4π C．2π D．45π【答案】A【解析】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，由弧長公式得，弧BD的長為＝π，【例4】如圖，⊙O的半徑為6，圓周角∠BAC＝40°，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：連OB，OC，如圖，∵∠BAC＝40°，∴∠BOC＝2∠BAC＝80°，∴的長＝＝，【例5】已知一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個(gè)扇形的弧長是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【答案】C【解析】解：根據(jù)弧長的公式l＝，得到：l＝＝4π，故選：C．【例6】如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半徑OA=18，將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長為______．【答案】【解析】解析：連接OD．根據(jù)折疊的性質(zhì)知，OB=DB．又∵OD=OB，∴OD=OB=DB，即△ODB是等邊三角形，∴∠DOB=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°，∴的長為．題型二：求扇形面積【例1】如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為（）dm2．A．4π B．16π C．4π D．8π【答案】A【解析】解：連接AB，則∠C＝90°，所以AB是圓的直徑，即AB＝4dm，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即2AC2＝（4）2，解得：AC＝BC＝4（dm），∴陰影部分的面積是＝4π（dm2）故選：A．【例2】如圖，一只羊被4米長的繩子拴在長為3米，寬為2米的長方形封閉圍墻的一個(gè)頂點(diǎn)上，則這頭羊活動范圍的最大面積是米2．【答案】．【解析】解：++＝（平方米）．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．2π【答案】B【解析】解：∵AB＝AC＝4，AB為直徑，∴∠B＝∠C＝30°，OA＝OB＝2，∴∠AOD＝2∠B＝60°，∴圖中陰影部分的面積＝＝π，【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，∴AC＝BC＝3，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝30°，在Rt△BCD中，CD＝BC?tan30°＝1，∴AD＝3﹣1＝2，∴S陰影部分＝S扇形ADE＝＝，故選：A．題型三：求圓心角和半徑【例1】已知扇形的面積為16π，半徑為6，則此扇形的圓心角為．【答案】160°【解析】解：設(shè)此扇形的圓心角為n°，由題意可得，＝16π，解得n＝160，故答案為：160°．【例2】在同一個(gè)圓中，扇形A，B，C面積之比為1：3：5，則最小扇形的圓心角度數(shù)（）A．40° B．100° C．120° D．150°【答案】A【解析】解：由扇形的面積越小，扇形的圓心角越小，得A的圓心角最?。幢壤峙?，得扇形A的圓心角為360°×＝40°，【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點(diǎn)，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：如圖，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴∠BOD＝2∠BAC＝60°，設(shè)⊙O的半徑為R，由于S陰影部分＝S扇形BOD＝，所以＝，所以R＝2，題型四：求圓錐的側(cè)面積或全面積【例1】某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為α，OA：OB=4:3，則圓錐的側(cè)面積是______平方米（結(jié)果保留π）．【答案】【解析】解析：∵AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為α，，∴，∴BO=6，∴AB=10，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：【例2】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4cm的半圓，則該圓錐的全面積是cm2．【答案】12π．【解析】解：側(cè)面積是：πr2＝×π×42＝8π（cm2），底面積＝π×22＝4π（cm2），故圓錐的全面積是：8π+4π＝12π（cm2），【例3】已知圓錐的底面半徑是2，母線長是3，則圓錐的側(cè)面積為．【答案】6π．【解析】解：該圓錐的側(cè)面積＝π×2×3＝6π．【例4】若圓錐的底面半徑為2cm，圓錐的母線長為7cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為cm2．【答案】14π【解析】解：底面半徑為2cm，則底面周長＝4πcm，側(cè)面面積＝×4π×7＝14πcm2．【例5】一個(gè)圓柱的高為3cm，側(cè)面積為12πcm2，則它的全面積是（）A．s＝30πcm2 B．s＝20πcm2 C．s＝24πcm2 D．s＝16πcm2【答案】B【解析】解：設(shè)圓柱的底面半徑為rcm．則有2πr?3＝12π，∴r＝2，∴圓柱的全面積＝2×π×22+12π＝20π（cm2），故選：B．【例6】如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，圓錐的母線長為＝2，所以圓錐的表面積＝π×12+×2π×1×2＝3π．故選：C．【例7】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是______．【答案】【解析】解析：由三視圖可知此幾何體為圓錐∴d=4，h=3∴圓錐的母線長為∴圓錐的側(cè)面積為題型五：求圓錐底面圓半徑【例1】把半徑為12且圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為．【答案】5【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝5，故答案為：5．【例2】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是cm．【答案】2【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，由題意得：2πr＝，解得：r＝2，∴這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為2cm，故答案為：2．【例3】一圓錐的母線長為6cm，它的側(cè)面展開圖扇形的面積為12π，則這個(gè)圓錐的底面半徑r為cm．【答案】2【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得×2πr×6＝12π，解得r＝2，即這個(gè)圓錐底面圓的半徑是2cm．故答案為：2．【例4】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是cm．【答案】2【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，由題意得：2πr＝，解得：r＝2，∴這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為2cm，故答案為：2．【例5】如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的周長為m．【答案】【解析】解：如圖，連接OA，OB，OC，則OB＝OA＝OC＝1m，因此陰影扇形的半徑為1m，圓心角的度數(shù)為120°，則扇形的弧長為：m，而扇形的弧長相當(dāng)于圍成圓錐的底面周長，因此有：2πr＝，解得，r＝（m），∴圓的周長為2πr＝π（cm），故答案為：π．題型六：求圓錐的高、母線【例1】如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若扇形的半徑R＝6cm，扇形的圓心角θ＝120°，該圓錐的高為cm．【答案】4．【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝2，所以該圓錐的高h(yuǎn)＝＝4．【例2】一個(gè)圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為64π，則該圓柱的母線長為（）A．8 B．16 C．8π D．16π【答案】A【解析】解：由圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的母線長＝6π÷（2π×4）＝8．故選：A．【例3】已知圓柱的底面半徑為3cm，軸截面面積為24cm2，則圓柱的母線長為．【答案】4【解析】解：圓柱底面直徑是3×2＝6（cm）24÷6＝4cm答：圓柱的母線長是4cm，故答案為：4cm．【例4】如果把一個(gè)圓柱體橡皮泥的一半捏成與圓柱底面積相等的圓錐，則這個(gè)圓錐的高與圓柱的高的比為．【答案】3：2．【解析】解：設(shè)圓柱的高為a，圓錐的高為b，圓柱底面積為S，根據(jù)題意得S?a＝?S?b，所以b：a＝3：2．故答案為：3：2．【例5】如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）A．3 B．6 C．3 D．【答案】D【解析】解：過點(diǎn)B作BH⊥AC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BAF＝＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝30°，AH＝HC，∴AH＝AB?cos∠BAC＝3，∴AC＝6，同理，∠FAE＝30°，∴∠CAE＝60°，∴的長為：＝2π，∴扇形ACE圍成的圓錐的底面半徑為：＝，∴圓錐的高為：＝，故選：D．【例6】如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個(gè)扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），這個(gè)圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【答案】B【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝解得r＝9，所以圓錐的高＝＝12（cm）．故選：B．【例7】．用一個(gè)半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，圓錐的底面圓的半徑為3．則該圓錐的母線長為（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】解：設(shè)該圓錐的母線長為l，根據(jù)題意得2π×3＝，解得l＝6，即該圓錐的母線長為6．故選：B．【例8】如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無底紙帽，則這個(gè)紙帽的高是cm．【答案】4【解析】解：∵圓心角為120°，半徑為6cm的扇形的弧長＝＝4π，∴圓錐的底面圓的周長為4π，∴圓錐的底面圓的半徑為2，∴這個(gè)紙帽的高＝＝4（cm）．故答案為4．題型七：求圓錐側(cè)面展開圖圓心角【例1】將一個(gè)半徑為4cm，母線長為10cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，所得到展開圖的圓心角是度．【答案】160°【解析】解：設(shè)扇形的圓心角為n°，∵將一個(gè)半徑為4cm，母線長為10cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，∴圓錐側(cè)面積公式為：S＝πrl＝π×4×10＝40πcm2，∴扇形面積為40π＝，解得：n＝144，∴側(cè)面展開圖的圓心角是144度．故答案為：144．【例2】某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐．他們制作的圓錐，母線長為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【答案】160°【解析】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是n°，2π×10＝，解得n＝120，即這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是120°，故答案為：120°．【例3】已知圓錐的底面直徑為4，母線長為6，則此圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．240° B．150° C．120° D．90°【答案】160°【解析】解：圓錐的底面周長＝4π，∴＝4π，解得n＝120°．【例4】如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長為10cm，底面半徑為3cm，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）A．108° B．120° C．144° D．150°【答案】160°【解析】解：設(shè)這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為n°，根據(jù)題意得2π×3＝，解得n＝108，即這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為108°．故選：A．題型八：求陰影部分面積【例1】如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的對應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是______．【答案】【解析】解析：連接OO′，BO′，∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等邊三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等邊三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴圖中陰影部分的面積=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）．【例2】如圖，兩個(gè)半徑相等的直角扇形的圓心C、E分別在對方的圓弧上，其中點(diǎn)C是的中點(diǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G，半徑BE、CD交于點(diǎn)H，若直角扇形的半徑為2cm，則圖中陰影部分的面積等于______cm2．【答案】【解析】解析：過點(diǎn)C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分別為M、N，則四邊形EMCN是矩形，∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，∴EC平分∠AEB，∴CM=CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，∴∠MCG=∠NCH，在△CMG與△CNH中，∠MCG=∠NCH，CM=CN，∠CMG=∠CNB=90°，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中間空白區(qū)域面積相當(dāng)于對角線是2的正方形面積，∴空白區(qū)域的面積為：，∴圖中陰影部分的面積=兩個(gè)扇形面積和﹣2個(gè)空白區(qū)域面積的和=．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．【答案】見解析【解析】解析：（1）連接OD∵OB=OD∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，∵DF是⊙O的切線∴DF⊥OD，∴DF⊥AC（2）連接OE∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°∴∠BAC=45°，∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半徑為4∴S扇形AOE=，S△AOE=8，∴S陰影=題型九：運(yùn)動路線問題【例1】矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A1B1C1D1時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長是______．【答案】【解析】解析：∵AB=4，AD=3，∴A′M=，頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長為：【例2】已知一個(gè)半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過的路線長是_____．【答案】米【解析】解析：有圖形可知，圓心先向前走O1O2的長度即圓周長的，然后沿著弧O2O3旋轉(zhuǎn)圓周長的，最后向右平移50米所以圓心總共走過的路程為圓周長的一半即半圓的弧加上50由已知的圓的半徑為2米設(shè)半圓形的弧長為l米則半圓形的弧長米故圓心O所經(jīng)過的路線長為米【例3】如圖，圓錐的底面半徑為5，母線長為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是______．【答案】【解析】解析：圓錐的底面周長，設(shè)側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為n．∴，解得n=90，圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：∴最短路程為：【例4】如圖有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長為6m的正△ABC．（1）求該圓錐形糧堆的側(cè)面積；（2）母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，小貓經(jīng)過的最短路程．（結(jié)果不取近似值）【答案】見解析【解析】解析：（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面積等于展開扇形的面積得：，解得n=180°．答：圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為180°．（2）根據(jù)第（1）中的結(jié)論，知：展開的半個(gè)側(cè)面的圓心角是90°，根據(jù)勾股定理得：．答：小貓經(jīng)過的最短路程是m．【例5】如圖，邊長為的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為的圓上，頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁逆時(shí)針方向作無滑動的滾動．當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為______．【答案】【解析】解析：設(shè)圓心為O，正方形ABCD第一次滾動至AMEF處，第二次滾動至HNGF處，連接AO、BO、AC、AE、FA∵AB=，AO=BO=∴AB=AO=BO∴△AOB是等邊三角形∴∠AOB=∠OAB=60°同理，△FAO是等邊三角形，∠FAB=2∠OAB=120°∴∠EAC=∠FAD=120°﹣90°=30°∠GFE=120°﹣90°=30°∵AD=AB=∴當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為【例6】如圖，在扇形紙片中，在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形在直線l上按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中無滑動），當(dāng)落在l上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．則點(diǎn)O所經(jīng)過的路線長為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：點(diǎn)O經(jīng)過的路線長===12π題型十：綜合性簡答題【例1】如圖，在中，，以為直徑的分別交線段、于點(diǎn)、，過點(diǎn)作，垂足為，線段、的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】見解析【解析】解析：（1）連接AD、OD，如下圖所示：∵AB是圓的直徑∴∵∴點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)∴OD為的中位線∴∵∴∴是的切線；（2）∵，，∴∵∴為邊長為4的等邊三角形∵∴∴∴．【例2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作圓．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求陰影部分面積．【答案】見解析【解析】解析：（1）證明：過O作OD⊥AB于D，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC，∵OA平分∠BAC，∴OD＝OC，∵OC為⊙O的半徑，∴OD為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；（2）∵OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴OB＝2OD，AC＝BC＝4，∵OC＝OD，BC＝12，∴BC＝3OC＝12，∴OD＝OC＝4，∵∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠COD＝120°，由（1）得：AB是⊙O的切線，OC⊥AC，∴AC為⊙O的切線，∴AD＝AC＝4，∴陰影部分面積＝△AOC的面積+△AOD的面積﹣扇形OCD的面積＝×4×4+×4×4﹣＝16﹣．【例3】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．波波決定研究一下圓．如圖，、是的兩條半徑，，C是半徑上一動點(diǎn)，連接并延長交于D，過點(diǎn)D作圓的切線交的延長線于E，已知．（1）求證：；（2）若，求長；（3）當(dāng)從增大到的過程中，求弦在圓內(nèi)掃過的面積．【答案】見解析【解析】解析：（1）證明：連接，如圖1所示：是的切線，，，，、是的兩條半徑，，，，，；（2），，，設(shè)，，，，，，即：，解得：，；（3）過點(diǎn)作交的延長線于，如圖2所示：當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)從增大到的過程中，在圓內(nèi)掃過的面積為：．課后作業(yè)：1．如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，OA＝3，則劣弧AB的長是（）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】B【解析】解：由題意可得，劣弧AB的長是：＝2π．故選：B．2．若扇形的弧長是5π，半徑是18，則該扇形的圓心角是（）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】A【解析】解：∵扇形的弧長，∴5π＝，∴n＝50，∴該扇形的圓心角是50°．故選：A．3．一個(gè)扇形半徑30cm，圓心角120°，用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【答案】B【解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝10，即圓錐底面半徑為10cm．故選：B．4．已知圓錐的底面半徑為2，母線長為4，則其側(cè)面積為（）A．4π B．6π C．8π D．16π【答案】C【解析】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×2×4÷2＝8π，故選：C．5．圓錐的截面是一個(gè)等邊三角形，則它的側(cè)面展開圖圓心角度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．180°【答案】D【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為R，∵它的軸截面是正三角形，∴R＝2r，∴2πr＝，解得n＝180°，故選：D．6．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝3cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為cm．【答案】9【解析】解：圓錐的底面周長＝2π×3＝6πcm，設(shè)圓錐的母線長為R，則：＝6π，解得R＝9．故答案為：9．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC邊所在的直線為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，求這個(gè)圓錐的側(cè)面積.【答案】65π【解析】解：∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，由勾股定理，得A