2022屆北京市二十高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.下列與Q耳JT的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

4

9

A.2*n+45°(*GZ)B.A?3600+O(A￡Z)

4

5n

C?*-360°-315°(*GZ)D.kn+—(AWZ)

4

2.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個

數(shù)，則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()

5.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計劃去A、8、。三個不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)

至少一人.其中甲必須去A社區(qū)，乙不去3社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.8B.7C.6D.5

6.甲、乙、丙、丁四人通過抓閹的方式選出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完閹后，甲說：“我沒抓到.”乙

說：“丙抓到了丙說：“丁抓到了”丁說：“我沒抓到.”已知他們四人中只有一人說了真話，根據(jù)他們的說法，可以斷定

值班的人是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知復(fù)數(shù)z滿足z?l+2i）=5（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.在區(qū)間［-3,3］上隨機(jī)取一個數(shù)x,使得=20成立的概率為等差數(shù)列｛”“｝的公差，且/+4=7,若％〉0,

則”的最小值為（）

A.8B.9C.10D.11

9.若數(shù)列｛4｝滿足弓=15且3ae=34-2,則使的人的值為（）

A.21B.22C.23D.24

10.已知命題.J與〉2,只一8〉0,那么一為（）

33

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx>2,x-8<0

33

C.3XO<2,XO-8<OD.VX<2,X-8<0

11.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于）'軸對稱的為（）

x____

A.fM-CT—j-B./(%)=x/7+2x+V7-2x,xe[-l,2]

C./(x)=sin8xD./(x)=,+：一.

X

12.一個幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個邊長為。的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,

則這個幾何體的表面積是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃x）=ain（2x）_e§有且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

14.若隨機(jī)變量J的分布列如表所示，則E（J）=，。（紇-1）=

4-101

J_

Paa2

4

15.某校初三年級共有500名女生，為了了解初三女生1分鐘“仰臥起坐”項(xiàng)目訓(xùn)練情況，統(tǒng)計了所有女生1分鐘“仰臥

起坐”測試數(shù)據(jù)（單位：個），并繪制了如下頻率分布直方圖，貝！11分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生有

個.

16.已知函數(shù)/（x）=-x3+x+a,xe[J_,e]與g（x）=3/nx-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則”的取值范圍為

e

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=4,%是生與%的等比中項(xiàng).

（1）求s“；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足4=。2，%=4+3x2%,求數(shù)列｛敦｝的通項(xiàng)公式.

2

18.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x-a|+|r+-|(a>0).

a

2

(1)若不等式/(x)-|x+—的解集為｛x降1｝,求實(shí)數(shù)a的值：

a

(2)證明：/(x)>2^.

19.(12分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行

合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示：

試銷價格

456789

X(元)

產(chǎn)品銷量y

898382797467

(件)

已知變量國)’且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲亍=4x+53；乙

]=-4x+105；丙]=-4.6x+104,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.

(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確？

(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過1,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中

隨機(jī)抽取3個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為2的概率.

,,1

20.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”是a,與一的等差中項(xiàng).

⑴證明：代｝為等差數(shù)列，并求s.；

(2)設(shè)——數(shù)列抄“｝的前〃項(xiàng)和為7；,求滿足1,25的最小正整數(shù)”的值.

21.(12分)如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面ABC。為菱形，如J_底面NR4O=60。，AB=PA=49E是

出的中點(diǎn)，AC,BD交于點(diǎn)0.

B

(1)求證：0E〃平面P8C：

(2)求三棱錐E-尸8。的體積.

22.(10分)如圖，在直三棱柱ABC—AMG中，C4=CB,點(diǎn)尸，。分別為人與，CC的中點(diǎn).求證:

(1)「。//平面48。；

(2)PQL平面

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.

【詳解】

與空的終邊相同的角可以寫成2妹+等(Jtez),但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.

44

故答案為C

【點(diǎn)睛】

(1)本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與a終邊相同的角

夕=H360°+a其中左ez.

2.C

【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，

由此可求解出對應(yīng)的概率.

【詳解】

所有的情況數(shù)有：C：)=120種，

3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：

(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9),(1,4,7),(3,6,9),(1,3,5),(3,5,7),(5,7,9),(1,5,9),共1()種，

所以目標(biāo)事件的概率P=g=《.

12012

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行

分析；當(dāng)情況數(shù)較多時，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.

3.A

【解析】

根據(jù)/。)>0排除C,D,利用極限思想進(jìn)行排除即可.

【詳解】

解：函數(shù)的定義域?yàn)椤?x7。｝,/(x)>0恒成立，排除C,D,

2x

Xe

當(dāng)x〉0時，當(dāng)x-?0，/(x)-0,排除8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，利用函數(shù)值的符號以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

【詳解】

2+i(2+i)(l+i)2+3i+/l+3i_13.

1^7-(l-z)(l+z)-2~2~221

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計算題.

5.B

【解析】

根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，?。〣（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）：共7種，選B.

6.A

【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理，即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，假設(shè)甲：我沒有抓到是真的，乙：丙抓到了，則丙：丁抓到了是假的，

T：我沒有抓到就是真的，與他們四人中只有一個人抓到是矛盾的；

假設(shè)甲：我沒有抓到是假的，那么丁：我沒有抓到就是真的，

乙：丙抓到了，丙：丁抓到了是假的，成立，

所以可以斷定值班人是甲.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用，其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與分析

判斷能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，求得z,再求其對應(yīng)點(diǎn)即可判斷.

【詳解】

==故其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。，―2）.

其位于第四象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，屬綜合基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的x的范圍區(qū)間長度，利用幾何概型公式可得概

率，即等差數(shù)列的公差，利用條件%+4=2/，求得的=-2,從而求得為=-￡+],解不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意，本題符合幾何概型，區(qū)間[-3,3]長度為6,

使得營20成立的x的范圍為(1,3],區(qū)間長度為2,

3-r21

故使得—>0成立的概率為-=-=d,

x-\63

110n

又為+4=T=2%,>,.<a=-2,：.a=-2+(H-4)x—=--------F—

4lt333

令4>0,則有〃>10,故〃的最小值為11,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題，涉及到的知識點(diǎn)有長度型幾何概型概率公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,

屬于基礎(chǔ)題目.

9.C

【解析】

222247

因?yàn)?用一%=—：，所以他“｝是等差數(shù)列，且公差4=15,貝!]a.=15—：(〃—1)=一:〃+羨，所

以由題設(shè)％?%+i<0可得(—：2〃+4?7)(—22〃+4?5)<0=與45<〃<4?7,貝!J〃=23,應(yīng)選答案C.

JJJJ4乙

10.B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題P：玉0>2,-8>0,那么r7是Vx>2,》3一840.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)，用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.

【詳解】

圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)；

4中，xeR,/(r)='d；+]=—/(x),故/。)=君工為奇函數(shù);

B中，/(%)=j7+2x+V7-2x的定義域?yàn)閇-1,2],

不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù);

C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，/(x)=sin8x為奇函數(shù);

。中，xeR且/(-幻='：，=/(幻,故/(為=巴勺為偶函數(shù).

(-X)廠

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法：

(1)定義法：對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個x都有/(x)=-/(-x),則函數(shù)/(x)是奇函數(shù)；都有/(x)弓(X),

則函數(shù)J'。)是偶函數(shù)

(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)()'軸)對稱.

12.C

【解析】

畫出直觀圖，由球的表面積公式求解即可

【詳解】

這個幾何體的直觀圖如圖所示，它是由一個正方體中挖掉1個球而形成的，所以它的表面積為

S=3a2+3Y-空=(6一&a2.

(4)8I4；

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（7,0）U{e}

【解析】

2x2x

當(dāng)時，轉(zhuǎn)化條件得q=e?有唯一實(shí)數(shù)根,令(x)=_e二,通過求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即

2In(2x)-ln(2x)

可得解.

【詳解】

1I1

當(dāng)x=5時，/(%)=_/工0,故x=5不是函數(shù)的零點(diǎn);

2x

當(dāng)X#!時，/（%）=0即,

2In（2%）

2生1—

-ee-ln（2x）---ee

[in（2尤）]2[in（2”了

..當(dāng)時，g'(x)<。；當(dāng)時，g〈X)>0,

g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(o,g),(g，3增區(qū)間為仁,+8

則要使a=g(x)有唯一實(shí)數(shù)根，則ae(-oo,0)U{e}.

故答案為：(-°o,0)U{e}.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

111

14.——

44

【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計算均值，最后求得。(自)的值，由方差的性質(zhì)計算。(24-1)的值即可.

【詳解】

131

由題意可知a+—+k=1,解得a=一一(舍去)或。=一.

422

則E⑷=_lxg+0x；+lx；=_；,

2\2

貝！JOq)=[-1+；、1111

xl+14X—=—>

724；44J416

由方差的計算性質(zhì)得D儂—1)=4。(4)=?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計算公式，方差的計算公式，方差的性質(zhì)等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計

算求解能力.

15.325

【解析】

根據(jù)數(shù)據(jù)先求出x=0.02，再求出1分鐘至少能做到30個仰臥起坐的初三女生人數(shù)即可.

【詳解】

解：；(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=l,

x=0.02.

則1分鐘至少能做到3()個仰臥起坐的初三女生人數(shù)為[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案為：325.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題.

16.[2,e3-2]

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的等價命題是方程-V+x+a=-3/〃x+x+l在區(qū)間已⑷上有解，化簡方程

aT=d-3歷x在區(qū)間iLe］上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(xQ-V+x+adwxWe)與g(x)=31nx—x—1的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn),

e

則方程-d+l+〃=-3。氏+尤+1在區(qū)間上有解，

e

即方程a-\=x3-3lnx在區(qū)間A,e］上有解，

e

設(shè)函數(shù)g(x)=/一3M:,其導(dǎo)數(shù)g\x)=3/=3d),

xx

又由可得：當(dāng),<x<l時，g'(x)<O,g(x)為減函數(shù)，

ee

當(dāng)14xWe時，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=V_3/〃x有最小值且⑴=1,

又由g(2)=e+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(3<g(e),

eee

故函數(shù)8(%)=/-3歷r有最大值g(e)="-3,

故函數(shù)g(x)=/-3而在區(qū)間，,e］上的值域?yàn)檎?3］；

若方程a+l=d-3配t在區(qū)間七,e］上有解，

e

必有l(wèi)?a-lWe3_3,貝!!有2Wa〈e3_2，

即"的取值范圍是［2^3-2］；

故答案為：［243—2］；

【點(diǎn)睛】

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題，函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程

/(%)=0的根,在研究方程的有關(guān)問題時，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

,,+

17.(1)“-十3〃；(2)A=3X2'-9.

2

【解析】

(1)根據(jù)題意，建立首項(xiàng)和公差的方程組，通過基本量即可寫出前“項(xiàng)和；

(2)由(1)中所求，結(jié)合累加法求得勿.

【詳解】

4+21=4fa.+2J=4,

⑴由題意可得/己/、(、即,

(4+4d)=(4+d)(4+10d)[2d=a^d.

4=2

又因?yàn)閐wO,所以<,,所以4=〃+1.

a=1

_〃(2+〃+1)_rr+3〃

==

"22

(2)由條件及(1)可得優(yōu)=%=3.

由已知得心「勿=3x2"+|,々一%=3x2"(〃22)

所以2=(2一%)+(%-2.2)+…+(偽一偽)+偽

=3(2"+2'I+2"-2+L+22)+3=3x2,,+l-9(n>2).

又仇=3滿足上式，

所以勿=3x2"-9

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和的基本量的求解，涉及利用累加法求通項(xiàng)公式，屬綜合基礎(chǔ)題.

18.(1)a=l；(2)見解析

【解析】

(1)由題意可得|x-。佇4丫，分類討論去掉絕對值，分別求得x的范圍即可求出”的值.(2)由條件利用絕對值三角不

等式，基本不等式證得/(x)>2,/2..

【詳解】

2

(1)由/(x)-|x+—|>4x,可得|x-a|%x,(a>0),

a

當(dāng)x加時，x-a>4x,解得工<一4，

3

這與XNQ>0矛盾，故不成立，

當(dāng)xVa時，a-x>4x,解得％

又不等式的解集是{X降1},故三=1，解得。=1.

222

(2)證明：f(x)=|x-a|+|x+—|>\x-a-(x+—)|=|a+—Va>0,

aaa

2?I2-

.\la+-l=a+->2.a--=2&,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時取等號，

aa\a

故f(X)>2y[2-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查絕對值三角不等式，基本不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)

題.

9

19.(1)乙同學(xué)正確；(2)—.

20

【解析】

(1)根據(jù)變量乂)，且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)(嚏,亍)，判斷出乙正確.

(2)由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)，計算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，由此利用古典概型概率計算公式，求得

所求概率.

【詳解】

(1)已知變量x，)’具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，

?.?[=6.5,5=79,代入兩個回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，

故回歸方程為：亍=-4x+105

(2)由(1)得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

021212

由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為3.

用列舉法可知，從6個不同數(shù)據(jù)里抽出3個不同數(shù)據(jù)的方法有20種.

從符合條件的3個不同數(shù)據(jù)中抽出2個，還要在不符合條件的3個不同數(shù)據(jù)中抽出1個的方法有3x3=9種.

9

故所求概率為P=二

20

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.

20.(1)見解析，S“=&(2)最小正整數(shù)〃的值為35.

【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知2s當(dāng)2時，得2S“=S,,_S,i+1,整理后可得從而證

a

n—1

明｛5；｝為等差數(shù)列，繼而可求S“.

(2)2=耳土蘇=而1一冊，則可求出＜=而萬—1,令丁^工1一125,即可求出〃的取值范圍，進(jìn)而

求出最小值.

【詳解】

解析：(D由題意可得2s“=4+，,當(dāng)〃=1時，2S,=?,+—,.?.如=1,q=l,

當(dāng)〃22時，25,,=5?-S?_1+-整理可得火-s3=1,

.??｛S；｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，.?.S；=S；+(〃—l)=〃，s“=5.

(2)由(1)可得7==y]n+\-4n,

5+1+>/〃

Tn=>/2—A/I+A/3—V2H1■y-+