2022屆沖刺數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必備分項(xiàng)解析13

2022屆新高考復(fù)習(xí)必備數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專題13.數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(解答題)

n+,+,

34.(2021?浙江)己知數(shù)列｛4｝,但｝中，4=1，4=2,ah+1=an+bn+2(-l),ba+l=a?+b?+(-l)",nwN.

(I)證明｛%+勿-(-1)"｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)%flogzd，求數(shù)列｛5｝的前2”項(xiàng)和52”.

2+l

【答案】(I)證明見解析，?n=2"+(-ir；(II)S2n=(2n-D2"+M+2.

【分析】

(I)根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；

(II)利用分組求和的方法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(I)...1=氏+么+2(—1嚴(yán),%=/+4+(一1嚴(yán),

二%+%=2(。,,+2)+3(-1產(chǎn)

+,n

?,.+>+b?+l-(-1)"=2(a?+b?-(-l)),且q+〃-(-l)=4

所以憶+2-(T)”｝是等比數(shù)列.

?.?4+自一(-1)=4,A??+^?-(-1)"=2n+1,即?！?a=2"+’+(-1)"

+,n+,n+1

又4向=an+hn+2(-1)",:.an+x=2+(-l),

又4=1,故％=2"+(-1尸,匕=2".

(II)因?yàn)閏"="2"+(-l)"〃,

t己=1x2+2x22+3x2'+…+2〃x2?”

則25“=1X22+2X23+3X24+3+2〃X22"|

兩式相減，得-%=2+22+―+22"-2〃?2"T=2(.2")_2〃.2"+I

1-2

2B+l

7；n=(2n-l)2+2.

222

?設(shè)A/2?=(-1)'-1+(-1)?2+■??+(-1)"-'?(2?-1)+(-1)"-2n=?,

所以S2“=(2〃-l)22*'+〃+2.

35.(2021?浙江高三其他模擬)已知等比數(shù)列｛《,｝的公比4>1,且4+。3+%=42,%+9是%%的等差

2"

中項(xiàng).數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式包=忑不五;p

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)證明：々+偽+…+包〈后訂二1,〃wN".

【答案】(I)。"=2"；(II)證明見解析.

【分析】

(I)由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得為=8,進(jìn)而得到4+生=34,進(jìn)一步求得公比4,由此即可得解；

(II)化簡數(shù)列｛2｝,由此即可得證.

【詳解】

(I)由%+9是％,%的等差中項(xiàng)得4+%=2%+18,

所以4+%+6=3%+18=42,

解得〃3=8,

Q1

由q+q=34,得F+的2=34,解得=4或d=:，

q4

因?yàn)?>1，所以4=2,

所以勺=2”；

T

(II)證明：由(I)可得2~//,幾eN"，

也-1+也+1-1

.b_2〃“〃“一]_”“+]_1)_2”—I—[%一1)

Q-—1+Ja“+i〃-17%一。"〃一《山

T

2-2"

2322,,+,,,

b、+b2+...4-^=f>/2-l-l)4-(5/2-2-V2-l)4----+(V2-l-V2-l)

=V2n+,-l-l<^2H+,-l

36.(2021?浙江高三月考)己知數(shù)列｛q｝,｛〃｝滿足：q=l,=2/1+1,記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”,

b飽々Lb.=2M.

(I)求％與",；

(II)求證：｝+衿｝+L+￡<4.

a瓦byhn

【答案】(I)a?=n,2=2"；(II)證明見解析.

【分析】

(I)由已知湊配出數(shù)列5“一列是常數(shù)列,從而易得其通項(xiàng)公式,求出凡后可得S”,利用相除的求得或;

(II)求出口，用錯(cuò)位相減法求得和1+^+｝+L+少，需兩次運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，再結(jié)合不等式的

h

?ab2bybn

性質(zhì)可證明.

【詳解】

(I)解:由4=1,an+l+an=2n+l

=a“+i-(〃+1)="(??-?)=(-1)"(4T)=0得％="，

所以s.二駕1

s

又岫也3bn=2",所以伉=2"=2,

b一岫力山b,「2黑一品一,=2"

當(dāng)"22時(shí),

"4她L%

上式對(duì)〃=1也成立，所以d=2".

(H)解：由(I)得上與A，

"k2

5.555?_lx22x33x4〃("+1)

所以<=---1----1----bLH----------1------1---;--FLH------:--

234+|

4b2b,b?2222"

1?1x22x33x4,(n-l)//〃(〃+1)

/=下-+3-+下-+1+2一+2”度，

錯(cuò)位相減得gl,=；+,+—+L(*)

記C=i+i+i+L+F,則#=^+f+F+L+展+券'

錯(cuò)位相減得gc“=g+*+*+L+￡-券=1-/一言<1，

所以C〃v2代入(*)得

1123Tn3n(n+I)八

5北二,+齊+至+L+^r<2^~<2,

所以Z,<4,即［L+)I+3+L+，<4.

仄b2b｝bn

37.(2021?浙江金華市?高三月考)已知數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為%=a2“=〃("eN)數(shù)列也｝滿足:

當(dāng)S“，S向，S..成等比數(shù)列時(shí)，公比為5,當(dāng)S“，5?+1,S,"成等差數(shù)列時(shí)，公差也為匕.

(1)求$2“與$2,1；

111n

(2)證明：T+~r+'"+7~--^-

ab2b?2

2

【答案】(1)邑“=〃(〃+1)，52n_,=n;(2)證明見解析.

【分析】

2

(1)根據(jù)々“-I=%”=〃(〃eN*),可得S2?=n(n+1),S,,,..=S2n-a2n=n；

(2)當(dāng)〃=當(dāng)-1時(shí),得當(dāng)T，S*,S2t成等比數(shù)列，求得/T=￥=tL

^2k-i《

當(dāng)〃=2攵時(shí)，SZKENEE成等差數(shù)列，求得%X'+LSZL女+1,

\\k\

由;+廠=7T7+7T7=L分n=2k、〃=2左一1可得答案.

b2kb2kk+1k+1

【詳解】

(1)因?yàn)椤?〃_i=%〃=〃(〃￡N*),所以當(dāng)〃=1時(shí)，4=%=1，當(dāng)〃=2時(shí)，4=4=2,

當(dāng)九=3時(shí)，%=%=3,L,

所以$2”=a\+a2^---a2n-\+a2n=l+l+2+2d----+〃

=2(1+24---Fn)=n(n+1),

^2n-l=^2n~a2n=〃(〃+1)-〃=.

2

(2)當(dāng)〃=23-1時(shí),S2k_i=E,S2k=k(k+l),S2k+｛=(k+1),

???S；k=S”T+S加I,成等比數(shù)列，

52A._PS2?S2,+1

則為1一|=3=’1

2

當(dāng)?shù)?2%時(shí)，S2k=k(k+1),S2k+l=(A:+1),S2k+2=(k+l)(fc+2),

***2s2k+i=S2k+S2&+2，S?k，S2k+i，S2k+2成等差數(shù)列，

=

則b2k^2A+1—S2k=k+1,

111n

工當(dāng)九=2k時(shí)，-—+...+—=

ab]bn2

1111..&-1+』=2k-\

???當(dāng)九=2左一1時(shí),-----1-------F???H------------1---------

b、b?b2k22

111n

即丁+7+d----..;-

瓦b2b.2

1n

綜上可得,—I—+???+—..

a瓦b“2-

38.(2021?浙江高三其他模擬)已知數(shù)列他),｛&｝滿足?！?+及”他-(2“+1)%2=0,。,,嚕色產(chǎn)0,

awOMeR/eN，).

(1)若彳=-1,。=-1,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若兀=1<=1,記5,=-4+4-4+...+(-1)%；,證明：(+(+…+(<2.

5323〃

【答案】(Dc?=-n2；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)已知條件，可得j.「q,=-(2〃+l),利用累加法求｛c“｝的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證q=-l是否也符合

通項(xiàng)公式.

(2)由題設(shè)，可得C.「C.T=2,討論〃為奇偶性求｛4,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求S.，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求

111…

三+三+…+不，即可證結(jié)論.

【詳解】

(1)由題設(shè)知：勺%-?！八?2〃+1)2+優(yōu)=0且。=，=-1,b產(chǎn)a,

：.%一誓=2幾+1,即%=-(2〃+1),

hn2+1

Ac2-c,=-3,C3-C2=-5,cn-cn_x=-(2?-l)(n>2),將它們累加可得

-2

Cn—C]=[3+5+...+(2〃-1)]=1—/7,

???G=-〃2,而q=-12=一]也成立，即數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式c.=—〃2.

(2)由題設(shè)知：a/向+4+也,一(2〃+1)仇+也,=0,則腎+/=Ce+c“=2〃+l,

“"+1

c,+c“_|=2〃-15*2),故C,,“-c“T=2,又q=1,則。2=2,

.?.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，1=1+(--1)x2=":當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，c.=2+《-l)x2=〃；

綜上，知：c?=n,則c：=〃2,

.?.當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，有

a/x/x/x/\/、/、22n[n+1)八

Sn=(c2-q)(q+q)+(Q—C3)(G+C3)+…+(%_〔一cn_2)(cn_]+cn_2)一〃~=q+…+C〃T-〃=一一——<0；

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，有S“=(。2—。)(。2+q)+(o4-q)(，+q)+…+(%—&_1)(%+q-)=q+…+q="7)；

1八JI1c-、

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，—<0,則三+?+…+不<0<2恒成乂；

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，1=2(1__L.)；則[+…+不=2.(1一:+：_；+…__)=2-(1--)<2,

5〃nn+13]Sfl223n-\nn

111c

綜上，-+—+...4--<2,得證.

J】d25

39.(2021?浙江紹興?高三二模)已知等差數(shù)列｛斯｝的公差不為零，。4=1,且“4,%,S成等比數(shù)列，數(shù)列｛%｝

的前〃項(xiàng)和為S",滿足Sn=2b"-4(〃GN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛d｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛如｝滿足q=-：,c"+i=C"-｝("CN*),求使得%>與]成立的所有〃值.

2b“16

【答案】⑴a?=n-3,」=2叫(2)〃的值為3,4.

【分析】

(1)根據(jù)已知條件求得d,由此求得4；先求得偽，然后利用S“-S“T求得".

(2)利用累加法，結(jié)合錯(cuò)位相減求和法求得c,,由此解不等式%=F>F，求得〃的所有可能取值.

216

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(存0),由題意得

即(l+d)2=l+3d,整理得/=d,解得d=l,

所以4n=/+(〃-4)d=〃-3,

因?yàn)槌?Si=2仇-4,所以6=4,

當(dāng)佗2時(shí)，由分〃=S〃-S“.|,得仇=2瓦-2瓦-i,BPhn=2hn.?,

所以｛d｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以乩=2"+L

ann-3

(2)山c〃+尸C”-『，得C,I+|-Cn=-3M,

_l—2―1n—4

=

所以Cn(Clt-Cn-I)+(G?-I-C”-2)+…+(0-Cl)+C尸一萬一(^"+^7+....+~

、幾f-2-1n-4...1T-2-1n-4

設(shè)「尸夢+聲+……+~2ir'^22r+……+^T，

兩式相減得

-2111w-4_1232n+l72-4_1n-2

H---,,+,

中+尹+夢+2"2--2~~12向一—4

1—

2

所以T“=-1展，所以CL卜丁“=展，

因?yàn)?==>?，所以5-2）（24一"-1）>0,

216

當(dāng)〃=1時(shí)，不滿足題意：

當(dāng)，?=2時(shí)，不滿足題意；

當(dāng)佗3時(shí)，24n-1>0,解得3W"",

所以滿足題意的所有〃的值為3,4.

40.（2021.浙江臨海市回浦中學(xué)高三其他模擬）數(shù)列｛4｝滿足q=l,??+2??+1=0,其前"項(xiàng)和為S,,,數(shù)

列｛3｝的前〃項(xiàng)積為出.

（1）求S“和數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)"質(zhì)席函+卮丫求｛5｝的前〃項(xiàng)和T,,并證明：對(duì)任意的正整數(shù)m4，均有

b.=2n-l；(2)7；=41—jJ=j,證明見解析

【答案】（1）

2(，2〃+1)

【分析】

（1）利用己知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.

【詳解】

a“+2a向=0,得｛可｝是公比為-;的等比數(shù)列，，可

(1)1??4=1

絲為21

當(dāng)〃‘2時(shí)’數(shù)歹“嘉｝的前〃項(xiàng)積為七則：3:52712〃+1,兩式相除得

^,A2T_1

、352n-l2n+l

]

昌=用="，得％=2〃-1，

2n+1]2n+1

2n-{

又4=g得4=1一也=2"T；

______________1_______________j_以+1—-2.-1_J________1]

J2〃-1J2〃+1(J2〃+1+yjln—X)2A/2H—1,2〃+12(J2〃-1A/2/24-1J

故界>兀

41.（2021?浙江效實(shí)中學(xué)高三其他模擬）己知數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為"，4=1,%=2,公比為2的等比數(shù)

列｛。｝的前〃項(xiàng)和為7,,并且滿足叫+/幅（為+1）=25?.

（I）求數(shù)列｛《,｝,｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

（II）已知g=4?,+1,規(guī)定%=0,若存在?使不等式G+C2+g+...+c“<l-4成立，求實(shí)數(shù)力的

T

Jn+\〃

取值范圍.

【答案】（I）a”=n，bn=2'-\（IDA<1.

【分析】

（I）由遞推式，令”=1求4=1,寫出｛4｝的通項(xiàng)公式及結(jié)合已知條件求｛q｝通項(xiàng)公式.

（II）應(yīng)用裂項(xiàng)求和求q+。2+。3+???+%,即有2V,進(jìn)而求義的范圍.

【詳解】

(I)由題設(shè)，4log2(Z+l)=251,即g1。82色+1)=2《，可得&=1,又等比數(shù)歹￡4｝的公比為2,

；?b“=2"T,故包=2"-1,即2S“=〃a,m，

當(dāng)"W2時(shí)，2(S?-S?.I)=2a?=na?+l-(n-l)a?,即〃%=("+1)a,,,

當(dāng)”=1時(shí)，a2=2a,,

上有〃a0+i=("+l)a“，即?^■-2=0,而g=l,

n+\nI

；?四｝是常數(shù)列且%=1，即4=〃；

nn

z(〃—1)2"+1n〃+l

(II)由題意，=(2--l)(2n+l-l)=J

...c,+c,+G+-F=口+2_3+...+q〃+11n+\<1一2，對(duì)〃￡N*有解，則4<(9]+〃

=1--；—

123"337X-\2〃+1一1n12-1

22

n~-\-n±,r..(n+l)+(n+l)n+n,,、，n+2n、(”+1)[(2-〃)2'用—2]

令4=故d“*「d=~j—-----=(〃+1)()=

2n+l-ln2n+l-l2n+2-l2"+,-1----(2,,+2-1)(2,,+I-1)

二當(dāng)〃=1時(shí)，出>4；當(dāng)〃22時(shí)，d?+t<dn,知:4為慮的最小項(xiàng)，

42.（2021?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列｛4｝、色｝滿足4=4=0,（2"+1”,向=（2向+1）q+2",

,1

當(dāng)〃之2時(shí),b“=-~.

3%+1

（1）求數(shù)列｛叫、｛包｝的通項(xiàng)公式；

（2）若g=b.",數(shù)列｛c,,｝的前”項(xiàng)和為S"，證明：S?<j.

6

0,〃=1

2〃-2

【答案】（D",=￡7^，""=1C；(2)證明見解析.

----,n>2

【分析】

（1）由已知條件推導(dǎo)出育7-白7，利用累加法可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步

乙IX乙IX乙IX乙?X

可求得數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

+

（2）分析可得當(dāng)“22時(shí)，c?<l[=然后分〃=1、wN2兩種情況討論，結(jié)合等比數(shù)列的

2—1+122

求和公式可證得結(jié)論成立.

【詳解】

（1）...（2"+1）〃用=（2e+1”,,+2"=（2e+1）4+（2向+1）—（2"+1）,

[O,n=l

因?yàn)楫?dāng)〃之2時(shí)，bn=,故2H1；

"[王才

（2）%=」?時(shí),當(dāng)"22時(shí)，%4±；=高=皆,

Z—1Z—1+1Z乙

當(dāng)〃=1時(shí)、G=?<3；

11115

當(dāng)〃N2時(shí),S〃=q+J+.?+%可+—+一+…+—=-+<-+—=—

83326

綜上所述，對(duì)任意的〃EN*,5“＜金.

6

'2%+2〃,〃為奇數(shù)

43.（2022?全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛??｝滿足4=1，4向記數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和

-4“-1,〃為偶數(shù)

4

為S“，b?=a2n,neN

（1）求證：數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)￡；

（2）求｛m,｝的前〃項(xiàng)和刀,及伍“｝的前”項(xiàng)和為S”.

2-如以,〃為奇數(shù)

4

【答案】（1）證明見解析;2=（-2廣

〃2-+|

2----h（-2）2為偶數(shù)

4

【分析】

（1）根據(jù)題中條件,推出%=%"2=一2%,=-21,即可證明數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公

式;

(2)根據(jù)(I)的結(jié)果，由錯(cuò)位相減法，即可求出設(shè)%先由題中得到c“的通項(xiàng),

再由分組求和法計(jì)算再T,根據(jù)52?=S2n+l-a2n+l求再,進(jìn)而可得1.

【詳解】

、[2〃”+2小〃為奇數(shù)

⑴因?yàn)閑，it”為偶數(shù)，…，

所以%=02m2=2%用+2(2〃+1)=2(一G，一2"—1)+4〃+2=—2%〃=一?“‘

又仿=%=24+2=4,

所以數(shù)列電｝是以4為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，

因此么=4x(-2廣=(-2)"“；

-23

(2)由(])uj得(=4+2&+3仇■>---nbn=(2)+2x(―2)+3x(—2)------Fnx(―2)"'(T),

貝I]—27；=(-2)'+2X(-2)4+3X(-2)5+---+nx(-2)"”②，

①一②得37；=(-2)2+(-2)3+(-2)4+(-2)5+…+(-2)""-MX(-2)，，+2=⑸-(>)__〃、(-2f2，

4n1

則一+一

設(shè)％=4“+4向("N)

則C〃=%〃+%〃+]=/“+(一%一2〃-=,

所以§2〃+1=4+(生+%)+(%+6)+…+(%”+%〃+1)=4+G+J+…+%=1+?(9產(chǎn))=一〃2-2n+l；

邑”=$2”+[一。2〃+1=$2“+1+a2n+2〃+1=-〃2-2〃+1+(-2)〃,+2n+1=一療+(—2)〃?+2；

n-\也止，〃為奇數(shù)

4

I因?此sf“t="2

一19+(_2聲+2=2一9+(_2聲,〃為偶數(shù)

44.(2021?浙江杭十四中高三其他模擬)已知數(shù)列｛叫的前”項(xiàng)和為S“，且滿足25,,=(”+2)(%-1),〃€”.

(1)證明：｛架:｝為常數(shù)列，并求見；

(2)令d=4「sin詈，求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和小

4/、

-(2n-1),n=2k,keN

【答案】(1)見解析；⑵2

--~~—,n=2k-l,keNt

3

【分析】

(1)根據(jù)已知〃=1,求出4,再由"22,4=5“7,1得到%，41，化簡可證｛絮齊為常數(shù)列，即可求出《；

(2)由(1)求出％進(jìn)而求出｛〃,｝通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式對(duì)“分類討論，分組求和，即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)因?yàn)?s“=(〃+2)(%-1)①，

當(dāng)〃W2時(shí)，2S?_,=(?+1)(??_,-1)②，

①-②得，〃=(〃+2)。〃——1,即natl-(n4-l)aM_,=1,

/、凡an-\111

同除〃(〃+1)得，―：=(------77，

\7〃+1n+n〃+1

整理得3=4應(yīng)，所以為常數(shù)列.

因?yàn)?s=(1+2)(6—1),所以勾=3,

則"二="口=2,所以a,=2〃+l.

n+l2

(2)由(I)得知=2-2"+1=2"盟+1,

所以2=(2,,+1+1卜山.(2；+1)=(2a+1卜山(5+〃乃)，

(2叫1,〃=2鼠&eN*

則'i一(2向+l),〃=2k-l,keN"'

①當(dāng)〃=2Z,ZeN*時(shí)，

7；=(-22-1)+(23+1)-(24+1)+---+(-2"-1)+(2"+1+1)

2345,,,,+|24,,,

=,2+2-2+2+--2+2=2+2+-+2=-(2'-1),

②當(dāng)〃=2攵-1,AeN*時(shí),

r=*2向-1)-(2"”+1)=-^^，

4/、

綜上，(=\叫7

--------,n=2k-T,kwN*

3

45.(2021?浙江)已知等比數(shù)歹式4｝,4=2.數(shù)歹!］他｝滿足的2……=2%〃eN*)且a=6+4.

(1)求數(shù)列｛4｝、｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)&=，-((〃”)，記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,.

①求S.；

②求正整數(shù)k使得對(duì)任意”eN*,都有S?2S,,.

【答案】(1)”"=2",包=〃(〃+1)；(2)①S'=-^-一口］;②&=4.

【分析】

(1)根據(jù)已知條件先確定出公比q>0,然后根據(jù)已知條件求解出4的值，則｛4｝的通項(xiàng)公式可求；將｛q｝

的通項(xiàng)公式代入的,……=29并化簡可求解出料｝的通項(xiàng)公式；

(2)①先計(jì)算出｛&｝的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消以及公式法求解出黑；

②先計(jì)算S“,「5"的結(jié)果，然后根據(jù)其結(jié)果的正負(fù)分析S“的單調(diào)性，由此確定出S“的最大項(xiàng)，從而出的值可

求.

【詳解】

b?

(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為4，因?yàn)閝a,……4=25，

所以-……/=2空，所以/=2空卷>0,所以4>0，

仇biab、

因?yàn)?彳=q的的，2亍=44'所以2小三=4，

又因?yàn)?=6+2,所以2=3,所以％=23=8,

所以包=d=4,所以〃=土2,所以4=2,所以a.=2”；

a\

E斗，冬山1、1"("叫生ecribn”(〃+l)

因?yàn)榈?……4=22,所以2i22x23x......x2"=2k=2寸，所以k=七~4

所以勿=〃(〃+1);

11111

(2)①因?yàn)閏,=---—--

a,b?Fn(n+l)F

記〃加正品同時(shí)n/〃+1):*”(〃+1)(〃+2)2〃+2

「以/(?)一(〃+2)(〃+3)2向一〃+3

因?yàn)?〃+2—(〃+3)=〃-120,

所以當(dāng)心2,〃eN.時(shí)，/；；；：>］且/⑺>0，所以/(〃)單調(diào)遞增，

又〃1)可(2)=|<1,〃3)嚙《必4)4哈>1,

所以當(dāng)“24時(shí)，向>(〃+1)(〃+2)>0,所以擊一(“+1；〃+2)<0，*單調(diào)遞減,

當(dāng)14〃43時(shí)，/(n)<l,0<2H+'<(n+l)(n+2),所以擊一正品詞>。，S.單調(diào)遞增，

所以可得S1<S2Vs3<&>$5>S6>……，

所以(S")皿=￡，所以々=4.

46.(2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三其他模擬)已知數(shù)列也｝各項(xiàng)都是正數(shù)，4=1,對(duì)任意/N”都有

Y+W+…展=""J.數(shù)列也｝滿足4=1,

(1)求證：｛4｝是等比數(shù)列，也｝是等差數(shù)列；

(2)設(shè)g=34+4-(-1廣'九4,對(duì)任意鼠eN",都有>cj恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

31

【答案】(1)證明見解析：(2)---<2<—.

42

【分析】

(1)在吊+片+…“：=智’，得〃22時(shí)，《+嫉+…”3=芋，兩式相減得｛q｝的遞推關(guān)系，得證得

其為等比數(shù)列，設(shè)，="-〃，得出｛e“｝遞推關(guān)系后可求得e.，從而得或的通項(xiàng)公式我，得證其為等差數(shù)列;

（2）要（1）基礎(chǔ)上求得％,作差恒成立，按”的奇偶分類討論可得3范圍.

【詳解】

（1）證明：因?yàn)槠?d+…展，所以時(shí)，…43=號(hào)1,

22

兩式相減得：片=,即又4>0（〃eN*）,所以心=2〃“，

3

又4：=邑二1,公=4,%=2（因?yàn)殡?gt;0）,所以/=2q,即％1'=2,〃eN*,4=1,所以｛%｝是等比

3a?

數(shù)列.

4=1,4=4+1=2,設(shè)％="一〃，則由”+[=紙+zt得e.+i+"+1='+”+〃，所以e,+1，又q=4-1=0,

!nnn

4

明以，一~(n-l)(n-2)=0,

(〃一1)!

所以4=〃，｛%｝為等差數(shù)列.

(2)由⑴4=2"',

q,=3"+4?(-1)"T2.2"-'=3(,+2-(-1)"-'2-2",

,,+l

c?+l-c?=3"“+2?(-1)'N?2"M—3"一2?(_1)"T2?2"=2x3"+3?(-l)'N-2,

對(duì)任意”wN*，都有％>q,恒成立，貝：2><3"+3-（-1）"32用>0恒成立,

OM-Ion-1i/o、"-1

（T嚴(yán)二，士是遞增數(shù)列，

2"2"2\2）

〃為奇數(shù)時(shí)，2<-xf-T',義<:，

〃為偶數(shù)時(shí)，-2<^,/!>-：,

2⑵44

31

綜上-W<a<耳.

47.（2021.浙江高三其他模擬）已知數(shù)列應(yīng)｝滿足q=g,2a向+4,,=3,數(shù)列也｝滿足a=1,

"%-5+1應(yīng)=1+”.

（1）數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式;

(2)若q,=(%「2”,,，求使[q]+[cJ+[j]+…+&]42021成立(&]表示不超過％的最大整數(shù))的最大整

數(shù)”的值.

2

【答案】(1)%=1+卜；)，bn=n；(2)最大值為44.

【分析】

(I)由題得數(shù)列國-1｝是等比數(shù)列，即求出數(shù)列E｝的通項(xiàng)；由題得｛4｝是一個(gè)以q=1為首項(xiàng)，以1為

n1

公差的等差數(shù)列，即得數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

n=1

〃=2,

(2)先求出[喙1閨卜€(wěn)"),再求出

2n,〃=2%+1,

2〃+1,〃=2女+2

n=2k,（丘N*）即得解.

[cl]+[c3]+[c2]+--+[c?]=.

〃=2左+1

【詳解】

解：(1)由2a“+|+%=3得a“+[-1=-](““-1),

所以數(shù)列｛q-1｝是等比數(shù)列，公比為

解得q=1+5目”.

由泌"+|-5+1)〃,=〃2+”，得也=1,

所以｛爭是一個(gè)以2為首項(xiàng)，以I為公差的等差數(shù)列,

所以—=1+(/I—l)x1=n,

解得勿=下.

⑵山c“=3向一"）4得c“=（2〃+l）1+|-1

2n+l,,2/7+32〃+1l-2n?

-^7-,-d?------=-7-<0

357

所以｛4｝為單調(diào)遞減且4=9，4=?,4=?<1，

248

1,n=1

6,n=2,

所以［%］=，(keN*),

2〃，〃=2攵+1,

2〃+1,n=2k+2

1,〃=1,

2

因此［封+上＞叵卜…+&］<H+-|n,n=2k,(keN"

231

n+—72——,n=2k+1

22

當(dāng)〃=2左時(shí)，/42021的”的最大值為44；

31

當(dāng)般=2A+1時(shí)，川+5〃-542021的〃的最大值為43；

故［。］+邑］+［。2］+…+L/42021的”的最大值為44.

【點(diǎn)睛】

n=1

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一：求出［&］=＜：；

(kg,其二：求出

n=2k+1,'7

2〃+1,n=2k+2

1,"=1,

23n=2k,(kwN').

[c1]+[c2]+[c2]+---+[cn]?+]”,

鵬一n=2k+1

22

48.(2021?浙江瑞安中學(xué)高三其他模擬)已知遞增等比數(shù)列｛%｝,和等差數(shù)列低｝滿足：4=2,4=1,其

中4=4，且生是4和4的等差中項(xiàng).

(1)求見與。；

(2)記數(shù)列｛(4+1)〃｝的前"項(xiàng)和為7；,若當(dāng)〃cN"時(shí)，不等式(-1)"2+0+"應(yīng)＜7；,恒成立，求實(shí)數(shù)2

取值范圍.

【答案】(1)。"=2",b?=n,(2)-2<A<10

【分析】

(1)設(shè)遞增等比數(shù)列｛a,,｝的公比為q(q>l),等差數(shù)列｛〃,｝的公差為"，依題意得到方程組，求出1、d,

即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)依題意可得(4+1)包=。也+2，記｛。也｝的前"項(xiàng)和為R,也｝的前〃項(xiàng)和為s.，

則(-1)"義<Q對(duì)〃eN*恒成立，利用錯(cuò)位相減法求出｛%"｝的前”項(xiàng)和為2,,則(-1)"2<2+(〃-l)x2"M,

再對(duì)"分奇偶數(shù)討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；

【詳解】

解：(1)設(shè)遞增等比數(shù)列｛q｝的公比為44>1),等差數(shù)列｛〃｝的公差為d，

因?yàn)閝=2,瓦=i,%=4,月一的是丹和4的等差中項(xiàng),

1\_

q=一q=一

廠2+〃，所以4=2:,2(舍去)或，3\(舍

所以解得d=l或(舍去)或，

2a=b+%4q=2+6d4=1d=J

22d

9

去)

所以q=2",b?=n

(2)因?yàn)?a,+l應(yīng)=。也+々,記｛。也｝的前“項(xiàng)和為｛2｝的前"項(xiàng)和為S",

所以1=0+與=2,+9學(xué)

因?yàn)?一1)"2+("?”<7；,即(-1/2+("?”<<2?+止誓，即(-1)"A<Q?對(duì)“eN*恒成立,

因?yàn)镼“=lx2i+2x22+3x2,+…+〃x2"①

2(2?=1X22+2X23+3X24+---+MX2"+,(2)

②-①得

2,=-1X2'-23-24----2"+nx2',+'=-2^-^+nx2"+'=2+(/z-1)x2,,+l

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，A<2+(?-l)x2n+l,所以2<[2+(〃-1)X2""L,=1°

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，—4<2+(〃-1)><2向，所以2>-[2+(”-l)x2"["=-2

綜上可得一2<2<1()

49.（2021.全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛氏｝滿足：4=1,a^=qa+——.

n（一幺）

（1）若％,%，生成等比數(shù)列，求4的值；

（2）若⑷41,求證：同43-爵.

【答案】（Dq=~（2）證明見解析；

【分析】

（1）首先表示出色,%，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出夕即可；

⑵依題意可得-㈤。[￡]”,再根據(jù)同=（㈤-|4」）+（|加|-1-1）+…+（同-悶）+同，利用錯(cuò)位

相減法求和即可得證；

【詳解】

，、，111（1）

++

解：（I）a,=l,a2=--+q,a3=—+qa2

因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以W=q“3

則（-；+?）解得q=一；

⑵由141<1,得％=/+￡*匈+$04l|q,|+^4同+/

（一，）（-Z；ZZ

所以舊一卜同4?。ā陓,所以當(dāng)"22時(shí)，

同=（同T%l）+（l%HaM）+…+（同-圖）+同

-2+2-（2）+…+（”_2）｛g）+（〃-l）（g）+何|

設(shè)S=g+2?（g）+…+（〃-2）（；）①

哮=（）+2K）+…+（〃-嗚’