高考函數(shù)難點(diǎn)破解應(yīng)用GGB數(shù)形結(jié)合研究指對(duì)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題

GGB輔助教學(xué)典型案例——數(shù)形結(jié)合探究指、對(duì)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題問題：同底的指數(shù)函數(shù)（）與對(duì)數(shù)函數(shù)（）圖象可能有幾個(gè)交點(diǎn)？這是高中函數(shù)教學(xué)中困擾廣大師生的難點(diǎn)問題．結(jié)合GGB的動(dòng)態(tài)直觀演示功能，可以數(shù)形結(jié)合直觀地解決這個(gè)問題．步驟如下：1．打開GGB工作頁面，創(chuàng)建一個(gè)滑動(dòng)條，命名為．2．輸入函數(shù)和函數(shù)．3．拉動(dòng)滑動(dòng)條，可以動(dòng)態(tài)觀察函數(shù)與圖象相交的情況．(1)若①拉動(dòng)滑動(dòng)條，讓足夠大，觀察發(fā)現(xiàn)：兩函數(shù)圖象不相交，無交點(diǎn)（如上圖所示）②拉動(dòng)滑動(dòng)條，讓逐漸變小，觀察發(fā)現(xiàn)：兩函數(shù)圖象逐漸靠近，在兩圖像剛好一接觸（即相切）的那一剎，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)．記此時(shí)的的值為．③拉動(dòng)滑動(dòng)條，當(dāng)時(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．(2)若①拉動(dòng)滑動(dòng)條，當(dāng)足夠大時(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)：兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)交點(diǎn)為，過點(diǎn)分別作函數(shù)與的切線．此時(shí)②拉動(dòng)滑動(dòng)條，當(dāng)逐漸變小時(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)：兩切線逐漸靠近．在兩切線重合的那一剎，即時(shí)，兩函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)此時(shí)的值為．③拉動(dòng)滑動(dòng)條，當(dāng)時(shí)，觀察發(fā)現(xiàn)：兩切線的斜率滿足，此時(shí)兩函數(shù)圖像有3個(gè)交點(diǎn)（如圖所示三點(diǎn)）．4．如何求出臨界值？（其中）①當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有唯一公共點(diǎn)．點(diǎn)在對(duì)稱軸上，設(shè)．此時(shí)兩函數(shù)在點(diǎn)處的切線重合，即對(duì)稱軸直線．函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，于是，即由式得，代入式得，即，．故臨界值．②當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有唯一公共點(diǎn)．點(diǎn)在對(duì)稱軸上，設(shè)．此時(shí)兩函數(shù)在點(diǎn)處的切線重合，于是，即式代入式得，因?yàn)?，所以，代入式得，即，即．故臨界值．5．綜上所述，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況為：①當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有1個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有1交點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)；說明：以上結(jié)合GGB軟件數(shù)形結(jié)合動(dòng)態(tài)直觀解決交點(diǎn)問題的方法，優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，缺點(diǎn)是欠缺嚴(yán)謹(jǐn)性．嚴(yán)謹(jǐn)論證詳見附錄的論述．附：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的嚴(yán)謹(jǐn)論證論題：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題．論述：分及兩種情況進(jìn)行討論．（一）當(dāng)時(shí)，過原點(diǎn)作函數(shù)的切線，設(shè)切點(diǎn)為∵∴切線的斜率又∵∴∴從而(1)當(dāng)，即，亦即時(shí)，點(diǎn)在直線上，∴故，可得∴是與的公共點(diǎn)．(2)當(dāng),即，亦即時(shí)，與相離,與沒有公共點(diǎn)．(3)當(dāng),即，亦即時(shí)，與有兩個(gè)公共點(diǎn),,同理可知,均是與的公共點(diǎn)．下面先證如下引理：當(dāng)時(shí)，與不可能有不在上的公共點(diǎn)．證明：用反證法．假設(shè)與有公共點(diǎn),,若,則①，②，由②可得③∵在上單調(diào)遞增，又∵∴由此式結(jié)合①③可知,這與矛盾．故不能成立．同理時(shí)亦不能成立．從而假設(shè)不真．引理得證．綜上可知：當(dāng)時(shí),與有兩個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)時(shí),與有唯一公共點(diǎn),當(dāng)時(shí),與沒有公共點(diǎn)．（二）當(dāng)時(shí),作函數(shù),易知,不妨設(shè),則,過原點(diǎn)作的切線,則切線的斜率(1)當(dāng),即時(shí),恒成立．從而在上單調(diào)遞增,∴有唯一的零點(diǎn)．(2)當(dāng),即時(shí),不妨設(shè)與交于兩點(diǎn),,()則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為在處取得極大值,且,在處取得極小值,且,由零點(diǎn)存在定理可知,有3個(gè)零點(diǎn),分別在區(qū)間,,之內(nèi)．下面補(bǔ)充證明，．證明：設(shè)（）與的交點(diǎn)為∵∴∴即當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值小于的函數(shù)值，數(shù)形結(jié)合可知∵（）與的交點(diǎn)為∴從而于是又∵∵，∴，又∵，∴，∴∴，又∵當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),∴又∵在區(qū)間單減及∴且．證畢．綜上可知：當(dāng)即時(shí)，與有唯一公共點(diǎn),且此公共點(diǎn)在上，當(dāng)即時(shí)，與有三個(gè)公共點(diǎn),且有兩個(gè)不在直線上，但關(guān)于對(duì)稱，而第三個(gè)公共點(diǎn)在直線上．綜合以上論述,我們可以得到如下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)公共點(diǎn),且有兩個(gè)不在直線上，但關(guān)于對(duì)稱，而第三個(gè)公共點(diǎn)在直線上；②當(dāng)