隨機變量及其分布

第二章隨機變量及其分布隨機變量離散型隨機變量及其概率分布隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其概率密度隨機變量的函數(shù)的分布在第一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來表示隨機試驗的各種結(jié)果，這種表示方式對全面討論隨機試驗的統(tǒng)計規(guī)律性及數(shù)學工具的運用都有較大的局限。在本章中，我們將用實數(shù)來表示隨機試驗的各種結(jié)果，即引入隨機變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機試驗的客觀存在的統(tǒng)計規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學分析）微積分的方法來討論隨機試驗。在隨機試驗中，如果把試驗中觀察的對象與實數(shù)對應起來，即建立對應關系X，使其對試驗的每個結(jié)果e，都有一個實數(shù)X(e)與之對應，試驗的結(jié)果e實數(shù)X(e)對應關系X則X的取值隨著試驗的重復而不同，X是一個變量，且在每次試驗中，究竟取什么值事先無法預知，也就是說X是一個隨機取值的變量。由此，我們很自然地稱X為隨機變量。

關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量．2.1隨機變量定義2.1(p.27)設E是一個隨機試驗，S是試驗E的樣本空間，如果對于S中的每一個樣本點e，有一實數(shù)X(e)與之對應，這個定義在S上的實值函數(shù)X(e)就稱為隨機變量。由定義可知，隨機變量X(e)是以樣本空間S為定義域的一個單值實值函數(shù)。有關隨機變量定義的幾點說明：(1)隨機變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點e的函數(shù)，常用大寫字母X、Y、Z或小寫希臘字母

、

、

等表示。(2)隨機變量X隨著試驗結(jié)果而取不同的值，因而在試驗結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預知它取什么值，對任意實數(shù)區(qū)間(a,b)，“a<X<b”的概率是確定的；(3)隨機變量X(e)的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合；(4)引入隨機變量后，就可以用隨機變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機變量的討論中。例2.1一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗，作為檢驗結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機變量。X的一切可能取值為0，1，2，…，20{X=0}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒有合格品”；{X=1}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品”。例2.2將一顆骰子投擲兩次，觀察所的點數(shù)，以X表示所得點數(shù)之和，則X的可能取值為2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。隨機變量X的取各個可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P(X=2)=1/36……………P(X=3)=2/36……P(X=4)=3/36…P(X=12)=1/36例2.4一個地鐵車站，每隔5分鐘有一列地鐵通過該站。一位乘客不知列車通過該站的時間，他在一個任意時刻到達該站，則他候車的時間X是一個隨機變量，而且X的取值范圍是[0，5]?請舉幾個實際中隨機變量的例子練習

引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，事件B={有2個空格}，事件C={全有球}。②進行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，事件F={試驗至少成功一次}，事件G={至多成功3次}隨機變量的分類：隨機變量2.2離散型隨機變量及其概率分布

一、

離散型隨機變量及其概率分布1、離散型隨機變量的概念若某個隨機變量的所有可能取值是有限多個或可列無限多個，則稱這個隨機變量為離散型隨機變量。討論隨機變量的目的是要研究其統(tǒng)計規(guī)律性，要知道離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個可能值的概率。2、分布律(P.29)設離散型隨機變量X，其所有可能取值為x1,x2,…,xk,…,且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pk,…,即則稱P(X=xk)=pk(k=1,2,…)為隨機變量X的概率分布律，簡稱分布律。分布律可用表格形式表示為：P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)而且滿足（1）P(X=xk)=pk≥0，(k=1,2,…)（2）Xx1x2x3…xk…Pp1p2p3…pk…例2.5設袋中有5只球，其中有2只白球，3只黑球?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解X=k的所有可能取值為0，1，2X是一個隨機變量解設Ai

第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5則A1,A2，…，A5相互獨立，且P(Ai)=p,i=1,2,…,5。SX={0,1,2,3,4,5},例2.6某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。二、幾個常用的離散型隨機變量的概率分布律1、(0-1)分布(p.30)

若隨機變量X的分布律為：P(X=k)=pk(1-p)1-k，k=0，1，(0<p<1)則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布，記為X~B(1,p)。0-1分布的分布律也可寫成X10Pp1-p即隨機變量只可能取0，1兩個值，且取1的概率為p，取0的概率為1-p(0<p<1)，亦即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。若某個隨機試驗的結(jié)果只有兩個，如產(chǎn)品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為S={e1,e2},我們總能定義一個服從0-1分布的隨機變量即它們都可用0-1分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已。2、二項分布(1)貝努里(Bernoulli)模型(P22)

設隨機試驗滿足：1°在相同條件下進行n次重復試驗；2°每次試驗只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；3°在每次試驗中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p；4°各次試驗是相互獨立的，則稱這種試驗為貝努里概型或n重貝努里試驗。在n重貝努里試驗中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。以隨機變量X表示n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0,1,2,3,…,n。設每次試驗中A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的概率為1-p=q。(X=k)表示事件“n重貝努里試驗中A出現(xiàn)k次”，即這里每一項表示k次試驗中出現(xiàn)A，而另外n-k次試驗中出現(xiàn)，且每一項兩兩互不相容，一共有Cnk項。由4°獨立性可知每一項的概率均為pk(1-p)1-k，因此此為n重貝努里試驗中A出現(xiàn)k次的概率計算公式，記為（2）二項分布定義（P.31）若隨機變量X具有概率分布律其中p+q=1，則稱隨機變量X服從以n，p為參數(shù)的二項分布，記為X~B(n,p)（或稱貝努里分布）?？梢宰C明：正好是二項式(p+q)n展開式的一般項，故稱二項分布。特別地，當n=1時P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。例2.7設有一大批產(chǎn)品，其次品率為0.002。今從這批產(chǎn)品中隨機地抽查100件，試求所得次品件數(shù)的概率分布律。解

（視作放回抽樣檢驗）設(X=k)表示事件“100件產(chǎn)品中有k件次品”，則X可能取值為0，1，2，…，100。本題可視作100重貝努里試驗中恰有k次發(fā)生(k件次品)，X~B(100,0.002)。因此，所求分布律為例2.9從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律；(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。解

(1)由題意，X~B(6,1/3)，故X的分布律為：例2.10某人獨立地射擊，設每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標兩次的概率。解每次射擊看成一次試驗，設擊中次數(shù)為X，則X~B(400,0.02)，X的分布律為所求概率為例2.10告訴我們兩個事實：1°雖然每次射擊的命中率很小(0.02)，但射擊次數(shù)足夠大(為400次)，則擊中目標至少兩次是幾乎可以肯定的(概率為0.997)。

一個事件盡管在一次試驗中發(fā)生的概率很小，但在大量的獨立重復試驗中，這事件的發(fā)生幾乎是必然的，也就是說小概率事件在大量獨立重復試驗中是不可忽視的。2°若射手在400次獨立射擊中，擊中目標的次數(shù)不到2次，則P(X<2)=1-P(X≥2)≈0.003，即命中目標次數(shù)不到兩次是一件概率很小的事件，而這事件竟然在一次試驗中發(fā)生了。則根據(jù)實際推斷，我們有理由懷疑“每次射擊命中率為0.02”是否正確，即可以認為命中率達不到0.02。

泊松(Poisson)定理設

>0，n是正整數(shù)，若npn=

，則對任一固定的非負整數(shù)k，有

即當隨機變量X~B(n,p)，(n＝0,1,2,…)，且n很大，p很小時，記=np，則例2.10可用泊松定理計算。取

=np=400×0.02＝8,

近似地有P(X2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)≈1－(1＋8)e－8＝0.996981

3、泊松(Poisson)分布

若隨機變量X所有可能取值為0,1,2,…，且其中

>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布，記為X~P(

)。泊松定理表明，泊松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。例2.12設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為

的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2。求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。 解由題意4、幾何分布

設隨機變量X的可能取值是1,2,3,…,且P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，…,其中0<p<1是參數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)p為的幾何分布。幾何分布背景：隨機試驗的可能結(jié)果只有2種，A與試驗進行到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功。2.3隨機變量的分布函數(shù)前一節(jié)介紹的離散型隨機變量，我們可用分布律來完整地描述。而對于非離散型隨機變量，由于其取值不可能一個一個列舉出來，而且它們?nèi)∧硞€值的概率可能是零。例如：在測試燈泡的壽命時，可以認為壽命X的取值充滿了區(qū)間[0,+∞)，事件X=x0表示燈泡的壽命正好是x0,在實際中，即使測試數(shù)百萬只燈泡的壽命，可能也不會有一只的壽命正好是x0，也就是說，事件(X=x0)發(fā)生的頻率在零附近波動，自然可以認為P(X=x0)=0。

由于許多隨機變量的概率分布情況不能以其取某個值的概率來表示，因此我們往往關心隨機變量X取值落在某區(qū)間(a,b]上的概率(a≤b)。

由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此對任意x∈R，只要知道事件{X≤x}發(fā)生的概率，則X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我們用P(X≤x)來討論隨機變量X的概率分布情況。P(X≤x)：“隨機變量X取值不超過x的概率”。

定義(P.36)

設X是一隨機變量，x是任意實數(shù)，則實值函數(shù)F(x)＝P{X

x}，x∈(-∞，+∞)稱為隨機變量X的分布函數(shù)。有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2∈R，x1＜x2，隨機變量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函數(shù)來計算：P{x1<X

x2}＝P{X

x2}－P{X

x1}＝F(x2)－F(x1).在這個意義上可以說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性，或者說，分布函數(shù)完整地表示了隨機變量的概率分布情況。一、分布函數(shù)的概念一般地，X是離散型隨機變量，其概率分布律為P(X=xk)=pk,(k=1,2,…)則X的分布函數(shù)F(x)為

F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2，…，xk，…處跳躍。二、分布函數(shù)的性質(zhì)(P37)

1、單調(diào)不減性：若x1<x2,

則F(x1)

F(x2)；

2、歸一性：對任意實數(shù)x，0

F(x)

1，且

3、右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。事件(X=c)并非不可能事件，它是會發(fā)生的，也就是說零概率事件也是有可能發(fā)生的。如X為被測燈泡的壽命。若燈泡壽命都在1000小時以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定會發(fā)生的，否則不會出現(xiàn)事件(X>1000)，所以

不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定是必然事件。例2.15

設隨機變量X具分布律如下表解

X012P0.10.60.3試求出X的分布函數(shù)。例2.16

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標。假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)。解

F(x)=P(X≤x)

當x<0時,F(x)=0;當x>1時,F(x)=1當0≤x≤1時,特別,F(1)=P(0≤x≤1)=k=1例2.17離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求a,b及X的分布律。解因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2，a+b=1

于是a=1/6,b=5/6X的分布律為

X-112

p1/61/31/2例2.18設隨機變量X的分布函數(shù)為求（1）常數(shù)A，B的值；（2）P（-1<X<1）。用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab2.4連續(xù)型隨機變量及其概率密度1、概念(p39)設F(X)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負可積函數(shù)f(x)，(-

<x<+

)，使對一切實數(shù)x，均有則稱X為連續(xù)型隨機變量，且稱f(x)為隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。常記為X～f(x),(-

<x<+

)一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)X──連續(xù)型隨機變量，則X的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。

(1)

非負性

f(x)0，(-<x<+)；2、密度函數(shù)的性質(zhì)(p39)(2)(3)歸一性事實上(4)若f(x)在x0處連續(xù)，則有(5)f(x)在x0處連續(xù)，且Δh充分小時,有

f(x)稱為概率密度的原由。對任意實數(shù)c，若X～f(x)，(-<x<+)，則P(X=c)=0結(jié)論1連續(xù)型隨機變量X取任一固定值的概率為0證明令即得P(X=c)=0。結(jié)論2對連續(xù)型隨機變量X，有密度函數(shù)的幾何意義為密度函數(shù)曲線位于Ox軸上方。即y=f(x)，y=a，y=b，x軸所圍成的曲邊梯形面積。例2.19設求:(1)常數(shù)K；(2)X的分布函數(shù)；(3)解(1)由性質(zhì)得解之得(2)X的分布函數(shù)為(3)練習

已知隨機變量X的概率密度為(1)求X的分布函數(shù)F(x),(2)求P{X

(0.5,1.5)}二、幾個常用的連續(xù)型隨機變量的分布若隨機變量X具有概率密度函數(shù)1.均勻分布(p.40)則稱X在[a,b]上服從均勻分布，記作X~U[a,b]。對任意實數(shù)c,d

(a≤c≤d≤b)，l=d-c，都有若X~U[a,b]，則X具有下述等可能性：

X落在區(qū)間[a,b]中任意長度相同的子區(qū)間里的概率是相同的。即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關。X的分布函數(shù)f(x),F(x)的圖像分別為O

ab

xf(x)O

ab

xF(x)1例2.22長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率。1545解設A—乘客候車時間超過10分鐘，X—乘客于某時X分鐘到達，則X

U(0,60)正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。2、正態(tài)分布ABA，B間真實距離為

，測量值為X。X的概率密度應該是什么形態(tài)？則稱X服從參數(shù)為

,

2的正態(tài)分布,記為X～N(

,

2)。若隨機變量X的概率密度函數(shù)為（其中

，

為實數(shù)，

>0）f(x)的圖像為

(1)

單峰對稱密度曲線關于直線x=

對稱，即f(

+x)=f(

-x)，x∈(-∞,+∞)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(p42)(2)x=時，f(x)取得最大值f(

)=；

(3)x=

±σ處有拐點；(4)

的大小直接影響概率的分布，

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峭。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布(5)曲線f(x)以x軸為水平漸近線。易知且事實上，令正態(tài)分布隨機變量X的分布函數(shù)為其圖像為OμxF(x)1標準正態(tài)分布(p43)

當參數(shù)

＝0，

2＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為Ox1Φ(x)標準正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為可得對于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)的函數(shù)值，書后附有標準正態(tài)分布表(P.208)。表中給出了x>0的函數(shù)值。當x<0時，可利用Φ(-x)=1-

Φ(x)計算得到。例2.23已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[