2023-2024學年江蘇省常州市高二上冊期初數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年江蘇省常州市高二上冊期初數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），為z的共軛復數(shù)，若復數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則4．已知，則（

）A． B． C． D．5．已知，為單位向量，若向量與的夾角的正弦值為，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次（骰子出現(xiàn)的點數(shù)可能為1，2，3，4，5，6），并分別記錄自己每次出現(xiàn)的點數(shù)，四人根據(jù)統(tǒng)計結果對自己的試驗數(shù)據(jù)分別做了如下描述，可以判斷一定出現(xiàn)6點的描述是（

）A．中位數(shù)為4，眾數(shù)為4 B．中位數(shù)為3，極差為4C．平均數(shù)為3，方差為2 D．平均數(shù)為4，第25百分位數(shù)為28．中，，．對任意的實數(shù)t，恒有，則面積的最大值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．我國是世界上的快遞大國，快遞業(yè)務已經成為人們日常生活當中不可或缺的重要組成部分，給我們的生活帶來巨大的便利，如圖是2012～2020年我國快遞業(yè)務量變化情況統(tǒng)計圖，則關于這9年的統(tǒng)計信息，下列說法正確的是（

）

A．這9年我國快遞業(yè)務量逐年增加B．這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的中位數(shù)為51.4%C．這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的極差超過36%D．這9年我國快遞業(yè)務量的平均數(shù)超過210億件10．下列結論中正確的有（

）A．的最小值是2B．如果，，，那么的最大值為3C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為211．下列命題正確的是（

）A．設，為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件B．點是邊的中點，若，則在的投影向量是C．點是邊的中點，若點是線段上的動點，且滿足，則的最大值為D．已知平面內的一組基底，，則向量，不能作為一組基底12．如圖，已知正方體的棱長為1，為底面的中心，交平面于點，點為棱CD的中點，則（

）

A．四面體的體積與表面積的數(shù)值之比為B．點到平面的距離為C．異面直線與所成的角為D．過點A1，B，F(xiàn)的平面截該正方體所得截面的面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為．14．已知，，若，則．15．已知，，若對任意的，總存在，使成立，求實數(shù)m的取值范圍為．16．已知，函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．讀書可以增長知識，開拓視野，修身怡情．某校為了解本校學生課外閱讀情況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經調查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖．男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92263

(1)由以上頻率分布直方圖估計該校女生一周閱讀時間的第75百分位數(shù)；(2)從一周課外閱讀時間為的樣本學生中按比例分配抽取7人，再從這7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．18．已知函數(shù)．(1)求在上的最值；(2)已知銳角三角形內角A滿足，求的值．19．如圖，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，．四棱錐的體積是．(1)求證：平面ABF；(2)求AB的長度及四面體ABEF的體積．20．已知函數(shù)，.(1)若為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)在（1）的條件下，當時，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的一個上界.若函數(shù)在上是以5為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.21．摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為米，設置有個座艙.游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，當?shù)竭_最高點時距離地面米，勻速轉動一周大約需要分鐘.當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時.

(1)經過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關于的函數(shù)關系式滿足（其中，，），求摩天輪轉動一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，距離地面的高度第一次恰好達到米?(3)若游客乙在游客甲之后進入座艙，且中間間隔個座艙，游客乙進入座艙后距離地面高度能否超過游客甲，若能，是在甲進入后的多少分鐘以后?22．在銳角△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，設向量，，且.(1)求證：(2)求的取值范圍.1．B【分析】先將集合和集合化簡，再利用集合的交集運算可得答案.【詳解】，即，由指數(shù)函數(shù)的單調性可得，，，由，解得，，.故選：B.2．C【分析】首先化簡，再求的虛部.【詳解】由題意可知，，所以的虛部為.故選：C3．C【分析】根據(jù)線線，線面，面面的位置關系，即可判斷選項.【詳解】A.若，，，則與相交，平行，故A錯誤；B.若，，則或，故B錯誤；C.若，，則，且，則，故C正確；D.若，，，但沒注明，所以與不一定垂直，故D錯誤.故選：C4．A【分析】根據(jù)誘導公式求解即可.【詳解】.故選：A5．B【分析】首先求，再求投影向量.【詳解】，∴投影向量為．故選：B6．C【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)分段函數(shù)單調性的定義，列式求解.【詳解】∵滿足對任意，都有成立，∴在上是減函數(shù)，，解得，∴a的取值范圍是.故選：C．7．D【分析】根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)和極差的定義舉例即可判斷AB，根據(jù)平均數(shù)和方差的定義利用反證法即可判斷C，根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義利用反證法即可判斷D.【詳解】解：對于A，中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，則這5個數(shù)可以為，故A不符題意；對于B，中位數(shù)為3，極差為4，則這5個數(shù)可以是，故B不符題意；對于C，平均數(shù)為3，方差為2，設這5個數(shù)分別為，則，，若取，則，則，所以，所以這四個數(shù)可以為與，這與矛盾，所以6不存在，故C不符題意；對于D，按從小到大的順序設這5個數(shù)為，因為，所以第25百分位數(shù)為5個數(shù)中從小到大排列的第二個數(shù)，又第25百分位數(shù)為2，所以，因為平均數(shù)為4，所以，則，若三個數(shù)都不是6，則，這與矛盾，故三個數(shù)一定會出現(xiàn)6，故D符合題意.故選：D.8．B【分析】首先根據(jù)向量的運算，以及向量模的幾何意義，確定，再結合向量模的計算公式，以及面積公式，即可求解.【詳解】∵，故點B到直線AC的最短距離為BC，∴．∵，，∴由勾股定理可得，故面積，故面積的最大值為．故選：B9．ACD【分析】對于A，由條形圖有變化進行判斷即可；對于B，先對這9年的增速排列，找到第5個數(shù)就是中位數(shù)；對于C，求出極差進行判斷；對于D，從條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務量遠超過210億件，從而可得平均數(shù)超過210億件．【詳解】由條形圖可知，這9年我國快遞業(yè)務量逐年增加，故A正確；將各年我國快遞業(yè)務量同比增速按從小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.8%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位數(shù)為第5個數(shù)48.8%，故B錯誤；這9年我國快遞業(yè)務量同比增速的極差為，故C正確；由條形圖可知，自2016年起，各年的快遞業(yè)務量遠超過210億件，故快遞業(yè)務量的平均數(shù)超過210億件，故D正確．故選：ACD．10．BD【分析】對A，如果，那么，命題不成立；對B，使用基本不等式得，即可得的最大值；對C，函數(shù)，當且僅當時取等號，此時無解；對D，根據(jù)題意構造，將“1”替換為，代入用基本不等式求解.【詳解】對于A，如果，那么，最小值是2不成立，故A錯誤；對于B，如果，，，則，整理得，解得，當且僅當，時取等號，所以的最大值為3，故B正確；對于C，函數(shù)，當且僅當時取等號，此時x無解，故不能取得最小值2，故C錯誤；對于D，如果，，且，那么，當且僅當，時取等號，故D正確．故選：BD.11．ABC【分析】對A，根據(jù)向量平行的性質與數(shù)量積的運算判斷即可；對B，根據(jù)平行四邊形法則，結合單位向量的方法可得是以為直角的等腰直角三角形，進而判斷；對C，根據(jù)、、三點共線，設，將替換為后與已知式子對比，用t表示，根據(jù)二次函數(shù)性質即可判斷；對D，根據(jù)基底向量的性質結合平行四邊形法則判斷即可【詳解】對A，若存在負數(shù)，使得，則成立；當時，可能夾角為鈍角，不滿足，故A正確；對B，由，結合平行四邊形法則，可得與同向的單位向量和與同向的單位向量，和與同向的單位向量構成正方形的兩邊與對角線.故，且為的角平分線.又是邊的中點，由三角形三線合一可得是以為直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.故B正確；對C，如圖所示：∵在上，即、、三點共線，則可設，又∵，∴，∵，則，，令，時，取得最大值為，故C正確對D，已知平面內的一組基底，，則向量，為以，為邊的平行四邊形的兩條對角線，故，一定不共線，故能作為一組基底，故D錯誤；故選：ABC12．ABD【分析】對于A，根據(jù)題意直接計算四面體的體積和表面積，對于B，可證得的長度就是點到平面的距離，然后根據(jù)題意求解，對于C，由正方體的性質可證得平面，從而可判斷，對于D，取的中點，連接，，，，可得等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，從而可求出其面積.【詳解】對于A，因為正方體的棱長為1，所以四面體為，表面積為，所以四面體的體積與表面積的數(shù)值之比為，所以A正確，對于C，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即異面直線與所成的角為，故C不正確；

對于B，根據(jù)證明的方法，同理可得，因為，平面，所以平面，則的長度就是點到平面的距離，顯然為正三角形的中心，因為正方體的棱長為1，所以正三角形的邊長為，所以，又，所以，即點到平面的距離為，故B正確；對于D，取的中點，連接，，，，因為∥，∥，，，所以∥，,因為，，所以，所以四邊形為等腰梯形，所以等腰梯形就是過點，，的平面截該正方體所得截面，如圖：

因為，，，所以等腰梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，即過點，，的平面截該正方體所得截面的面積為，故D正確.故選：ABD.關鍵點點睛：此題考查幾何體的體積和表面積的求法，考查點到面的距離的求法，考查求異面直線所成的角，考查正方體的截面問題，解題的關鍵是充分利用正方體的性質結合已知條件求解，考查空間想象能力，屬于較難題.13．32【分析】根據(jù)方差的性質計算即可.【詳解】若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為，故3214．【分析】代入向量垂直的坐標表示公式，即可求解.【詳解】由題意可知，，得.故15．【分析】根據(jù)題意，分別求兩個函數(shù)的值域，再轉化為子集問題，即可求解.【詳解】若對任意的，總存在，使成立，只需在區(qū)間函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集，因為函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減，所以函數(shù)的值域為．對函數(shù)，．①當時，為常數(shù)，不符合題意，舍去；②當時，的值域為，此時只需，解得；③當時，的值域為，不符合題意，舍去．綜上，m的取值范圍為．故16．【分析】由題意，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調區(qū)間，列出區(qū)間端點滿足的不等式求解即可.【詳解】，因為，函數(shù)在上單調遞減，所以，得．當時，，所以，解得．故17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)百分數(shù)的定義，結合頻率分布直方圖可得答案；（2）由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時間為的學生中男生有6人，女生有人，按照比例抽樣，利用古典概型可解.【詳解】（1）設女生一周閱讀時間的分位數(shù)為a，，解得；（2）由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時間為的學生中男生有6人，女生有（人），若從中按比例分別抽取7人，則男生有2人，記為，，女生有5人，記為，，，，，則樣本空間，共有21個樣本點．記事件A＝“恰好一男一女”，則包含10個樣本點，故所求概率．18．(1)最大值，最小值－1(2)【分析】（1）根據(jù)同角基本關系式及倍角公式，輔助角公式進行化簡，再利用正弦函數(shù)的性質求得答案；（2）由已知結合平方關系求得，將，結合兩角和的余弦公式化簡得出答案.【詳解】（1），，∴，∴時，即時，取得最大值；時，即時，取得最小值－1．（2）因為，所以，又，所以．因為，所以，所以．19．(1)證明見解析(2)6；【分析】（1）根據(jù)線線平行，轉化為證明平面平面ABF，即可證明；（2）首先根據(jù)四棱錐的體積，求棱長，再根據(jù)面面垂直的性質定理求四面體ABEF的高，再代入體積公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是菱形，所以，,且平面，平面，平面，平面，所以平面DCE，平面DCE，又AB，AF是平面ABF內的兩條相交直線，∴平面平面ABF，又平面DCE，∴平面ABF．（2）連接BD，與AC交于點O，連接EO，則O為AC，BD的中點，∵四邊形ACEF是菱形，，∴是正三角形，∴，∵平面平面ACEF，且交線為AC，平面ACEF，∴平面ABCD，同理，得平面ACEF，設正方形ABCD的邊長為a，則，，∴，解得，∴，四面體ABEF在面AEF上的高為，四面體ABEF的體積為：．.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可化簡求解，（2）利用換元法以及二次函數(shù)的性質即可求解最值，（3）利用對勾函數(shù)的單調性，分別利用函數(shù)單調性求解，的最值即可求解.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，所以對定義域內的，有恒成立，即，即，解得，經檢驗，不合題意，故；（2）由（1）得，令，由，所以，則，其對稱軸為，當時，，當時，，所以值域為，又因為函數(shù)存在零點，等價于方程有解，所以實數(shù)的取值范圓是；（3）由已知，在上恒成立，即在上恒成立，化簡得在上恒成立，所以，設，因為，即得，記，，易得在上單調遞增，所以，由于當且僅當時取等號，由于，故根據(jù)對勾函數(shù)的性質可知在上單調遞減，故，因此實數(shù)的取值范圍是.21．(1)，(2)分鐘(