4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案（原卷版）

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題．(重點(diǎn))2.能建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問題．(重點(diǎn))4.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)據(jù)分析的能力．(重點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程思考：解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么？【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1.、人口問題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問題．認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關(guān)政策提供依據(jù)．早在1978年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(，1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型y=y0ert，其中t表示經(jīng)過的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率．下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)如果按上表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在哪一年我國(guó)的人口數(shù)達(dá)到13億？2、2010年，考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的％，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的?3.已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為0.3%；1970年世界人口為36億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為2.1%．（1）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是1650年的2倍？什么時(shí)候世界人口是1970年的2倍？（２）實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達(dá)到72億．你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有何看法？4.在一段時(shí)間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個(gè)月，那么1萬只野兔增長(zhǎng)到1億1只野兔大約需要多少年？5.1959年，考古學(xué)家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測(cè)出碳14的殘余量約為初始量的62.76%，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？6.假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案？7.某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤(rùn)的25%?，F(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x,y=log7x,其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單擇題1．某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，……現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋12．某公司市場(chǎng)營(yíng)銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營(yíng)銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是()A．310元 B．300元C．390元 D．280元3．有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是()A．u＝log2t B．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2) D．u＝2t－24.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min，那么c和A的值分別是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,165．一家旅社有100間相同的客房，經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營(yíng)實(shí)踐，旅社經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價(jià)格與住房率之間有如下關(guān)系：每間每天定價(jià)20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天達(dá)到最高，則每間應(yīng)定價(jià)為()A．20元 B．18元C．16元 D．14元二、多選題6．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為千米，它的橫坐標(biāo)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)超過6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物D．當(dāng)飛行物的橫坐標(biāo)不超過6時(shí)，炮彈可以擊中飛行物7.三個(gè)變量，，隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155則下列說法合理的是（

）A．關(guān)于呈指數(shù)增長(zhǎng) B．關(guān)于呈指數(shù)增長(zhǎng)C．關(guān)于呈直線上升 D．的增長(zhǎng)速度最快8.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為y＝x三、填空題9．已測(cè)得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)擬合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又測(cè)得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2)，則選用________作為擬合模型較好．10．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價(jià)付費(fèi))；超過3km但不超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了________km.11．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．四、解答題12．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為a，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上年增加p%.(1)寫出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式；(2)若使年產(chǎn)量?jī)赡陜?nèi)實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，求p.13．某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開始六個(gè)月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(rùn)(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(rùn)(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算．請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn)(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】一、單選題1．加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率P與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘2．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間會(huì)揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個(gè)新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．125 B．100C．75 D．50二、多選題3．某打車平臺(tái)欲對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用y（單位：元）與打車?yán)锍蘹（單位：km）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（

）A．當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘客選擇甲方案更省錢B．當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可C．打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多4．某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，若使這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場(chǎng)要求，則過濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．7 B．8 C．9 D．105．邊際函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)基本概念，在國(guó)防、醫(yī)學(xué)、環(huán)保和經(jīng)濟(jì)管理等許多領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產(chǎn)75臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺(tái)的收入函數(shù)（單位：元），其成本的數(shù)（單位：元），利潤(rùn)是收入與成本之差，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為，則以下說法正確的是（

）A．取得最大值時(shí)每月產(chǎn)量為臺(tái)B．邊際利潤(rùn)函數(shù)的表達(dá)式為C．利潤(rùn)函數(shù)與邊際利潤(rùn)函數(shù)不具有相同的最大值D．邊際利潤(rùn)函數(shù)說明隨著產(chǎn)量的增加，每臺(tái)利潤(rùn)與前一臺(tái)利潤(rùn)差額在減少三、填空題6．2008年我國(guó)人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1.25%，則________年我國(guó)人口將超過20億．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)7．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級(jí)特大地震．地震專家對(duì)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4注：地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量．地震強(qiáng)度(x)和震級(jí)(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖(如圖)可知a的值等于________．(取lg2≈0.3進(jìn)行計(jì)算)四、解答題8．某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測(cè)算，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與月產(chǎn)量（噸）之間的關(guān)系式為：，已知此生產(chǎn)線月產(chǎn)量最大為20噸．(1)求月產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；(2)經(jīng)過評(píng)估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為32萬元，且最大利潤(rùn)不超過200萬元，由該生產(chǎn)線月產(chǎn)量的最大值應(yīng)為多少？9．因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入成本500萬元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等成本共為萬元，每年的銷售收入為260萬元，設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬元．(1)寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利？（利潤(rùn)=銷售收入總成本）(2)問使用到第幾年末，年平均利潤(rùn)最大，最大值為多少？10．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí))11．我國(guó)某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)（千臺(tái)）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤(rùn)為1650萬元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤(rùn)（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大?并求最大年利潤(rùn).12．為了解決受新冠疫情影響，文具用品滯銷的問題，文具店老板利用某直播平臺(tái)賣貨，銷售的文具主要有圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆，價(jià)格依次為2元/支、10元/本、14元/個(gè)、25元/支.為了增加銷量，老板決定對(duì)這4種文具進(jìn)行1次優(yōu)惠大促銷：優(yōu)惠活動(dòng)①，提供滿50元減4元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加；優(yōu)惠活動(dòng)②，提供買1套文具（包括1支圓珠筆、1本筆記本、1