人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第二冊)同步講義第21講 拓展二：含參函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值討論 含解析

拓展二：含參函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值討論知識(shí)點(diǎn)1含參函數(shù)單調(diào)性的討論對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性問題，求解的關(guān)鍵在于思考，相對(duì)于具體函數(shù)而言含參函數(shù)的不確定性在哪里？分類的邏輯是什么？分類的不同層次及各層次分類的依據(jù)又是什么？1、對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性的分析思路(1)如何分析原函數(shù)的單調(diào)性？答：分析原函數(shù)的單調(diào)性等價(jià)于分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性.(2)那如何分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性呢？。答：數(shù)形結(jié)合，若能得到導(dǎo)函數(shù)的“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式，與其零點(diǎn)有莫大關(guān)系)），看圖“說話”便可，進(jìn)而得出原函數(shù)的“趨勢圖”（即原函數(shù)的大致趨勢）也不難了(看下圖).(導(dǎo)函數(shù)看“零點(diǎn)”，原函數(shù)看單調(diào)性)(3)那要得到導(dǎo)函數(shù)的“穿線圖”，要注意什么呢？答：掌握“一次函數(shù)”型、“二次函數(shù)”型、“指數(shù)函數(shù)”型常見模型，畫“穿線圖”思考以下問題：①導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)；②若存在，有幾個(gè)零點(diǎn)呢？若有兩個(gè)以上，哪個(gè)零點(diǎn)大？③零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)？(4)怎么做到準(zhǔn)確的分類討論呢？答：①熟悉模型，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)；②做到分類討論“不漏不重”，把每項(xiàng)分類看成一個(gè)集合，每個(gè)集合的交集為空集則“不重”，所有集合的并集為參數(shù)的全集則為“不漏”.2、常見的分類標(biāo)準(zhǔn)有哪些呢？一般的含參的函數(shù)單調(diào)性的討論常見的分類標(biāo)準(zhǔn)有：（1）函數(shù)類型；（2）開口方向；（3）判別式；（4）導(dǎo)數(shù)等于0有根無根；（6）兩根大??；（7）極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi).3、解含參函數(shù)單調(diào)性問題的通性通法首先要明確題意，確定參數(shù)的范圍和函數(shù)的定義域，其次按照導(dǎo)函數(shù)的類型、導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)、零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)、零點(diǎn)的大小進(jìn)行分類討論，最后進(jìn)行整理和總結(jié)就能得到正確的結(jié)論.含參函數(shù)單調(diào)性問題的解決是層遞進(jìn)的，在遞進(jìn)的過程中，因參數(shù)在不同位置，使得問題的解決出現(xiàn)了不確定性，為了將不確定的問題轉(zhuǎn)化為確定性的問題，需進(jìn)行分類討論.討論含參函數(shù)的單調(diào)性，其本質(zhì)就是討論導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化情況，所以討論的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)解析式中的符號(hào)變化部分，即導(dǎo)數(shù)的主要部分，簡稱導(dǎo)主．討論時(shí)要考慮參數(shù)所在的位置及參數(shù)取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的影響，我們可按以下步驟進(jìn)行：以下是對(duì)單調(diào)性一般步驟的討論（解決了討論的大部分單調(diào)性問題）：第一步：求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，因此求單調(diào)區(qū)間必須先求定義域，定義域有三種常見的情況需要討論。（1）偶次根式：根號(hào)下整體不小于0；（2）分式：分母不等于0；（3）對(duì)數(shù)：真數(shù)大于0.第二步：求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是分式一般先通分，并且還要考慮能不能因式分解。若導(dǎo)函數(shù)帶分母，通分因式分解徹底后，判斷導(dǎo)數(shù)分子最高次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)，有可以討論該參數(shù)得0和不得0，最高次項(xiàng)系數(shù)是否為0影響的是函數(shù)的類型；（最高次冪的系數(shù)是否為0，即“零不零”）第三步：令求出它的根，根的個(gè)數(shù)一般有三種情況：無根、一個(gè)根，兩個(gè)根。（導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)，即“有沒有”）導(dǎo)數(shù)等于0得到的方程若為一元二次方程，可判斷其判別式的符號(hào)：當(dāng)判別式小于等于0時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)為正，則導(dǎo)數(shù)恒大于等于0，函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，則導(dǎo)數(shù)恒小于等于0，函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)判別式大于0時(shí)，可以結(jié)合韋達(dá)定理分析導(dǎo)數(shù)等于0的兩根與定義域的關(guān)系，確定單調(diào)區(qū)間；（2）導(dǎo)數(shù)等于0得到的方程不是二次函數(shù)時(shí)，根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷有根無根，若有根，再判斷其與定義域的關(guān)系，若根在定義域內(nèi)，且為變號(hào)零點(diǎn)，則根為極值點(diǎn)，再判斷定義域內(nèi)極值點(diǎn)分成的各段區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而得到函數(shù)的單調(diào)性；(導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否在函數(shù)定義域或指定區(qū)間內(nèi)，即“在不在”)（3）如果根不能被求解，并且導(dǎo)數(shù)不能被判斷出正的或負(fù)的，那么我們就需要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，利用二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來確定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，然后利用最值得到一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而判斷出原函數(shù)的單調(diào)性。第四步：確定分類點(diǎn)：①是否存在根（判斷根是否在定義域中），得到參數(shù)的分類點(diǎn)。②，得到參數(shù)的分類點(diǎn)。③，得到參數(shù)的分類點(diǎn)。④，得到參數(shù)的分類點(diǎn)。第五步：若導(dǎo)數(shù)等于0，方程有兩個(gè)根且均在定義域內(nèi)，當(dāng)兩根大小不確定時(shí)，可通過比較兩根大小確定討論的分界點(diǎn).(導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)之間的大小關(guān)系，即“比不比”)第六步：判斷分定義域的每個(gè)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)的正負(fù)情況，如果導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增，如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。以下三種常見方法可用來判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)：（1）數(shù)軸穿根法：（2）函數(shù)圖像法：（3）區(qū)域判斷法：只需要判斷每個(gè)因式的正負(fù)。第七步：綜述，這是許多人往往忽視的一個(gè)步驟，少了這一步，會(huì)被扣分的。4、各模型分類討論的標(biāo)準(zhǔn)分類討論要確定每步分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到有根有據(jù).“一次函數(shù)”型：是否一次函數(shù)，直線斜率大于0還是小于0，函數(shù)零點(diǎn)與定義域端點(diǎn)的大小；1.先求函數(shù)的定義域；2.求導(dǎo)函數(shù)（能通分要通分，化為乘除分解式，便于討論正負(fù)）；3.先討論函數(shù)只有一種單調(diào)區(qū)間的（導(dǎo)函數(shù)同號(hào)的）情況；4.再討論函數(shù)有增有減的情況（導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界）“二次函數(shù)”型：對(duì)于導(dǎo)函數(shù)為二次型含參函數(shù)單調(diào)性的討論，通法如下：第一步，先看二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)，若含有參數(shù)，則將系數(shù)分大于0、小于0和等于0三種情況進(jìn)行討論；若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則將問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題去解決；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則進(jìn)入第二步.第二步，對(duì)一元二次方程的判別式分△≤0或△>0兩種情況進(jìn)行討論，若△≤0，則函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；若△>0，則進(jìn)入第三步.第三步，求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)根，判斷兩根是否在定義域內(nèi)，若兩根都不在定義域內(nèi)或只有一個(gè)實(shí)根在定義域內(nèi)，可以借助二次函數(shù)圖象來解決；若兩根都在定義域內(nèi)，則進(jìn)入第四步.第四步，判斷兩個(gè)根的大小，從而使問題得解.“指數(shù)函數(shù)”型：是否存在零點(diǎn)；利用導(dǎo)函數(shù)正負(fù)性的等價(jià)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)討論.5、分類點(diǎn)示例（1）以導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的大小為分類依據(jù)示例1．設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)；討論的單調(diào)性；【解析】因?yàn)?，所以，①?dāng)即時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；②當(dāng)即時(shí)，在是增函數(shù)；③當(dāng)即時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，在是增函數(shù)；注：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)大小不確定時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如圖所示.（2）以導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)為分類依據(jù)示例2．已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則或，（1）當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)恒成立，即在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)，即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)，即時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.注：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)不能確定時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如圖所示.（3）以導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)為分類依據(jù)示例3．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；【解析】，記，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，所以且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上可知：時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為注：當(dāng)不確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)（或零點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如圖所示.（4）以導(dǎo)函數(shù)的類型為分類依據(jù)示例4．已知函數(shù)，若，試討論函數(shù)的單調(diào)性.【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，（1）當(dāng)時(shí)，，令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得或，①若，即時(shí)，由，可得或，由，可得，即函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.②若，即時(shí)，由，可得或，由，可得，即函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.③若，即時(shí)，，可得在單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.注：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為類二次函數(shù)時(shí)，若其類型不確定，討論函數(shù)單調(diào)性的基本步驟如圖所示.知識(shí)點(diǎn)2含參函數(shù)極值的討論1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的步驟2、已知函數(shù)的解析式求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)或極值．解決此類問題的一般步驟為：(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)及f′(x)＝0的根；(3)根據(jù)方程f′(x)＝0的根將函數(shù)定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列出表格，檢查導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)左右f′(x)的值的符號(hào)，并得出結(jié)論．注：如果解析式中含有參數(shù)，需分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)主要有以下幾個(gè)方面：(1)f′(x)＝0的根是否存在；(2)f′(x)＝0根的大?。?3)f′(x)＝0的根與定義域的關(guān)系等．知識(shí)點(diǎn)3含參函數(shù)最值的討論1、求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]內(nèi)的最值的思路(1)若所給的閉區(qū)間[a，b]不含有參數(shù)，則只需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，并求f′(x)＝0在區(qū)間[a，b]內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含有參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．注：求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．2、用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問題的一般步驟第一步：(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和極值；第三步：(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn)行比較，確定f(x)的最大值與最小值；第五步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范.考點(diǎn)一含參函數(shù)的單調(diào)性討論導(dǎo)主一次型1．（2022·陜西漢中·統(tǒng)考一模）已知，討論的單調(diào)性；【解析】i）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；ii）當(dāng)時(shí)，令解得：可得時(shí)，時(shí)，所以在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；2．（陜西省渭南市華陰市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性；【解析】已知，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，且時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)；時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．3．（安徽省六安市省示范高中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，

②當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)．（2）由得，∴，

令，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∴故．4．（河南省TOP二十名校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研模擬卷二理科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令得，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.導(dǎo)主二次型此類問題中，導(dǎo)數(shù)的解析式通過化簡變形后，通?？梢赞D(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)的含參問題．對(duì)于二次三項(xiàng)式含參問題，有如下處理思路：(1)首先需要考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)．如果二次項(xiàng)系數(shù)有參數(shù)，就按二次項(xiàng)系數(shù)為零、為正、為負(fù)進(jìn)行討論；(2)其次考慮二次三項(xiàng)式能否因式分解，如果二次三項(xiàng)式能因式分解，這表明存在零點(diǎn)，只需討論零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，如果x1，x2都在定義域內(nèi)，則討論個(gè)零點(diǎn)x1，x2的大?。蝗绻稳?xiàng)式不能因式分解，這表明不一定存在零點(diǎn)，需討論判別式Δ≤0和Δ>0分類討論；（1）可因式分解型①一根含參5．（2022·廣東潮州·校考三模）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】若時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，若時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6．（2022·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)定義域R，求導(dǎo)得，若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；若，恒有．即在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是和.7．（2022·湖南長沙·長沙縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)閯t：當(dāng)，時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得或(舍去)，令，，令，所以在上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)8．（2022·安徽蕪湖·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)討論f（x）的單調(diào)性；【解析】由題意得：f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)時(shí)，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.9．（廣東省汕頭市2023屆高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，．討論的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)?，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令得：，令時(shí)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令得：，令時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，舍去，此時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.10．（2021春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，或，①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單減；②當(dāng)，即時(shí)，由得；由得；則函數(shù)在和上單減；在上單增；③當(dāng)，即時(shí)，由得；由得；則函數(shù)在和上單減；在上單增；11．（吉林省部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).討論的單調(diào)性;【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí),恒成立,則在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),由,得,由,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；②兩根含參12．（2022春·四川南充·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】的定義域?yàn)椋?令，則得到導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，或，由于分母為正，故我們只關(guān)注分子函數(shù)，其為二次函數(shù)，借助其圖像，以兩個(gè)零點(diǎn)的大小關(guān)系為分類標(biāo)準(zhǔn)得到如下：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，只有單增區(qū)間；13．（2022·四川綿陽·鹽亭中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；【解析】（1）由題意，的定義域?yàn)?，，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．14．（2021·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】的定義域是，，（i）當(dāng)時(shí)，，在遞減，（ii）當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增；（iii）當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增；15．（2022春·新疆省直轄縣級(jí)單位·高二新疆石河子一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）不可因式分解型①參數(shù)在二次項(xiàng)16．（2022·河南·馬店第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．其中．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；17．（2022·河南駐馬店·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，R．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題意得的定義域?yàn)椋?，①時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，②時(shí)，令得或（舍）當(dāng)，單調(diào)遞減當(dāng)，，單調(diào)遞增．18．（2022·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，方程在時(shí)的解為，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.19．（云南省部分學(xué)校2023屆高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）解：，定義域?yàn)椋?（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，恒成立.解可得，（舍去），.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，解可得，（舍去），（舍去）.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②參數(shù)在一次項(xiàng)20．（廣東省深圳市深圳中學(xué)2023屆高二上學(xué)期第二次階段測試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，令，得，.當(dāng)變化時(shí)，，變化情況列表如下：-0+0-極大值極小值綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.21．（江西省南昌市重點(diǎn)校2023屆高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)?，，①若恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即時(shí)，在上是單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則的根為，，由，得，，由，得或，，得.∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，時(shí)，在上是單調(diào)遞增；時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.22．（2022·河南開封·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，在一元二次方程中，，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；③當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的根，分別記為，有，，可得，有，可得此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，沒有減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；23．（河南省洛陽市孟津縣孟津區(qū)第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題意得的定義域?yàn)椋瑒t.因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，令，得，，則當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.③參數(shù)在常數(shù)項(xiàng)24．（2022·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中為非零實(shí)數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，則，①當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，令，得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，，舍去.則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；25．（江西省贛州市九校2023屆高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理）試題）已知（）．討論的單調(diào)性；【解析】由已知，（）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則，，解得（舍），，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.26．（2022·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)性．【解析】由題意可知對(duì)于二次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，恒成立，f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，分別是，當(dāng)，f(x)在單調(diào)遞增；當(dāng)，f(x)在和單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)，f(x)在（0，＋∞）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)f(x)在單調(diào)遞增；單調(diào)遞減．27．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）由得，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，①?dāng)，即時(shí)，恒成立，在單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，的解或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，同理在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．導(dǎo)主指數(shù)型①指數(shù)一次型28．（黑龍江哈爾濱市第一二二中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率，又.所以，切線方程為，整理可得.（2）定義域?yàn)镽，.當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，所以在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解，即，解得，解，得，則在上單調(diào)遞增，解，得，則在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.29．（陜西省西安市曲江第一中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，得，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.30．（黑龍江省哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月份月考數(shù)學(xué)試卷）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：時(shí)，在R上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.31．（河北省張家口市2023屆高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②指數(shù)二次可因式分解型32．（廣東省東莞市2023屆高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】的定義域是，，時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；時(shí)，由得或，時(shí)，，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；時(shí)，，恒成立，的增區(qū)間是，無減區(qū)間；時(shí)，，或時(shí)，，時(shí)，，的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；綜上所述，時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)；時(shí)，在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)；時(shí)，在區(qū)間和上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)；33．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．若，討論的單調(diào)性；【解析】由題意知，，的定義域?yàn)?，．若，則，所以在上單調(diào)遞減；若，令，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．34．（2022·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】，令，則x=a或ln2，若，，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；35．（2022·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】由題知，①若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②若，則，，在上單調(diào)遞增；③若，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.36．（2022·全國·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】設(shè)．當(dāng)時(shí)，則，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．③指數(shù)二次不可因式分解型37．（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)討論的單調(diào)性；【解析】由，求導(dǎo)得，易知恒成立，故看的正負(fù)，即由判別式進(jìn)行判斷，①當(dāng)時(shí)，即，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，即或，令時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)或，，則在和上單調(diào)遞增；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.38．（江蘇省蘇州市張家港市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性調(diào)研數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】的定義域?yàn)椋瑢?duì)求導(dǎo)得：，令1）若，則，即，所以在上單調(diào)遞增.2）若①當(dāng)時(shí)，即，則，即，所以在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，即，由，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),在上是單調(diào)遞增的，在上是單調(diào)遞減的.39．（江蘇省徐州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】(1)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為與，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為與，單調(diào)遞增區(qū)間為；導(dǎo)主對(duì)數(shù)型40．（2022·全國·安陽市第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中且．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，故恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.41．（江蘇省常州市第三中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，即，解得：.令，解得：；令，解得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.42．（河南省（菁師聯(lián)盟）2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量監(jiān)測考試（文科）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，.討論的單調(diào)性；【解析】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.導(dǎo)主正余型43．（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論在上的單調(diào)性；【解析】(1)由函數(shù)，可得令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．44．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性；【解析】由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；綜上所述：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.45．（2022·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．討論的單調(diào)性；【解析】，當(dāng)時(shí)，，，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得：，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.46．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；【解析】，若時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故此時(shí)在為減函數(shù)，無增區(qū)間.當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，，則，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，若，則，，則，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).考點(diǎn)二含參函數(shù)的極值討論47．（2022·全國·贛州市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論在定義域內(nèi)的極值；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)a=0時(shí)，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒小于0，因此在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；當(dāng)時(shí)，令，可以得到.在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，因此為的極小值點(diǎn).綜上所述，只有當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.48．（2022·新疆喀什·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，函數(shù)的極小值為.49．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．求的極值；【解析】的定義域?yàn)?，且．①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，無極值，②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；在處取極小值，無極大值．綜上所知，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值．50．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．求函數(shù)的極值；【解析】由，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值．當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值．綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，無極大值．51．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).求的極值；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

當(dāng)時(shí)，在恒成立，在單調(diào)遞減，故無極值；當(dāng)時(shí)，令，則，

時(shí)，，在單調(diào)遞減；時(shí)，，在單調(diào)遞增；故在取極小值，且，無極大值綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，在取極小值，且，無極大值.52．（2022·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)求函數(shù)的極值;【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，∵，∴∴由得或由得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．∴的極大值：的極小值：53．（2022·福建莆田·莆田二中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).若函數(shù)在上有極值，求在上所有極值的和；【解析】，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，無極值.當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)實(shí)根，設(shè)其為，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以為的極大值，為的極小值.由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，所以在上的所有極值的和為.54．（2022·河南·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)求函數(shù)的極值；【解析】因?yàn)?，（）所以（），則，令，則或，①當(dāng)時(shí)，方程在上無解，則當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即的極小值為，無極大值，②當(dāng)時(shí)，由，得（），隨的變化情況如下表100遞增極大值遞減極小值遞增所以在處取得極大值，的極大值為，在處取得極小值，則的極小值為，③當(dāng)時(shí)，由，得，，隨的變化情況如下表100遞增極大值遞減極小值遞增所以在處取得極小值，的極小值為，在處取得極大值，則的極大值為，④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)無極值，綜上，當(dāng)時(shí)，的極小值為，無極大值，當(dāng)時(shí)，的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，的極小值為，極大值為，當(dāng)時(shí)，無極值，55．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).討論函數(shù)的極值；【解析】顯然的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；故在處取得唯一的極大值，且極大值為1.若，則當(dāng)時(shí)恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值.綜上，當(dāng)時(shí)，的極大值為，無極小值；當(dāng)時(shí)，無極值.考點(diǎn)三含參函數(shù)的最值討論56．（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【解析】(1)(2)當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)，得到方程，解得即可；（2）依題意可得，再對(duì)分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值；(1)解：因?yàn)?，所以，∵曲線在點(diǎn)處的切線垂直于直線，又直線的斜率為1，∴，∴；(2)解：∵，，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.③當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.57．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．求的最小值；【解析】,令，解得，由為增函數(shù)知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以的最小值為.58．（2022·北京房山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的最小值.【解析】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡為，再討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以.所以曲線在處的切線方程為：.（2）.①當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.②當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）1°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當(dāng)，即時(shí)，x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以.3°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.59．（2022·江西南昌·南昌十中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，a>0.求函數(shù)的最值；【解析】，由于，，所以，設(shè)，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，故存在，使.故當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，從而存在，的單增區(qū)間為，單