山東省青島西海岸新區(qū)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

山東省青島西海岸新區(qū)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓M與直線(xiàn)與都相切，且圓心在上，則圓M的方程為（）A. B.C. D.2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若已知圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A.存在極大值點(diǎn) B.在單調(diào)遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解3．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.A. B.C. D.4．已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線(xiàn)C2：–y2=1（n＞0）的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜15．點(diǎn)A是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的最小距離為（）A. B.C. D.6．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.67．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為（）A. B.C. D.8．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.10．正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點(diǎn)，則直線(xiàn)ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．如圖，四面體-，是底面△的重心，，則（）A B.C. D.12．若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（）A.6 B.4C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是______.14．如圖所示，在直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，則點(diǎn)D到平面ACE的距離為_(kāi)_______15．在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中，，則下列說(shuō)法中，正確的有_________（請(qǐng)?zhí)钊胨姓_說(shuō)法的序號(hào)）①當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值②當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值③當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得④當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得平面16．以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在與處都取得極值.（1）求a，b的值；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.18．（12分）甲乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時(shí)投籃結(jié)束，設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響（1）求甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率；（2）求甲獲勝的概率19．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項(xiàng)和請(qǐng)?jiān)冖伲虎?；③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線(xiàn)上，并完成解答20．（12分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知在時(shí)有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題可設(shè)，結(jié)合條件可得，即求.【詳解】∵圓心在上，∴可設(shè)圓心，又圓M與直線(xiàn)與都相切，∴，解得，∴，即圓的半徑為1，圓M的方程為.故選：A.2、C【解析】根據(jù)圖象可得的符號(hào)，從而可得的單調(diào)區(qū)間，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯(cuò)誤，且知，所以存在極小值和，無(wú)極大值，A錯(cuò)誤，同時(shí)無(wú)論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負(fù)數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.3、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性【詳解】的定義域?yàn)?，，令，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：D4、A【解析】詳解】試題分析：由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【易錯(cuò)點(diǎn)睛】計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，要注意；計(jì)算雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí)，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤5、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線(xiàn)，則找出曲線(xiàn)上某點(diǎn)的斜率與直線(xiàn)的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得：解得：故選：A6、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B7、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線(xiàn)的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線(xiàn)只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.8、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.9、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椤⑶?，則，即，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無(wú)法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯(cuò).故選：B.10、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，故選：B11、B【解析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算推出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B12、A【解析】由兩條直線(xiàn)垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由即可求解.【詳解】，令，得，即的單調(diào)遞減區(qū)間是，又在上單調(diào)遞減，可得，即.故答案為：.14、【解析】建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解出平面的一個(gè)法向量，利用公式求解出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)E，OB所在的直線(xiàn)為x軸、y軸，過(guò)垂直于平面的方向?yàn)檩S，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面ACE的法向量，則，即，令，∴故點(diǎn)D到平面ACE的距離.故答案：.15、②④【解析】①結(jié)合得到P在線(xiàn)段上，結(jié)合圖形可知不同位置下周長(zhǎng)不同；②由線(xiàn)面平行得到點(diǎn)到平面距離不變，故體積為定值；③結(jié)合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯(cuò)誤；④結(jié)合圖形得到有唯一的點(diǎn)P，使得線(xiàn)面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，①，當(dāng)時(shí)，，即，，所以P在線(xiàn)段上，所以周長(zhǎng)為，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在處時(shí)，，故①錯(cuò)誤；②，如圖2，當(dāng)時(shí)，即，即，，所以P在上，，因?yàn)椤蜝C，平面，平面，所以點(diǎn)P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當(dāng)時(shí)，即，如圖3，M為中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，P是MN上一動(dòng)點(diǎn)，易知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點(diǎn)，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因?yàn)槠矫?，則，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯(cuò)誤；④，當(dāng)時(shí)，即，如圖4所示，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則P為DE上一動(dòng)點(diǎn)，易知，若平面，只需即可，取的中點(diǎn)F，連接，又因?yàn)槠矫?，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，故只有一個(gè)點(diǎn)P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點(diǎn)睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫(huà)出圖形，利用線(xiàn)面平行，線(xiàn)面垂直及特殊點(diǎn)，特殊值進(jìn)行排除選項(xiàng)，或者用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化等思路進(jìn)行解決.16、【解析】直接根據(jù)已知寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】解：由題得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】(1)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為零，據(jù)此即可求出a和b；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出f(x)在時(shí)的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，又，，解得，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，即，當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：1+0-0+遞增極大值遞減極小值遞增∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，為極大值，又，顯然f（-）＜f(2)所以為在上的最大值.要使對(duì)任意恒成立，則只需，解得或c>1.∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，即得解（2）記“甲獲勝”為事件，由題意，根據(jù)概率的加法公式和獨(dú)立事件的概率公式，即得解【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件“甲在第次投籃投中”，其中設(shè)事件“乙在第次投籃投中”，其中則，，其中記“甲乙各投球一次，比賽結(jié)束”為事件，，事件與事件相互獨(dú)立根據(jù)事件獨(dú)立性定義得：甲乙各投球一次，比賽結(jié)束的概率為【小問(wèn)2詳解】記“甲獲勝”為事件，事件、事件、事件彼此互斥根據(jù)概率加法公式和事件獨(dú)立性定義得：甲獲勝的概率為19、（1），（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項(xiàng)公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）若選①：則，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問(wèn)2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.20、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件即可得到證明.（2）運(yùn)用分組求和的方法，利用等比數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】（1）證明：∵，∴數(shù)列為首項(xiàng)是2，公比是2的等比數(shù)列.∴，∴.（2）由（1）知，，【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查分組求和的方法，屬于基礎(chǔ)題.21、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)在時(shí)有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調(diào)性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當(dāng)時(shí)在定義域上單調(diào)遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意（2）當(dāng)，時(shí)，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，，減區(qū)間