2022屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值（最值）

2022屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)沖刺復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)

【命題趨勢】

1.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函

數(shù)一般不超過三次)，凸顯數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算；

2.以基本函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及最值,求解中多利用

分類討論思想，凸邏輯推理、顯數(shù)學(xué)運算.

【主干梳理】

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)>=/(X)在點X=。的函數(shù)值/(。)比它在點X=。附近其它點的函數(shù)值都小，

/'(a)=0,而且在點x附近的左側(cè)/'(x)<0,右側(cè)/'(x)>0,則點。叫做函數(shù)

y=/(%)的極小值點，/(a)叫做函數(shù)y=/(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)>=/(x)在點x=匕的函數(shù)值/他)比它在點x=b附近的其他點的函數(shù)值都大，

/'修)=0,而且在點x=b附近的左側(cè)r(x)>0,右側(cè)/'(x)<0,則點匕叫做函數(shù)

>=/(x)的極大值點，叫做函數(shù)y=的極大值.

極小值點，極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

2.函數(shù)的最值

(1)在閉區(qū)間［見3上連續(xù)的函數(shù)/(x)在［見以上必有最大值與最小值；

(2)若函數(shù)/(x)在［a,“上單調(diào)遞增，則/(a)為函數(shù)的最小值，/(。)為函數(shù)的最大

值；若函數(shù)/(x)在［a,句上單調(diào)遞減，則/(a)為函數(shù)的最大值，/(。)為函數(shù)的最小值.

⑶若函數(shù)/(力在目上先增后減，極大值為最大值，/(a)與/伍)中較小值即為最

小值；或先減后增，極小值為最小值，/(a)與/伍)中較大值即為最大值；

(4)若函數(shù)/(x)在可上增減增，極大值與/(。)中較大值即為最大值，極小值與/(a)

中較小值即為最小值；若函數(shù)/(x)在可上減增減，極大值與/(a)中較大值即為最大

值，極小值與/(。)中較小值即為最小值.

3.常用結(jié)論

(1)若函數(shù)/(x)的圖象連續(xù)不斷，則/(x)在［。,以上一定有最值.

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點.

【核心考點】

【考點一】根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值

【方法儲備】

函數(shù)極值的辨析：

(1)利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)：①利用/(X)的圖象，找出/(X)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值

點；②/'(X)的圖象，找出r(x)的無女鳥回及由正變負(fù)還是由負(fù)變正，確定函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間和極值；

(2)/(x)在x=Xo處有極值=/'(%0)=0,且/'(X)在x=Xo兩側(cè)異號.

【精研題型】

1.設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為r(x),且函數(shù)y=(17)/'(x)的圖像如下圖

所示，則下列結(jié)論中一定成立的是

B.函數(shù)/(力有極大值/(一2)和極小值/⑴

C.函數(shù)/(%)有極大值/(2)和極小值/(一2)

D.函數(shù)/(力有極大值/(一2)和極小值/(2)

2.如圖是函數(shù)y=f{x）的導(dǎo)函數(shù)y=/'（X）的圖象，給出下列命題：

①一3是函數(shù)y=/（x）的極值點；②一1是函數(shù)y=/（x）的最小值點;

③y=/（x）在x=0處切線的斜率小于零；@y=/（x）在區(qū)間（一3,1）上單調(diào)遞增.

則正確命題的序號是

A.①②B.①④C.②③D.③④

【思維升華】

3.（多選）已知函數(shù)“X）的定義域為（0,+8）,且滿足/（x）+礦（x）=F，

=則下列結(jié)論正確的是

e

A./（X）在（0,+00）上為減函數(shù)B./（X）在（0,+<?）上為增函數(shù)

C.“X）既有極大值又有極小值D.“X）沒有極值

【特別提醒】

1.可導(dǎo)函數(shù)y=/（%）在點與處取得極值的布攀條件是/'（%）=0，且在/左側(cè)與右側(cè)

/'（X）的符號不同；

2.若“X）在（。泊）內(nèi)有極值，那么/（x）在（。力）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)

增或減的函數(shù)沒有極值.

【考點二】求函數(shù)的極值或極值點個數(shù)

【方法儲備】

求極值或極值點個數(shù)：

（1）求函數(shù)/（力極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)/'（X）；③解方程

,r(x)=o,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；④檢般/‘(X)在ra)=o啊艮/左有即闞嶂的

得號，如果左正右負(fù)，那么/(X)在/處取極大值，如果左負(fù)右正，那么/(X)在X。處取

極小值.

(2)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,。)內(nèi)有極值，那么y=/(x)在(。力)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，

即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.

【精研題型】

a,a>b1In%

4.定義max{a,Z?}=1且/(x)=——2e,g(x)=-,令

b,a<bxx

h{x}=max{/(x),g(x)},則h{x}的極大值為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

5.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+辦若x=l是函數(shù)/(x)的極大值點，則函數(shù)/(x)的極

小值為

A.ln2-2B.In2-1C.ln3-2D.In3-1

6.己知函數(shù)/(x)=Inx+^-ax2-2x+^(a>0).

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù)；

【思維升華】

(34o、

7.已知函數(shù)〃x)=sinx+cosx,g(x)=x,直線尤=“彳4%4彳J與函數(shù)

〃x),g(x)的圖象分別交于N,M兩點，記g)=|MN],函數(shù)〃⑺的極大值為

包+也

8.己知函數(shù)f(x)=—x-ax

22

(1)討論函數(shù)/(x)的極值點;

9.已知函數(shù)/,(x)=sin%+Inx-L

(1)求函數(shù)/(x)在點(pln|)處的切線方程；

(2)求證：/(x)在(0,?)上存在唯一的極大值.

【特別提醒】

極值點處的導(dǎo)數(shù)為0,而導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，要檢驗極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)是否異號.

【考點三】已知極值(點)求參數(shù)的值或取值范圍

【方法儲備】

已知函數(shù)極值(個數(shù))，求參數(shù)時，注意以下兩點：

(1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.

(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須尊

可充分性.

【精研題型】

10.若。>0,b>0,且函數(shù)/(x)=4d—辦2一2法+2在x=i處有極值，則上+士的

ab

最小值等于.

11.函數(shù).f(x)=V+f—ax—4在區(qū)間(一1,1)內(nèi)恰有一個極值點，則實數(shù)”的取值范圍為

A.(1,5)B.［1,5)C.(1,5］D.(一8,1)。(5,+00)

12.若函數(shù)/(x)=ar—sin2x在區(qū)間［工，工］上沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是

62

A.a.l或④一2B.一2領(lǐng)h1

C.a>l或。<一2D.a..-l

13.己知函數(shù)/(%)=表，，若/(X)在陽+1］上不單唧，則實數(shù)f的取值范圍是

【思維升華】(取自解答題的第一問)

14.已知向量2,b,滿足|1|=2出隹0,且關(guān)于x的函數(shù)/(X)=+，萬|必+1,取

在R上有極值，則向量的夾角的取值范圍是

15.已知M=(2sin絲,cos絲)，b=(A/3cos—,2cos—),函數(shù)/'(x)=無5在區(qū)間

2222

47r

［0,千］上恰有3個極值點，則正實數(shù)0的取值范圍為

A.［1,|)B.(p|］C.D.(p21

5242344

16.己知函數(shù)=一1.

(1)若f(x)有兩個不同的極值點再，x2,求實數(shù)a的取值范圍；

【考點四】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

【方法儲備】

1.閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)最值的步驟：

①求函數(shù)的定義域；②求/'(力，解不等式/'(x)>0；③得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值

點；④求極值、端點值，比較大小，確定最值.

2.若開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)極值點為函數(shù)的最值點；

【精研題型】

17.定義：函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［a,切上的最大值與最小值之差為函數(shù)/(x)的極差.若定義

在區(qū)間［~2h,3。一1］上的函數(shù)/(x)=V一辦2一屹+2)x是奇函數(shù)，則a+力=

函數(shù)/(x)的極差為.

18.若函數(shù)/。)="阿-一^在｛%］啜卜|4,xeH｝上的最大值為M,最小值為加，則

M—m=

A.衛(wèi)B.2C.2D.H

1644

【思維升華】

19.已知函數(shù)/(x)=x-l-alnx.

(1)若/(x)..O,求a的值；

(2)證明：對于任意正整數(shù)〃，［l+Jl+最)…

【考點五】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值(范圍)

【方法儲備】

1.含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值（極值）的探究,解答時常用到分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想，主

要題型有以下幾種：

（1）求含參數(shù)的函數(shù)在定區(qū)間的最值，需要對參數(shù)分類討論，最后以分段函數(shù)的形式給出

最值.

（2）已知函數(shù)在定區(qū)間的最值（極值），極值點不確定，討論極值點和區(qū)間端點之間的關(guān)

系，再求參數(shù)的值或范圍.

（3）已知函數(shù)在動區(qū)間上的值域或者最值，極值點確定，討論極值點與區(qū)間的位置關(guān)

系.

2.不等式恒成立（有解）問題，往往是構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成利用導(dǎo)數(shù)求最值.

3.需多次求導(dǎo)時，要明確每次求導(dǎo)的目的.

【精研題型】

+—4v尤v0

20.若函數(shù)〃力=0[x；加的值域為l-4'可，則實數(shù)加的取值范圍為

A.[l,4w）B.[1,2]C.[1,右]D,[73,2]

21.（多選）若函數(shù)/（幻=2/一以2（。＜0）在仁，等）上有最大值，則@的取值可能

為

A.-6B.-5C.-4D.-3

22.（多選）當(dāng)xe（O,自時，不等式/+必+1..0恒成立，則實數(shù)。的值可能為

A.--B.-2C.-1D.-3

2

23.已知函數(shù)/Q）=J-/么（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若/（x）＜0在（0,+8）上有解，則

x

實數(shù)勿的取值范圍是.

【思維升華】

24.已知函數(shù)f（x）=31nx-^ox2+（。-3）工+2。一1（。＞0）,/（x）＞（）的解集為

（m,n）,若/（x）在（0,+8）上的值域與函數(shù)/（/（x））在（加,〃）上的值域相同，則a的取值

范圍為

910

A.[1,+oo)B.[—,4-oo)C.[2,+oo)D.[—,4-oo)

53

25.已知函數(shù)/(x)=(or+l)\nx-ex-\{aG/?).

⑴當(dāng)a=0時，求函數(shù)/(x)在[斗,句上的最大值與最小值；

e~

(2)當(dāng)a,0時，若對任意的xe(0,+oo)都有_f(x)<0,求a的取值范圍.

【考點六】生活中的優(yōu)化問題

【方法儲備】

1.由實際問題抽象出函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最優(yōu)解，注意變量的實際意義；

2.用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，根據(jù)實際

意義，該極值點就是最值點.

【精研題型】

26.如圖所示，ABCO是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等

腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABC。四個點重合于圖中的點P，正好形成一個

正四棱柱形狀的包裝盒，若要包裝盒容積丫卜機3)最大，則防長為cm.

27.某公司研發(fā)甲、乙兩種新產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查預(yù)測，甲產(chǎn)品的利潤與投資金額x(單

位：萬元)滿足：/(x)="lnx-/zx+3(。*€/?,。,〃為常數(shù))，且曲線丁=/(打與直線

y=日在(1,3)點相切；乙產(chǎn)品的利潤與投資金額的算術(shù)平方根成正比，且其圖象經(jīng)過點

(4,4).

(1)分別求甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤與投資金額間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)已知該公司已籌集到40萬元資金，并將全部投入甲、乙兩種產(chǎn)品的研發(fā)，每種產(chǎn)品投

資金額均不少于10萬元.問怎樣分配這40萬元，才能使該公司獲得最大利潤？其最大利潤

約為多少萬元？(結(jié)果保留3位小數(shù),參考數(shù)據(jù)：

In10?2.303,In15笈2.708,In20a2.996,In25a3.219,In30?3.401)

【思維升華】

28.(2020江蘇卷理)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，橋址位置

的豎直截面圖如圖所示：谷底。在水平線MN上，橋與

MV平行，00'為鉛垂線(O'在A8上).經(jīng)測量，左側(cè)曲線

A。上任一點。到的距離4(米)與。到0。的距離。

(米)之間滿足關(guān)系式％=焉。2；右側(cè)曲線30上任一點尸到

MN的距離力2(米)與產(chǎn)到。。'的距離〃(米)之間滿足關(guān)系

1,

式山=-----b3+6b.已知點B到。0'的距離為40米.

■800

(1)求橋AB的長度；

(2)計劃在谷底兩側(cè)建造平行于00'的橋墩CO和ER,且CE為80米，其中CE在

3

ABt(不包括端點).橋墩EE每米造價氏(萬元)，橋墩CO每米造價一火(萬元)

2

(左>0),問O'E為多少米時，橋墩CO與爐的總造價最低？

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)

答案和解析

考點一

1.【答案】D

【解析】

【分析】

判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于。則

函數(shù)遞減

【解答】

解：x<-2,l-x>0,(l-x)/'(x)>0則/'(x)>0函數(shù)/(x)增；

一2<%<1,1——x)/'(x)<0則/'(x)<0函數(shù)/(x)減；

1<X<2,1—x<0,(l—x)/'(x)>0則/'(x)<0函數(shù)/(x)減；

x>2,l-x<0,(l-x)r(x)<0則,/(力>0函數(shù)/(X)增；選D.

2.【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象間的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值

及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷出③錯誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值點關(guān)系，結(jié)合圖象

判斷在(-8,-3)上/(x)單調(diào)遞減，在(-3,+8)上單調(diào)遞增，可判斷①④正確，②錯誤.

【解答】

解：由導(dǎo)函數(shù)圖象可知：在(一8,-3)上，/'(x)<(),/(x)單調(diào)遞減，

在(一3,+8)上，f'(x)..0,/(x)單調(diào)遞增，

所以-3是函數(shù)y=/(x)的極小值點，故①④正確，②錯誤;

因為在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值大于零，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知曲線y=/(x)在x=0處切

線斜率大于零，故③錯誤,

故選B.

3.【答案】AI)

【解析】

【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算與積分的運算，同時考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

I,11

由題意可得4(x)=5(lnx)-+c；再由/(e)=-可得c=-,從而可得

,從而再求導(dǎo)判斷即可.

解：???/(x)+V〈x)=3

???h(切'=￥，

J2

9(x)=5(lnx)~+c,

又"(e)=L

e

c,———+c；

e2V'

-2(lnx-l)L,

4x2

故函數(shù)/(X)在(0,+8)上為減函數(shù),

故/(x)沒有極值，

故選AD.

考點二

4.【答案】[-,e]

ee

【解析】

【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，對g(x)求導(dǎo)，分析

g'(x)的正負(fù)，g(x)的單調(diào)性，作出〃(x)=max"(x),g(x)｝的大致圖象，可得〃(x)的極

大值和單調(diào)遞增區(qū)間.

【解答】

InX

解:因為g(x)=——(x>0),

X

所以g，(x)=lz±B,

X

令g(x)=0,則x=e,

當(dāng)0<x<e時，g\x)>0,g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時、g<x)vO,g(x)單調(diào)遞減,

所以g(“)極大值=g(e)=一，

e

1nyI

由/(%)=g(%),即x-2e=—,得工二一,

xe

作出〃(％)=max"(%),g(x)｝的大致圖象如下:

貝!|〃（x）極大值=g（e）=！，且在（0」），（e,+8）上單調(diào)遞減，

ee

在［1,e］上單調(diào)遞增，

e

則〃（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為d,e］.

e

故答案為：

ee

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

先求導(dǎo)，再根據(jù)X=1是函數(shù)/（X）的極大值點，求出。的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的

關(guān)系即可求出極小值.

【解答】

、3

解：,//(x)=ln%+tzx2-—X,尤>0,

I3

/.fix')=—+lax—,

x2

=1是函數(shù)/（X）的極大值點,

31

二/⑴=1+2a——=0,解得a=1.

113x2-3x+2

廣（幻=—+—x—=-------------

x22lx

再令廣（幻=0,解得x=l或x=2,

當(dāng)0<x<l,或無>2時，f'(x)>0,

當(dāng)l<x<2時，f\x)<0,

.?.當(dāng)x=2時，函數(shù)取得極小值，則極小值為"2)=ln2+)x4—■|x2=ln2—2,

故選A.

6.【答案】

解：f\x)=-+ax-2=———2-+1(0,十⑹.

①當(dāng)a=0時，/(力=衛(wèi)士A.

當(dāng)時，/'(x)>0,所以在(0,￡)上單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(；,+oo)時，f(x)<0,所以/(x)在(；,+oo)上單調(diào)遞減.

即函數(shù)/(力只有一個極大值點;，無極小值點.

②當(dāng)0<。<1時，△=4一4。>0,

令/'(x)=0,得"±尸^.

當(dāng)匕盧［笆9什)時，/'(x)〉0,

所以/(力在且三—I上單調(diào)遞增;

I。八。)

、叱(1—Jl-a1+Jl—a?

當(dāng)---------,——-----時，/(x)<0,

(a?J

所以在上［2,1±手2上單調(diào)遞減.

即函數(shù)/(力有一個極大值點匕牛區(qū)，有一個極小值點嗎二巴.

③當(dāng)aNl時，A=4—4aW0,此時/'(x)之0恒成立,

即/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，無極值點.

綜上所述，當(dāng)。=0時，/（X）有且僅有一個極大值點，即只有1個極值點;

當(dāng)時，/（X）有一個極大值點和一個極小值點，即有2個極值點;

當(dāng)a21時，/（X）沒有極值點.

【解析】

本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及分析問題，解決問題的能力，試題具有一定的綜合性.（1）

先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，極值的關(guān)系對a進行分類討論即可求解；

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)的極大值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

由題意可設(shè)M（r,y）,N（/,y2）貝“MN|=binf+cosr-4,利用函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的極

大值即可.

【解答】

解：設(shè)

..3〃v,v9萬

?---SzS----

44

3n9乃、

//(/)=|MN|=|sin/+cos/-t\="(sinf+cos?！?lt;t<—

44)

71

/.=cost+sint=5/2sint+1,

由/?'(/)>0,sint——乃>-也

4JV,

解得網(wǎng)wr〈包，或2萬＜/w也,

424

丘

由///(r)<0,sin<----

2

3兀

解得把＜r＜2?

2

Q-rr

，當(dāng)t=三時，函數(shù)M。有極大值為

3兀3萬.3437

hsin——4-cos——

222

故選D.

8.【答案】

解:/'（X）=^x-a）\nx^-—x-a-x^-—a=（…）

(1)①當(dāng)aKO時，令/'(x)>0,則x>J7

/(X)在(。,五)單減，(加,+8)單增，極小值點為X=G,

②當(dāng)0<4<&時，/(X)在(0,。),(&,+8)單增，(〃,&■)單減，極小值點為x=

極大值點為X=。，

③當(dāng)。=及時，/(X)在(0,+8)單增，無極值點，

■時，/(x)在僅，五),(a,+oo)單增，(&,a)單減，極小值點為x=a,極大值點為

x=yfe

【解析】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于較難題.

(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值，借助分類討論的思想是解題的關(guān)鍵；

9.【答案】解：（1）由/（x）=sinx+lnx-l,得/'（x）=cos尤+’,

X

/吟）=2,

271

7T271

???切線方程為y-In—=一（x-一）,

27t2

即y=-x+\n--l.

712

（2）,/f\x）=cosx+—,

x

TTTT

???當(dāng)―叼時'ra）>°’此時?。┰冢〞r單調(diào)遞增，

■JT\-TT

當(dāng)光￡（—,萬）時,由/"（x）=-sinx——7<0,知/（元）在（一,乃）單調(diào)遞減,

2x2

且/，（生）=2>o,1（萬）=-i+l<o,知存在唯一/G（工,團使得/'（/）=0；

2717t2

TT

當(dāng)XG（1,Xo）時?/''（x）>0，/（X）單調(diào)遞增；

當(dāng)X€（Xo，打）時,f\x）<0,此時/（X）單調(diào)遞減，

f（x）在（0,x0）上單調(diào)遞增,在（尤0,萬）上單調(diào)遞減，

，七是極大值點

綜上，f（x）在區(qū)間（0,萬）內(nèi)存在唯一的極大值.

【解析】（1）對f（x）求導(dǎo)，然后求出函數(shù)/（x）在點（5』n￡）處的切線斜率A,再得到切線

方程；

⑵根據(jù)條件分一吟和X嗚㈤兩種情況，討論函數(shù)/,⑶的符號，得出函數(shù)小）

的單調(diào)性，得出函數(shù)存在唯一的極大值點，即函數(shù)在給定的區(qū)間上存在唯一的極大值.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線方程，考查了轉(zhuǎn)化思想和

分類討論思想，屬中檔題.

考點三

_3

10.【答案】-

2

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、

三相等，屬于中檔題.

求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為。得到a,b滿足的條件，利用基本不等式求

出上+上的最小值.

ab

【解答】

解：由題意，求導(dǎo)函數(shù)/'（x）=12%2—2ar—26，

?.?在x=l處有極值，

/.l2-2a-2b=0f

.\a+b=6f

4〃

當(dāng)且僅當(dāng)b巳=絲，即。=2,匕=4時取等號,

ab

143

所以上+上的最小值等于2.

ab2

故答案_為三3.

2

11.【答案】8

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，函數(shù)零點存在性問題，屬于中檔題.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求出實數(shù)a的取值范圍，進而驗證a=l,5時是否符

合題意，即可得到答案.

【解答】

解：由題意，r(x)=3x2+2x—a,

當(dāng)廣(T)r⑴<0時，函數(shù)/(*)=/+X2一辦—4在區(qū)間(一1,1)內(nèi)恰有一個極值點,

即(1一。)(5-a)<0,解得l<a<5；

當(dāng)a=l時，函數(shù)/(*)=/+/一工一4在區(qū)間(一1,1)上恰有一個極值點》=；；

當(dāng)a=5時，函數(shù)/(x)=V+/—5x—4在區(qū)間(-1,1)上沒有一個極值點，

故實數(shù)a的取值范圍是［1,5),

故選B.

12.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，屬于基礎(chǔ)題.

TTTT7TTT

函數(shù)/(》)=6一sin2x在區(qū)間［2,二］上沒有極值等價于/(X)在［上，生］是單調(diào)函數(shù)，即

6262

/'(處..0或(@),,0恒成立，求導(dǎo)后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求得a的范圍.

【解答】

解：函數(shù)/*)=辦-5苗2工在區(qū)間［2,勺上沒有極值等價于/(幻在［2二］是單調(diào)函數(shù),

6262

TT7T

所以rO)=a-2cos2x..O或/'(x)=a-2cos2兀，()在區(qū)間［―,一］上恒成立；

62

所以4.(2852%)3=2cos(2x—)=1,

6

71

或q,(2cos2x)min=2cos(2x—)=-2,

綜上a.1或q,-2,

故A正確.

13.【答案】(一3,-2)U(T,0)

【解析】

【分析】

先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，則區(qū)間上,/+1］不在某一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即可分類討論得解.

【解答】

解:由題意得，f\x)=ex(x1+2x),

所以，/(x)在(―8,—2),(0,+8)上單調(diào)遞增，

在(一2,0)上單調(diào)遞減，

又?.?/(X)在+上不單調(diào),

r<-2_”0

，或〈

［r+l>-2［f+l>0

即實數(shù)t的取值范圍是(一3,-2)U(T,0)，

故答案為(一3,—2)U(T,0).

14.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查向量的夾角的取值范圍的求法及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題，解題時要認(rèn)

真審題，注意根的判別式的合理運用.

根據(jù)題意可知/'(》)=/+|口%+萬?5=0有兩個不等的實根，根據(jù)判別式大于0,利用向

量夾角公式解答.

【解答】

11―?

解：??,關(guān)于x的函數(shù)f(x)=-x3+—\a|/+在/?上有極值,

.?.1(幻=x2^\a\x-^a-b=0有兩個不等的實根，

則判別式2『-4"石>0,設(shè)向量的夾角為。,

.*.|5|2一4|allblcos。,。，

由|M|=21〃0,得cos0<—,

2

因為噴陽7C,

71八

—<0,71.

3

故選C

15.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)運用，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及三角函數(shù)兩角和差

公式，二倍角公式，向量數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識的運用，考查了分析和運用能力，屬于拔高

題.

先結(jié)合向量數(shù)量積運算以及三角恒等變換公式得到./Xx)=五日=2sin(ox++1,再根

據(jù)函數(shù)/(幻=無5在區(qū)間［0,苧上恰有3個極值點，可得/'(x)=2?ycos(3小在

4萬

LO,-y］上有三個變號零點，結(jié)合三角函數(shù)圖象建立不等式組求解即可.

【解答】

解：由題意,

，/、_r.SXCOX［Tcoxcoxrz.coxcox2ox

f(x)=a-b=(2sm——,cos——)?(73cos——,2cos——)=2y3sm——cos——+2cos——

2222222

=V3sin6yx+cos69x+l=2sin^69x+^j+l,

4萬

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,三］上恰有3個極值點，

所以/'(x)=20cos(s+q在［0,僅J上有三個變號零點，

又因為。>0,

4"7t5萬

(D-----1-->---

36275

所以結(jié)合/'(%)圖象可得，只需使<,解得:二?<私,

477117142

CD---+—?——

362

故選B.

16.【答案】解：⑴由/(》)=/一起,-1

得/'(x)=2x-ae”,

因為/(x)有兩個不同的極值點x2,

則尸(x)有兩個不同的零點,

即方程a=—有兩個不同的實根,

e

2x

即直線丁=々與》=的圖象有兩個不同的交點,

設(shè)g⑺3則g，(上寫2

當(dāng)尤￡(一8,1)時，gf(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

2

且g(x)的取值范圍是(-00,—);

e

當(dāng)X￡(l,+oo)時，gr(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

2

且g(x)的取值范圍是(0,—),

e

22r

所以當(dāng)—時，直線y=a與y=?的圖象有兩個不同的交點，/(幻有兩個不同的極

eex

值點占，x2,

2

故實數(shù)。的取值范圍是(0,±)；

e

【解析】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查導(dǎo)數(shù)中的不等式證明，屬于難

題.

⑴對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，方程。=三有兩個不同的實根，設(shè)g(X)=三，對g(x)求

ee

導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)g(x)單調(diào)性可得g(x)的取值范圍，即可得實數(shù)。的取值范圍；

考點四

17.【答案】1,4

【解析】解：?.?定義在區(qū)間［一2女38一1］上的函數(shù)/(x)=V一℃2一S+2)》是奇函數(shù)，

2"3。-1=0

,解得。=0,b=l,:.a+b=\,

—a=0

/(X)=X3-3X,區(qū)間［一2匕,3b-1］即為［-2,2］,

f'(x)=3x2-3,由廣(x)=O,得％=±1,

V/(-2)=(-2)3-3X(-2)=-2,

/(-1)=(-1)3-3X(-1)=2,

/(I)=I3-3x1=-2,

/(2)=23-3X2=2,

???/Wmax=2，/U)min=-2,

函數(shù)/(x)的極差為：2-(-2)=4.

故答案為：1;4.

由定義在區(qū)間［—2匕,36-1］上的函數(shù)/(幻=/一℃2_(/?+23是奇函數(shù)，列出方程組，能

求出。=0,b=\,從而a+b=l,f(x)=x3-3x,由此利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)/(x)

的極差.

本題考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)極差、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)最大值及最小值等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、

運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

18.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

由/（x）為偶函數(shù)，可得當(dāng)掇/4時，/（x）=?-二,從而利用求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性,

x

進而可求出M—加的值.

【解答】

解：?.?/（司=桐一!為偶函數(shù)，

當(dāng)1領(lǐng)k4時，=

X

1?

/'（x）=—^+_>0,則/（X）在［1,4］上單調(diào)遞增，

31

/./（X）GLO,—J,

16

3131

因止匕〃二一,m=0,;.M-m=一.

1616

故選A

19.【答案】解：（1）/（幻的定義域為（0,+oo）,

①若4,0,因為=-g+aln2<0,所以不滿足題意.

②若a>0f由f\x）~―-知I,

xx

當(dāng)工￡（0,a）時,f\x）<0；

當(dāng)工￡（a,+oo）時，f\x）>0；

所以/（x）在（0,a）單調(diào)遞減，在3,+0。）單調(diào)遞增，

故x=Q是/（X）在（0,+8）的唯一最小值點.

因為/（i）=o,所以當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，y（x）..o,故〃=1.

（2）證明：由（1）知當(dāng)%￡（1,+8）時,x-l-lnx>0.

令X=1H---，得In(1H-----?<—.

2n(2〃)T

從而ln(l+/+m[l+*)+..+ln[l+5)<《+!+...+!=l一!<1.

【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于中檔題.

⑴求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用單調(diào)性求出/(x)最小值，代入即可求出圓

⑵利用⑴可知XG(1,E)時，x-l-lnx>0,然后令x=1+-!-,得ln[1-即

可得證.

20.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，是中檔題.

根據(jù)題意，分類討論，進而求出結(jié)果.

【解答】

解：當(dāng)-4?xW0時，/(x)=+4x=(x+2)——4,

所以TWf(x)<0,

當(dāng)0cxW/n時，/(x)=-2d+6x,則/"(x)=-6x?+6,

令/，(彳)=一6彳2+6>0,解得0<x<l；由/'(X)=-6X2+6<0,解得X>1；

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+oo)上單調(diào)遞減，

當(dāng)加21時，函數(shù)/(x)有極大值，即為最大值41)=4,

又因為/(2)=-4,

所以實數(shù)加的取值范圍為：

故選B.

考點五

21.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題.

通過求導(dǎo)，得出％=@時，函數(shù)/(X)取得最大值，由/(x)=-g,解得尤=@或x=

32736

則@<絲色”一處,解不等式即可.

336

【解答】

解：由題意，令/0)=6彳2-2辦=21(31一。)=0,解得％=0,工2=1.

當(dāng)5Vxv0時，f\x)<0；

當(dāng)?或x〉0時，/'(%)>0；

3

從而一(X)在x4處取得最大值嗎)=今.

3

由/(x)=-《-可得0—0)2(2%+0)=0,解得無=@或x=

273336

32a

???函數(shù)f(x)=2x-ajc(a<°)在上有最大值，二1a,,-4.

6

故選ABC.

22.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中

檔題.

2

1—1—X1

由題意，不等式％2+以+1..0對一切x￡(o,_］成立0a..------=----工對一切

2xx

X￡(0,L］恒成立，令8(%)=一,一元(0<工，,)，則a.g(x)max，求出g。)的最大值，即

2x2

可得出答案.

【解答】

1_1_冗21

解：不等式f+QX+1..0對一切xe(0,—］成立oa...----:一=-----x對一切XG

2xx

恒成立,

八1

0<x,,—,

2

g，(x)=±-l>0,

X

.?.8(幻=一,一》在(0,以上單調(diào)遞增，

x2

；.g(X)max=g(g)=_2_g=_g,

5

..a??—,

2

實數(shù)a的值可能為-1,-2,

2

故選ABC.

e2

23.【答案】(丁,+8)

4

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的存在性問題，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵,

考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

XXX

由題可知，存在xw(0,+8),使得^--mx<0,即機〉二，設(shè)g(x)=3，xe(0,+8),

xx~x

問題轉(zhuǎn)化為求g(x)在(0,+8)上的最小值，對g(x)求導(dǎo)后，易推出g(x)在(0,2)上單調(diào)遞

減，在(2,+0。)上單調(diào)遞增，于是g(x)mm=g(2),從而得解.

【解答】

解：?.?/(x)<0在(0,+8)上有解，

X/

.,?存在尤￡(0,+oO),使得----fWC<0t即)

XX

設(shè)g(x)=￡-)，

問題轉(zhuǎn)化為求g(x)在(0,+OQ)上的最小值,

eg2)

而g'(x)

.,.當(dāng)()<x<2時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>2時，g，(x)>(),g(x)單調(diào)遞增.

22

ee

，g(X)min=g(2)=W'

e1

故答案為：(—,4-oo).

4

24.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和值域問題，屬于難題.

先對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的值域，再利用/(x)在(0,+oo)上的值域與函

數(shù)“/"(?)在(見〃)上的值域相同，滿