復變函數緒論

緒論：課程設置的背景一、的引出二、復數與復變函數三、復變函數論的發(fā)展四、復變函數論的應用五、課程教材、授課內容及要求〇、引言2〇、引言1.《復變函數論》+《數學物理方程》統(tǒng)稱為《數學物理方法》，它既是數學課程，又是物理課程。2.作為數學課程，不應該將數學的嚴謹性置之不顧，而作為物理課程，不必在數學理論上花費太多功夫，而應該以鮮明的思路引導讀者迅速掌握這些數學工具，并應用于物理疑問。33.《數學物理方法》是搭接基礎數學和基礎物理學的橋梁，同時又是一種橫向的“粘合劑”，在基礎數學和基礎物理學的基礎上，固化了“四大力學”（理論力學，材料力學，彈性力學和流體力學）的知識大廈。在“四大力學”的支撐下，才有了航空發(fā)動機和火箭發(fā)動機的問世，才有了現代航空宇航科學技術的進步，也才有了人類航空航天事業(yè)的的蓬勃發(fā)展。4一、的引出

十六世紀中葉，意大利人卡爾丹（Cardan，1545），在解三次方程時，首先產生了負數開平方的思想，他把40看做是兩個數的乘積即然而以上只不過是一種純形式上的表示而已，當時誰也說不上這樣表示究竟有什么好處。5考察三次方程有幾個根？顯而易見：是上述方程的一個根是x=1。是否還有根？設存在另外兩個根：6對比原方程可知①②7為了使負數開平方有意義，也就是要使上述這類方程有解，需要再一次擴大數系自然數整數正整數零負整數有理數整數分數實數有理數無理數復數實數虛數由此引進虛數的概念，使實數域擴大到復數域。8

關于復數理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數學家歐拉（Euler）作出的。他在1777年系統(tǒng)的建立了復數理論。發(fā)現了復指數函數與三角函數之間的關系，創(chuàng)立了復變函數論的一些基本定理，并開始把它們用到水力學和地理制圖學上。用符號“i”作為虛數的單位，也是他首創(chuàng)的。此后，復數才被人們廣泛承認和使用。9二、復數與復變函數

我們將形如的數稱為“復數”，其中“i”稱為“虛數單位”，并規(guī)定x和y是任意實數，依次稱為復數z的實部（Real）和虛部（Imaginary），分別表示為10例如，對復數有即可看作是實數0，也可看作是純虛數0i11對于兩個復數:如果則稱兩個復數的相等？12

一個復數x+iy可以唯一的對應一個有序實數對（x，y），而有序實數對與坐標平面上的點是一一對應的，所以，復數z全體與坐標平面上的點的全體形成一一對應。

現在我們直接把坐標平面上的點寫成x+iy，那么，橫軸上的點就表示實數，縱軸上的點就表示純虛數，整個坐標平面稱為復平面。013

今后，我們將復數與復平面的點不加區(qū)分，這種點-數等同將給我們帶來許多方便。在點-數等同的觀點下，一個復數集合就是一個平面點集，因此，很自然地，某些特殊的平面點集就可以用復數所滿足的某種關系式來表示，例如14

最初，由于對復數的有關概念及性質了解的不清楚，用它們進行計算又得到一些矛盾，因而，長期以來，人們把復數看做不能接受的函數，直到17世紀和18世紀，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，情況才逐漸有了改變。另外的原因，是由于這個時期復數有了集合解釋，并把它與平面向量對應起來解決實際問題的緣故。015

復數與平面上的點是一一對應的，這是將復數實部和虛部分別看作直角坐標系下點的橫坐標和縱坐標。除此以外，復數還可以同平面向量一一對應，只要將復數的實部和虛部分別看作向量的水平分量和垂直分量就行了。所以我們也可以把復數與平面向量等同起來，不過要注意，向量具有“平移不變性”，即其起點可在任意一點。如果把向量的起點放在（復平面的）坐標原點，則此向量及向量的終點在上述兩種對應下恰好對應同一個復數。16

設G是復平面上一點集，如果對于G中任意一點z，有確定的（一個或多個）復數w同它對應，則說在G定義了一個“復變函數”，記做

復變函數的定義域與值域等名稱都可以從高等數學中移植過來。1718以上是復變函數要比實變函數復雜的根本所在。19例1：將定義在全平面上的復變函數化為一對二元實變函數。解：20例2：將定義在全平面除去坐標原點的區(qū)域上的一對二元實變函數化為一個復變函數。解：21

一個復變函數也可看作一個映射（變換），設f(z)的定義域為G，f(z)的值域為D，則f(z)將點集G的點映射為點集D的點。

設f(z)將G中的點z映射為D中的點w，集合G映射為集合D，則稱點w為點z的像，點z為點w的原像，同樣稱D為G的像，G為D的原像。22因x、y、u和v

均為變數，為避免采用四維空間的困難，我們用兩個平面，一個是z平面，將G的點描在z平面上，另一個是w平面，將D的點描在w平面上，如圖yxzGuvDw23三、復變函數論的發(fā)展

復變函數理論創(chuàng)立于19世紀，是19世紀數學發(fā)展史上的最獨特的創(chuàng)造，到了20世紀還在不斷發(fā)展，是兩個世紀中一門優(yōu)美的學科。這個學科時常稱為函數論，被譽為19世紀的數學享受。我們在享受數學的美妙成果時，可能會忽略了創(chuàng)造這些成果的數學家們每邁出一步所付出的艱辛。我們想簡要回憶一下復變函數的發(fā)展歷史，因為當我們了解一些這樣的內容后，也許會更深一步地感受到它的魅力，增強對它的學習興趣和研究勇氣。24

從所做出的貢獻來看，復變函數理論的奠基人是法國數學家柯西（Cauchy）、德國數學家威爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann）。

Cauchy是把復函數當做基本實體來研究的第一人，他自1821年起，花了約25年，以導數和積分為出發(fā)點，發(fā)展了復變函數理論。在復函數有連續(xù)導數的情形下建立了Cauchy定理，引入了留數，建立了留數定理，并用留數來計算實積分，等等。到了1843年，AlphonseLaurent繼續(xù)Cauchy的工作，建立Laurent級數展開，這是Taylor級數展開得一個推廣。25

也許起初Cauchy研究復函數時是考慮實積分的計算，但到后期他改變了這個觀點，不再關心這種計算，而是轉到復變函數理論本身的研究上。Cauchy不等式：26從柯西不等式可以推出另一個重要的定理：劉維爾（Liouville）定理：設函數f(z)在全平面上解析且有界，則f(z)為一常數證明：27

Liouville定理的一個重要應用就是用來證明“代數基本定理”。這個重要定理的第一個實質性正確的證明是由高斯（Gauss）于1799年在哥廷根大學完成的著名博士論文中給出的。隨后，人們不斷鉆研希望能給出簡捷的證明，但這項工作以“代數基本定理”作為Liouville定理的一個簡單推論而畫上了圓滿的句號。28柯西（Cauchy）

1789年—1857年，法國數學家，力學家。他可稱得上是第一個系統(tǒng)研究單復變函數論的人，他的工作奠定了此門學科的基礎，并使其更深入的發(fā)展。積分是他研究的出發(fā)點。他于1814年發(fā)表了第一篇涉及到通過分別計算復變函數的實部和虛部沿一個矩形邊界的積分的文章，從而建立起矩形區(qū)域上的Cauchy定理，此后他一直不懈的研究復變函數論，直到生命終止，建立了積分明確定義。計算留數以及它們在其它學科中的應用。Cauchy的著作非常豐富，他的全集從1882年開始出版，知道1974年才出齊，共計28卷。29劉維爾（Liouville）

1809年—1897年，法國數學家。他于1836年創(chuàng)辦了《純粹數學與應用數學學報》，這個延續(xù)百余年的專業(yè)學術雜志通常稱為《Liouville學報》。他在Liouville定理的優(yōu)先權問題上與Cauchy有爭議，但現在普遍接受的是以Liouville來命名這個定理。30高斯（Gauss）

1777年—1855年，德國數學家，物理學家。他出生于德國布倫瑞克的一個貧苦農民家庭，幼時家境貧苦，聰敏異常，受一貴族資助才進入學校受教育。1795年~1798年在哥廷根大學學習，1799年獲得博士學位，1807年開始任哥廷根大學數學教授和天文臺臺長，1833年和物理學家韋伯共同建立地磁觀測臺，組織磁學學會以及聯系全世界的地磁臺站網。1855年2月23日在哥廷根逝世。31洛朗（Laurent）

1813年—1845年，法國人，Laurent級數是繼續(xù)Cauchy的工作而于1843年建立起來的，是我們研究孤立奇點的重要工具。這項結果Weierstrass在1841年就已經知道了，但未公開發(fā)表。與Cauchy采用的研究方法不同，Weierstrass開辟了一條新的探索途徑，在冪級數的幾乎上建立起解析函數理論以及解析開拓的方法等。32威爾斯特拉斯（Weierstrass）

1815年—1897年，德國數學家，曾是一位中學教師，他不像Riemann那樣有直覺的閃光，而是憑著他的有條理的勤奮，使得他在數學研究中取得輝煌的成就。是他對極限引入了ε-δ語言，一致收斂的概念；是他于1872年舉出了處處不可導的連續(xù)函數的例子，而Cauchy認為連續(xù)函數都是可導的。Weierstrass的例子在微積分的研究中是“病態(tài)”的，但他是當今興起的分形幾何的研究對象之一。他研究復變函數的出發(fā)點是冪級數，并以冪級數為基本元進行解析開拓，這不同于Cauchy從導數和積分出發(fā)的研究途徑。33黎曼（Riemann）

1826年—1866年，德國數學家。他畢業(yè)于哥廷根大學，是Gauss晚年的學生，Riemann的映射定理就是在Gauss的指導下于1851年完成的博士論文中的最后一個結論。Riemann具有極高的數學天賦和最具獨創(chuàng)的精神。他的研究涉及面之廣超過任何前人，而且在所涉足的每個數學領域都留下了深深的足跡，如在復函數論，黎曼幾何，解析數論，組合拓撲，代數幾何及數學物理等方面都做出了奠基性和創(chuàng)造性的工作。在生活上，Riemann的一生是艱辛的，他博士畢業(yè)三年之后才成為哥廷根大學的一位私教員。1859年，Riemann接替Dirichlet成為哥廷根大學的教授。34四、復變函數論的應用幾種簡單的流型變換1.直勻流流過圓的繞流變換或流過平行于來流的平板流動。2.繞無迎角的對稱儒科夫斯基翼型的流動。3.一般的儒科夫斯基翼型。4.……35

復變函數有著較長的發(fā)展歷史，已經形成非常系統(tǒng)的理論，并且深刻的滲入到代數學、解析數論、微分方程、概率統(tǒng)計、計算數學和拓撲學等數學分支；同時，它在熱力學、流體力學、理論物理、彈性理論、電學、天體力學有廣泛的應用?！狦auss36五、課程教材、授課內容及要求教材：《工程數學：復變函數》（第四版），西安交通大學高等數學教研室（編），高等教育出版社，1996年5月第4版教學參考書：《工程數學：復變函數（第四版）學習輔導與習題選解》，王錦森編，高等教育出版社，2003年12月第1版37課程講授內容及學時分配：第0章課程設置的背景（緒論）1學時第1章復數與復變函數5學時第2章解析函數