2022屆浙江省百校高三（上）開學數(shù)學試卷（學生版+解析版）

2022屆浙江省百校高三（上）開學數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（4分）已知集合/={1,2,3,4）,N={x|-3<x<5},則MCN=（）

A.{1,2,3）B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4）

2.（4分）已知復數(shù)z=4-2a-（8+a），為純虛數(shù)，則實數(shù)a=（）

A.-16B.-4C.2D.4

3.（4分）已知函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［“，句內(nèi)的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則”/（a）?/

⑹V0”是“函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［a,以內(nèi)有零點”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

儼+y-1>0

4.（4分）若實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+l20,則z=/+V-2的最小值為（）

（2%—y—2<0

13V2

A.-4B.-1C.-5D.--2

222

5.（4分）函數(shù)/（霜=#的圖像大致為（）

6.（4分）已知雙曲線C：殺一苓=l（a>0,b>0）的離心率為V5,則雙曲線C的漸近線方

程為（）

A.y+V2x=0B.V2y+x=0C.x±2y=QD.2y+x=Q

7.（4分）若某隨機事件的概率分布列滿足P（X=i）=a?卷（i=1,2,3,4）,則D（X）

=（）

A.3B.10C.9D.1

8.（4分）如圖，點P在正方體ABCD-A\B\C\D\的面對角線8cl上運動，則下列結論一

A.三棱錐A-AiPD的體積大小與點P的位置有關

B.4P與平面ACDi相交

C.平面尸。81_1_平面48。

D.APLD\C

1TT

9.（4分）已知圓。的半徑為2,A為圓內(nèi)一點，04=/，B,C為圓。上任意兩點，則

的取值范圍是（）

11

A.[一6]B.[-1,6]C.[一/10]D.[1,10]

10.（4分）設函數(shù)/（X）=|x+a|+|分+-（a,Z?GR）,當X￡[0,1]時,記/（x）的最大值為,

b）,若2/（mb）22〃P+4帆+e-1恒成立，則〃？的最大值為（）

3

A?eB.-2C.0D.-

2

二、填空題：本大題共7小題，共36分.多空題每小題6分，單空題每小題6分.

11.（6分）已知函數(shù)〉=5m2]，則該函數(shù)的最小正周期為,對稱軸方程為.

（2匕%<0

12.（6分）已知函數(shù)/（%）=11，則/（0）=_____,/（/（-5））=_____.

log2x^,%>0

13.（6分）若二項式6+x+m）5Cm為實數(shù)）展開式中所有項的系數(shù)和為1024,則m=,

常數(shù)項為.

14.（6分）己知直線/i：x-y+3=0,fo：2x+y=0相交于點A,則點A的坐標為,

圓C7+/-21+4>1=0,過點A作圓。的切線，則切線方程為.

15.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

16.（4分）在新高考改革中，學生可從物理、歷史、化學、生物、政治、地理、技術7科

中任選3科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學生先從物理、歷史2科中任選1科，再從化學、

生物、政治、地理、技術5科中任選2科，則甲、乙兩人恰有1門學科相同的選法有

種.

17.（4分）已知平面內(nèi)不同的三點0,4,B,滿足|&|=|幾|=3,若入日0,1],\WB-

0A\+|（1一4）而一寺百4|的最小值為2g,則|麗=.

三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.

18.（14分）在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，且8a-2csin（B+^）=0.

（1）求角C；

（2）設AC=6,BC=4,若尸為AB上一點，且滿足AP=CP,求AP的長.

19.（15分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，側面底面4BC￡>,PA=PB,AB//DC,

7T

NABC吟

CD

（1）若求一的值；

AB

J21

（2）若△雨8為邊長為2的正三角形，BC=2,尸。與平面尸8C所成角的正弦值為一,

14

CD的長.

C

1

+-n

20.(15分)已知數(shù)列｛念｝的前〃項和為3n22數(shù)列｛為｝滿足b\=2,nbn+\-4a.,bn-3n

*

=0,nGN.

(1)求數(shù)列｛〃"｝,｛尻｝的通項公式；

(2)若7=人，1,、而,數(shù)列｛Cn｝的前"項和為〃，求證：T2n<1.

21.(15分)已知橢圓C：與+4=l(a>b>0)的離心率是竺一個頂點是3(0,1),點

ab2

P,。是橢圓C上異于點B的任意兩點，且

(1)求橢圓C的方程；

(2)試問直線PQ是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

22.(15分)己知函數(shù)/(x)=abix+(其中“WO,^(x)=(x-2)ex-%-p

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設當”=1時，若對任意xC(0,1],不等式/(x)+g(x)<〃?恒成立，求整數(shù)”?

的最小值.

2022屆浙江省百校高三(上)開學數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.(4分)已知集合用={1,2,3,4),N={x|-3<x<5},則MAN=()

A.{I,2,3}B.{0,I,2,3}C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4)

【解答】解：因為M={1,2,3,4},N={x|-3VxV5},

所以MCN={1,2,3,4).

故選：C.

2.(4分)已知復數(shù)z=4-2a-(8+a)，為純虛數(shù)，則實數(shù)a=()

A.-16B.-4C.2D.4

【解答】解：因為z=4-2a-(8+a)i為純虛數(shù)，

所以4-2a=0且8+aWO,解得”=2.

故選：C.

3.(4分)已知函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,切內(nèi)的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則“于(a)?于

(6)<0”是“函數(shù)y=/(x)在區(qū)間⑷句內(nèi)有零點”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：由零點存在性定理，可知充分性成立；

反之.若函數(shù)y=7,xE[-I,1],則f(-l)/(I)>0.且有零點x=0.故必要性不

成立.

故選：A.

xy-1N0

4.(4分)若實數(shù)x,y滿足約束條件x-y+l20,則z=/+V-2的最小值為()

.2%—y—2W0

13V2

A.-4B.-1C.D.--2

222

【解答】解：由約束條件作出平面區(qū)域如圖,

由圖可知，最近的距離為O到直線AB的距離，等于詈=￥

-2的最小值為（苧>—2=—

故選：c.

r2_i

5.（4分）函數(shù)f（x）=的圖像大致為（)

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/Q）=^n，其定義域為R，

丫2―1

則/（-X）=黃利（%）,則函數(shù)/（x）不是偶函數(shù)，排除CD,

a

又由r(2)=mVI,排除A,

故選：B.

6.（4分）已知雙曲線C；l（a>0,b>0）的離心率為遮，則雙曲線C的漸近線方

程為（）

A.y±V2x=0B.yj2y±x=0C.x+2y=0D.2y±x=0

【解答】解：雙曲線：與一馬

C=l(a>0,b>0)的離心率為

出b

Cf—心a2+b2b2b2br-

所勺==1+/=3,-=2,即-=v2,

G/=a」a

所以雙曲線的漸近線方程為：y±V2x-0.

故選：A.

7.(4分)若某隨機事件的概率分布列滿足P(X=i)=a三(i=l,2,3,4),則D(X)

=()

A.3B.10C.9D.1

【解答】解：P(X=0=a~(i=l,2,3,4),

,,a2a3a4a…°

故一+—+—+—=1,解得。=1,

10101010

19244

,?，￡，(^)=YQ+2XJQ+3X1Q+4XYQ=3,E(X2)=yo+4xio+9xio+16xio=

10,

：.D(X)=E(X2)-E(X)2=10-9=1.

故選：D.

8.(4分)如圖，點P在正方體ABCD-A\B\C\D\的面對角線BC\上運動，則下列結論一

定成立的是()

A.三棱錐A-A\PD的體積大小與點P的位置有關

B.4P與平面ACG相交

C.平面平面48。

D.APIDiC

【解答】解：對于選項A：VA-A1PD=Vp-AA1D-

在正方體中，平面44]￡),所以P到平面441。的距離不變,

即三棱錐P-A41Q的高不變，又△AAQ的面積不變，

因此三棱錐P-AA\D的體積不變，

即三棱錐A-A\PD的體積與點P的位置無關，故4不成立.

對于選項8：由于8Ci〃A0,AOiu平面ACDi,BGC平面AC。，

所以BCi〃平面AC。，同理可證84〃平面AC?！庇諦AgBCi=B,

所以平面3Alei〃平面AC。”因為AiPu平面34C”

所以AiP〃平面AC。，故B不成立.

對于選項C：因為AiCiLBD,AiCi±BBi，BDClBBi=B,

所以4C1J_平面8810,則4Ci_LBiD；同理48_LBi。，

又AiCiCAiB=Ai，所以Bi￡>_L平面AiBG,

又BiDu平面P￡>Bi，所以平面POB1L平面A1BC”故C成立.

71

對于選項。：當8與尸重合時，AP與。1C的夾角為一，故。不成立.

4

故選：C.

1TT

9.（4分）己知圓。的半徑為2,4為圓內(nèi)一點，。4=*，B,C為圓。上任意兩點，叫4c?BC

的取值范圍是（）

11

A.[得6]B.[-1,6]C.[-10]D.[1,10]

【解答】解：如圖，設8C的中點為。，連接。A,OC,OD,則。OLBC.

設。為04和BC的夾角,

則品>?立=(OC-OA)BC=OCBC-OABC=\OC\'\BC\cosZBCO-\0A\|FC|cos6=

||BC|2-1|BC|cos0,

[T[T[f[T]T

且一|BC『-^BC\<軸C『-i|BC|cos0<||BC|2+^\BC\.

由訪6[0,4],當|品|T時，晶?后有最小值一；

Lo

當|品1=4時，品1?命有最大值10.

所以4**C*-8TC的取值范圍是［+1，10］.

故選：C.

10.(4分)設函數(shù)/(%)=僅+〃|+|/+。|(小左R),當xRO,I］時，記/(x)的最大值為/

(a,b),若2/(a,b)22加2+4m+e-1恒成立，則機的最大值為()

3

A.eB.-2C.0D.-

2

【解答】解：V/(x)=\x+a\+\ex+h\^x+a+^+h,

?\t^max{x+a-/-b}=max{a-\-b,-e-b],

/.t^max{x-^a+eK^b)=max\a+1+〃,1+a+e+Z?),

?“、a+l+6+l+a+e+b,a-1-b+l+a—e-b

??“―2+2'

A2t>|+^=e-l.

**?tN—2―，;t-+2TTI4—2一恒成立，

e-1e-1

:.----->7+2m+-----,

22

-2W〃7WO?

故選：c.

二、填空題：本大題共7小題，共36分.多空題每小題6分，單空題每小題6分.

II.(6分)已知函數(shù)丫=5m2?則該函數(shù)的最小正周期為TT,對稱軸方程為X*+

竽(keZ).

【解答】解：周期7=竿=口，

由2x=2+k兀，Aez,得K=4"I—2'(keZ).

即對稱軸為x=A+竽(kez).

故答案為：Ji,x=5+T(feeZ)-

\1X,x<o

12.(6分)已知函數(shù)/■(>)=1,則/(0)-1,f(/(-5))--1.

Jog2x^,%>0

(2"x<0

【解答】解：???函數(shù)/'(x)=1,.,./(0)=2°n=1,

\log2x^,%>0

5)=2-5=*，5))=f(擊)=^log2^=-1.

故答案為：1;-1.

13.(6分)若二項式C+x+m)s(機為實數(shù))展開式中所有項的系數(shù)和為1024,則m=

常數(shù)項為161.

【解答】解：取1=1,可得(3+勿?)5=1024,.?.〃2=1,將機=1代入二項式，可得二項

7

式即(土+%+1)，

72

由于(1+x+I)5表示5個因式(1+X+1)的乘積，

故要得到常數(shù)項，需5個因式都取1；或者有2個因式取士2個因式取x,剩下的一個

x

因式取1；

2

或者有一個因式取一，一個因式取X,剩下的3個因式取1.

x

所以,常數(shù)項為磴+Cf?22?Cf?C/+C"2?盤?盤=1+120+40=161,

故答案為：1;161.

14.(6分)已知直線/i：x-y+3=0,/2：2x+y=0相交于點A,則點A的坐標為(-1,

2),圓C：?+/-2x+4y+l=0,過點A作圓C的切線，則切線方程為x=-1或

3x+4y-5=0.

【解答】解：聯(lián)立小x-y+3=0,12：2x+y=0,

可得x=-1,y=2,(-1,2).

若切線斜率存在，設切線方程為y-2=&（x+1）,

則kx-y+2+k=0,：.2="+2+4,

向

k=一1；.切線方程為3x+4y-5=0；

若斜率不存在，則切線方程為x=-l.

故答案為：（-1,2）；3x+4y-5=0或x=-1.

160

15.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是一

3

俯視圖

【解答】解：該幾何體的直觀圖如圖所示,

設該幾何體的體枳為V.

貝|JVE-ABCD+VE-BCF=|x1x(4+8)x4x4+ix|x4x8x4=粵.

i160

故答案為：-

16.（4分）在新高考改革中，學生可從物理、歷史、化學、生物、政治、地理、技術7科

中任選3科參加高考，現(xiàn)有甲、乙兩名學生先從物理、歷史2科中任選1科，再從化學、

生物、政治、地理、技術5科中任選2科，則甲、乙兩人恰有1門學科相同的選法有180

種.

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①物理、歷史2科中有相同學科.則有廢牖C專=60種選法；

②物理、歷史2科中沒有相同學科.則有掰C弘j=120種選法.

所以甲、乙兩人恰有1門學科相同的選法有60+120=180種；

故答案為：180.

17.(4分)已知平面內(nèi)不同的三點。，A,B,滿足|&|=|詬|=3,若入[0,1],|/1晶一

&|+|(1—2)成)一：易|的最小值為28，則|而|=2次.

【解答】解：由題設，如圖1,若。。=入。8,BE=^BA.則(1-A)BO=BD,WB-

1

OA=AD-BA=BE,

93

即(1一;1)8。一掾B4=ED.

：.WB-CM+(1—4)B。-^BA=AD+ED,即AD+ED.

若A'是A關于08的對稱點，

則A'D=AD,BPAD+ED=A'D+ED,如圖2,

當且僅當4',D,E三點共線時.4。+ED=4E=2百最小.

T0A=AB=3,即A'B=3,BE=\

，此時在4A'8E中，cosZEBA'==一』

裝ZX認oX竽JL3

而cos/EBA'=2cos1ZABO-l,且NABO為銳角，

/o

J.cosXABO=Y，：.0B=2AB-cosZABO=273.

圖1圖2

故答案為：2內(nèi)

三、解答題：本大題共5小題，共74分解答應寫出文字說明證明過程或演算步驟.

18.(14分)在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C所對的邊，且遮a-2csin(B+^)=0.

(1)求角C；

(2)設AC=6,BC=4,若尸為AB上一點，且滿足AP=CP,求AP的長.

【解答】解：(1)由正弦定理及條件，得s譏C&sinB+苧cosB)=苧sinA,

即sinC(；sinB+苧cosB)=苧sin(B+C)=^-sinBcosC+苧cosBsinC.

整理得tanC=V3,

又C為三角形內(nèi)角，

所以C=60°.

(2)在AABC中，由余弦定理得AB?=AC2+BC2-2AC-BC-cosC-AB2=62+42-

1

2x6x4*2=28,

：.AB=2V7,

222

(277)+6-4=2/7

-2x277x6—-~

設AP=x,

62+x2—%2

：.3

緣2x6xx'

?—口"

??4ziPi-2?

19.(15分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，側面以8_L底面ABCD,PA=PB,AB//DC,

TT

ZABC=^.

CD

(1)若A3_LP。，求一的值;

AB

(2)若△以8為邊長為2的正三角形,BC=2,PO與平面尸8c所成角的正弦值為管,

CD的長.

【解答】解：(1)如圖，取AB的中點"連接P”，。從

因為雙=PB,所以P”_LAB.

又因為AB_LPD,PHCPD=P,

所以ABJ_平面PDH,所以OHJ_A8,

又因為4BC=?,AB//DC,所以四邊形HBCD為矩形,

(2)法一：過P作PE〃8C,且PE=BC,連接EC,過。作O/UEC,交EC于點F.連

接PE

因為側面％B_L底面A8C。，且交線為AB,ZABC=^,所以8cL平面以8.

因為PE〃8C,且PE=8C,所以四邊形P8CE為平行四邊形，所以EC〃尸&

又因為C￡>〃48,ECCCD=C,PBr\AB=B,所以平面E￡)C〃平面PBA.

所以BC_L平面EC。，所以8CJ_OF.

又因為EC_LQF,BCClEC=P,所以。F_L平面PBC.

所以/OPF即PD與平面PBC所成角.

設CD=x,由平面EOC〃平面PBA,得=*所以DF=%.

在直角三角形PH。中，PH=4,DH=V22+(1-X)2,

2

所以PD=J(V3)+22+(l-x)2,又PD與平面PBC所成角的正弦值為答.

所以尋=丁妥三，解得x=l,即8=1.

1477+(1-x)

注：若直接猜答案，反過來驗證，只給答案分.

法二：如圖，以點B為坐標原點，建立空間直角坐標系B-wz

由已知條件可知8(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),

由△以8為邊長為2的正三角形，

所以P(0,1,V3),所以BP=(0,1,V3),BC=(2,0,0)

設平面PBC的法向量為￡=(x,y,z),所以舊.近=°

In-FC=0

所以卜+8z=0,可取|=(o,3,-V3).

\2x=0

設CD=x,所以。(2,x,0),PD=(2,%-1,-V3),

V21

又PD與平面PBC所成角的正弦值為二.

14

一3X-3+3

所以——=----,—

14V12-V4+(X-l)2+3,

解得x=l，即CD=L

11

20.(15分)已知數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為3九20+'九，數(shù)列｛/?〃｝滿足力i=2,nb+\

ft4anbn~3〃

=0,左N*.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝,｛?！ǎ耐椆?；

(2)若“=_夫而，數(shù)列｛Cn｝的前〃項和為7；”求證：T2n<1.

加+(—1)n5

11

【解答】(1)解：數(shù)列｛斯｝的前〃項和為]九2o+萬九，

22

an=^n4-^n—^(n—l)—i(n—1)=n(n>2).

當"=1時，"1=1符合，故斯=",

.,.nbn+\-4。血-3〃=曲+i-4曲-3〃=0,

bn+1—4/>?+3??*./>?+]+1=4(d+1),b\=2

，｛為+1｝是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列,

.?4+1=3-4"T,

=3?4吁1一1.

_______1_______

(2)證明:

=加+(一]嚴3.4九一1-1+(-1嚴

Tin=G+C2+C3+…+C2n=C1+C3+…+C2n-1+C2+C4+…+C2”=------n-d----------5—+

3x4u-23x4z-2

3+2n-1

3x42n-2_2+3x4]+3X4+3x4

333111

<---nH----7+…H----7^_74----TH----o+…_l----

3x43x43x4，/3x43x4，3x4n-1

[*]=胃[1一(冷噌||4

丫2”2V2

21.(15分)已知橢圓C：a+*=l(a>b>0)的離心率是三，一個頂點是8(0,1),點

P，Q是橢圓C上異于點B的任意兩點，且BPYBQ.

(1)求橢圓C的方程;

(2)試問直線PQ是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.

O(a=72

【解答】解：(1)由題意得《￡=孕，解得6=1，

Ia2

la2=b2+c2京=1

x2

所以橢圓方程為萬4-y2=1.

(2)由8PL8。知直線BP,8。的斜率存在且不為0.

y=依+1

設直線8尸的斜率為h直線研的方程為尸區(qū)+1,必,得3+基/+2h=