2022考研真題解析數(shù)學二

2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學二

一、選擇題：no小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是最符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

1.當X)。時，a(x),b(x)是非零無窮小量，給出以下四個命題：

①若a(x)b(x),則a2(x)b2(x).

②若a2(x)b2(x),貝ija(x)b(x)；

③若a(x)b(x),則a(x)-b(x)o(a(x));

④若a(x)-b(x)o(a(x)),則a(x)b(x),

其中所有真命題的序號是().

A.①②B.①④C.①③④D.②③④

【答案】D.

【解析】取a(x)=1-cosx,b(x)」X2,排除①，故選D.

2

22

2.jdyj\_dx=()

oy4+X3

A理B.2c迎D.W

,63J33

【答案】D.

【解析】交換積分次序后可得

j2dyj2jii"flx=j2dxj■，潘dy

0yooV1+X3

3.設函數(shù)f(X)在X=X處有2階導數(shù),則

0

A.當f(X)在X的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加時，f，(X)>0

00

B.當f,(x)>0時，￡僅)在*的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加

00

1

C.當￡便)在*的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)時，f,(x)>0

00

D.當t(x)>0,f(X)在X的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)

00

【答案】B.

【解析】因f(X)在X=X處有2階導數(shù)，則

o

f,(x)=limf，(/J，(x°)存在亭hmf,(x)=f,(x),

°x)x0X-X。X)XQ°

當f,(x)>0時，由極限的局部保號性得，36>0,當x=U(x,6),有f/x)>0,即36>0，

00

當x=U(x,6),有f,(x)>0,故f(x)在x=x的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加，選B..

00

=jx-y(x_y_t)f(t)dt,貝ij()

4.設函數(shù)f⑴連續(xù)，令F(x,y)

0

?F?F?2F?2F?F?F?2F?2F

A.B-----=-----

?x?y'?X2?y2?x?y?X2-?y2

?F?F?2F?2F?F?F?2F?2F

C.D---------

荻=一?y?X2?y2?X?y'?X2?y2

【答案】C.

【解析】由于

F(x,y)=jx-y(x_y_t)f(t)dt=(x_y)jx-yf(t)dt_jx-ytf(t)dt,

000

故

?F??

—=Jx-yf(t)dt+(x_y)f(x_y)_(x_y)f(x_y)=Jx」f⑴dt,

?X00

?F??

-=jrf(t)dtux_y)f(x_y)+(x_y)f(x_y)=_jr(t)dt,

?2F?2F

M—=f(x_y),法=f(x-y)’故選c.

Inx

5.設p為常數(shù)，若反常積分j?dx收斂，則p的取值范圍是()

0Xp(1_X)1.P

A.(-1,1)B.(-1,2)c.(_w,1)D.(_w,2)

2

【答案】A

【解析】當p=1時，j_1nxdx=j"nXdx發(fā)散，排除B和D；當p=—1時,

oXp(1—X)1-PoX

Jlnxdx=jxlnXdx=j(1TMi-t)dt,即(1—發(fā)散，

oXp(1-X)1-p0(1-X)20t2,)0+t2

排除C故選A.

6.設一一共X共一，貝lj()

2n2

A.若limcos(sir)x)存在，貝Mmx存在.

n)wnn)wn

B.若limsin(cosx)存在，則limx存在.

n)wnn)w11

c.若limcos(sinx)存在且limsinx存在,則limx不一定存在.

n)wnn)wnn)wn

D.若limsin(cosx)存在且limcosx存在，則limx不一定存在.

n)wnn)wnn)wn

【答案】D.

(1.n為奇數(shù)，

均存在,

【解析】對選項A,B,若X=(limcos(sir)x),limsin(cosx)

n|-1,n為偶數(shù)，n)wnn)wn

但limX不存在，故排除A,B,.

z...n

I'幾幾］.

對于選項C,由于函數(shù)y=Sinx在區(qū)間|L￡7^?單調(diào)增加且連續(xù)，故limsinx"存在時,

limx一定存在，選項c錯誤，故選D.

n)w”

日2(1+京F,LJ*；；s?dx,！嘰則

A.I<I<I.B.I<I<I.

123312

C.II<I.D.I<I<I,

213213

【答案】A.

Xx

【解析】由于0<X<1,-<<ln(1+x)<x,所以

21+x

3

xln(1+x)x2x2x...

<,<<<,I<I<I

2(1+cosx)1+cosx1+cosx1+cosx1+sinx123

<100、

8.設A為三階矩陣，A=0-10,則A的特征值為1,一1,0的充分必要條件是().

IoooJ

A.存在可逆矩陣P,Q,使得A=PAQB.存在可逆矩陣P，使得A=PAP-1

C.存在正交矩陣Q,使得A=QAQ-ID.存在可逆矩陣P,使得A=PAPT

【答案】B.

【解析】相似矩陣有相同的特征多項式，因此特征值相同，這里A的特征值為1,一1,0,若A

與A相似則二者的特征值相同，相似即存在可逆矩陣P，使得A=PAP-L

若A的特征值為1,一1,0,由于A為三階矩陣，因此A可以相似對角化為A,A與A相

似.

n1nrn

9.設矩陣A=1aa2,b=2,則線性方程組Ax=b解的情況為().

bb2j<4J

A.無解B.有解C.有無窮多解或無解D.有唯一解或無解

【答案】D.

r1111—1111、

【解析】考慮增廣陣1aas2Toa-1a2-11.

bb24JI。b-1b2-13J

若a=b且a=1,則r(A,b)=2>r(A)=1,線性方程組無解;

若a=b且a/,則r(A,b)=3>r(A)=2,線性方程組無解.

若2n13且2,1,則r(A,b)=r(A)=3,線性方程解唯一，對稱的有

a*b且b￥1,則r(A,b)=r(A)=3,線性方程解唯一.

(入、八、m門、

io.設(1=1,a=X,a=1,a=X，若a,a,a與a,a,a等價，則入e

1234123124

UJUJ⑺⑺

().

A.{A|XGR}B.{X|XGK>X^-1}

4

C.{人|入=R入土一1入±—2}D.{入|入=及,入±-2}

【答案】c

【解析】由于

1人入11;入3-3入+2=(入-1)2(入+2),

Ia,a,a|=

123

11入

|a,a,a|=1火人」,、4—2入2+1=（入一1）2（入+1）2.

124

11入2

a=a=a=a=1

馱=1時，i234(|ll())HI，此啊凡電與巴凡巴等價.

1

當入=-2時，2=r(a,a,a)<r(a,a,a)=3,a,a,a與a,a,a不等價.當

123124123124

入=—1時，3=r(a,a,a)>r(a,a,a)=1,a,a,a與a,a,a不等價.因此當

123124123124

A=—2或入=—1時，a,a,a與a,a,a不等價等價，所以入的取值范圍為

123124

{入|入=入,入±-1入±-2}.

二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(1+ex)8tx

11.極限lim|-----I=

x)o(2)

【答案】et

."n-(TT^)-T(^x=T)<d?

ln1+

［解析】原式=器taM12)11=g^tanx|(2)ll=e'^tanx-2=62.

12.已知函數(shù)y=y(x)由方程X2+xy+y3=3確定,則y,⑴=.

31

【答案】一一.

32

【解析】由已知可得y(1)=1.

3

方程X2+xy+y3=3兩端對x求導得2x+y+xy,+3y2y,=0,代入y(1)=1得y,(1)=---.

4

方程2x+y+xy,+3y2y,=0兩端對x求導得2+2y,+xy,+6y(y,)2+3y2y,=0,代入

5

331

y(i)=1，yQ)="得y?)=

432

.12x+3,

13.j------------dx

0X2—X+1

8J3

【答案】幾

9

ii2x+3.Ld(X2—x+1)；,4.

［解析］J1------------<lx=J1—---------—'+^2―<ix

oX2—X+10X2—X+10X2-X+1

=ln(X2—x+1h1+4.i11dx

'0°(X—1)24-2

4

14.微分方程y,—2y,+5y,=0的通解y(x)=.

【答案】y=C+ex(ccos2x+Csin2x).

123

【解析】y,—2y,+5y,=0對應的特征方程為門一2r2+5r=0，求解可得

r=0,r=1±2i,故微分方程的通解為y=C+exfccos2x+Csin2x).

12,3123

15.已知曲線L的極坐標方程為r=sin39（|（0共9共"?））|,則L圍成的有界區(qū)域的面積為

0

幾

【答案】—.

12

【解析】面積A=1j.3lsin39)sd9=幾(sint)2dt=1_fzsinztdt=

2o6o3o32212

16.設A為3階矩陣，交換A的第二行和第三行，再將第二列的一1倍加到第一列，得到矩

（r21一）|

?1—10，貝JIAT的跡rt（A—i）=

陣H（—1oo）ll

【答案】-1

6

：-21-1)

【解析】設8=1-1°|按照上述初等變換的逆變換將B的第二列的1倍加到第一

-100)

1-1)；0-10)

列，然后交換B的二，三行位置，得到A=-100，于是AT=00-1，因

0-10)-11-1)

此tr(A-i)=-1,

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知￡僅)在*=1處可導，且lim"e")-3f(1+SinX)=2.求二⑴

x)OX2

...f(ex^)-3f(1+sinx)c-r知

【解】由hm''''=2可得

x)0X2

limf(ex?)-3f(1+sinx)=0,

x)0

即f(1)=0.又因為

ljmf(ex=)-3f(1+sinx)

X)。()X2

f'ex2人f(1)3fsin2XA3f(1)

=lim-lim

x)0X2x)0裁

f(ex)-f(1)/(+$蚓)-川)

sirux

=lim-麻消一

x)06x2-1X2x)0Sin2xX2

=3f.(1)

二2f,⑴

=2,

故f,(1)=1.

18.設y(x)是微分方程2xy,-4y=2lnx-1滿足y⑴=」的解.求曲線

4

y=y(X)(供X共e)的弧長.

【解】由2xy,-4y=2lnx-1可得

y(x)=-Linx+Cx2,

2

7

其中c為任意常數(shù).又由y(1)=」，代入上式有

4

y(x)=-Inx+1x2.

24

那么y(x)在［1,e］上的弧長為

卜J+y2(x)dx=je(|(一十))|dx

11C.CK

1.e

=X2+_lnx

2

1

1

=e2--.

2

19.設D={(x,y)-|2+y=x三也-y2,0三y三2},求二重積分I=啟制?dxdy.

D

【解析】如圖所示：增加一條直線y=-x+2,則y=-x+2將積分區(qū)域D分為兩部分：D

1

和D-D,其中D-D關于y軸對稱，于是

11

仁jjiy+y.

X2+\2

D

=ji1]dxdy

*+y2」

=Jjdxdy-j七輕dxdy=jjdxdy-jj有

y

DDDD-D1

=j2g4-y2+2-y)

dyj"d目22P2cos9sin9

0

DdD8s9+sin9

=；.4m+(2*丫2)、個8s9?自9+。4忌器瑞^9

0

d9

/mtan9

=m+41-2-----------------------------------d9

0ian29+2tan9+1

+wt1

=m+4jdt

0(t+1)2i+t2

8

=冗+4」產(chǎn)11

dt

2n1+”(?+l)2

=冗+2arctantt+2=冗+冗-2=2冗—2.

10

20.(本題滿分12分)

?f(UV)7f(UV)

已知可微函數(shù)f(u,v)滿足,'.?u—,'7V=2(u—v)e-(u+q,且f(u,0)=Wei

"?g"

⑴記g(x,y)=f(x,y—x).求--：

?x

(2)求f(U,V)的表達式和極值.

【解析】⑴f(—f，=2(x—y+x)e-(x+y-*)=2(2x—y)e-y.

②因為g(x,y)=f2(2x-y)e-ydx+Q(y)=2e-yQ—xy)+Q(y),

由f(u,0)=U2e-u可得

f(x,0)=g(x,x)=Q(x)=X2e-x,

故g(x,y)=2e-y(X2—xy)+y2e-y

令x=u,y-x=v,有

f(u,v)=2e-(u+v)[u2—u(u+v)]+(u+v)2e-(u+v)

=-2uve-(u+v)+(u+v)2e-(u+v)

=e—(u+v)(ij2+V2).

又因為

三:-e-(u+v)(u2+V2)+e-(u+v)2u=-e-(u+v)(u—v)2=0,

?u

J=-e-(u+v)(v—u)2=0

?v

(u=0(u=1

得〈，〈

lv=0Iv=1

又因為

f?=(2-2u)e-(u+v)-(2u-U2—V2)e-(u+v)=(2-4u+w+V2)e-(u+v)

f"=-2vs—(u+v)-(2u—U2—V2)e~(u+v)—L-2v—2u+U2+V2)?-(u+v)

f"=(2-2v)6-(u+v)—(2v-112—V2)0—(u+v)=(2-4v+U2+V2)6—(u+v)

w

9

"B2>0,故(0,0)是極小值點，極小值

當u=0,v=0時，A=2,B=0,0=2

f(0,0)=0,

當u=1,v=1時，A=0,B=-2,C=0=>AC-B2<0,故(1,1)不是極值點.

21.(本題滿分12分)

設f(x)在(-8,4W)上有二階連續(xù)導數(shù)，證明：f"(x)*0的充要條件是對任意的實數(shù)a,b,

有+1卜吃心.

I2Jb-aa

證明：“=>”令F(x)=(x—a)f(一_jxf⑴出,則F(a)=0.

I2Ja

u”、a+x>1,、/a+x),..

P(x)=fr\+_x—af[-fx

I2J2I2)

1,、Ja+x\/a+x),..

=_(x-a)fH+f-f(x)

2I2J<2J

1,、，/a+x、,,,\1/、

=_(x-a)f[:一f空)_(x—a)

2I2J2

J(x_a)「"a+x工w)1

2LI2JJ

由于f"(x)NO,所以f'(x)單增，從而“a+x、,⑹故F(X)<o,F(x)單

I2)

調(diào)遞減.

x>a,F(x)<0,則F(b)<0,及+1fbf(x)dx

I2Jb-aa

Vxe(-00,+<?),取a=x-h,b=x+h,其中h>0,則

000

[xO'hf(x)dx-2f(x)h

Ja+b'1|.,

鼠2)bWbx/(?dxe

2h

從而

10

f^+*/(x)dx-2/(x)h

------------------>o.

2h3

fv*/(x)dx-2/(x)h

由lim-4--------------------------

h)O6112

h)O2h3

f,(x+h)-f,(x-h)

=limoo

h)o12h

f,(x+h)+f,(x-h)

=limoo

h)O12

=-f,(x),

6o

同時由極限的保號性知f,(x)>0.

o

22.(本題滿分12分)

已知二次型f(x,x,x)=3x2+4x2+3X2+2xx.

12312313

⑴求正交變換x=Qy,使得f(x,X,X)化為標準形

123

⑵證明：minf(X)=2.

x^oXTX