專題06 解答基礎(chǔ)題：幾何作圖（原卷版）

專題06幾何作圖題一、解答題（22題）1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對角線的垂直平分線，那么這個平行四邊形的一組對邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對應(yīng)線段所在的兩個三角形全等得出結(jié)論．請根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形是平行四邊形，是對角線，垂直平分，垂足為點(diǎn)O．求證：．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴①．∵垂直平分，∴②．又___________③．∴．∴．小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對邊相交形成的線段均有此特征．請你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對角線中點(diǎn)的直線．2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗(yàn)證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點(diǎn)A在邊上，再過點(diǎn)A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗(yàn)證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴（）．同理可得：_____④______．．3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）在學(xué)習(xí)矩形的過程中，小明遇到了一個問題：在矩形中，是邊上的一點(diǎn)，試說明的面積與矩形的面積之間的關(guān)系．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為（只保留作圖?跡）．在和中，∵，∴．又，∴__________________①∵，∴__________________②又__________________③∴．同理可得__________________④∴．4．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，AB>AD．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分線交AB于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖形中，連接DE交CF于點(diǎn)P，猜想△CDP按角分類的類型，并證明你的結(jié)論．5．（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC，且．請用尺規(guī)完成基本作圖：作出的角平分線與BC交于點(diǎn)E．連接BD交AE于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，猜想線段BF和線段DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（尺規(guī)作圖保留作圖痕跡，不寫作法）6．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考一模）如圖所示，在正方形中，點(diǎn)M是對角線上的一個點(diǎn)．連接，過點(diǎn)M作交于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作于點(diǎn)G，試說明，的數(shù)量關(guān)系．解答思路是：過點(diǎn)M作垂線交于點(diǎn)F，構(gòu)造與全等使得問題得到解決，請根據(jù)解答思路完成下面的作圖與填空：(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)M作垂線交于點(diǎn)F（用基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，結(jié)論）(2)解：猜想：∵四邊形是正方形∴，∵，∴______①______，∵∴______②______∴∴四邊形是正方形∴______③______∴∵∴∴______④______在與中，∴∴______⑥______7．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，四邊形是菱形，連接，，點(diǎn)在線段上，連接，的延長線交于點(diǎn)．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在內(nèi)部作，使得，交邊于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．保留作圖痕跡(2)在(1)所作的圖中，求證：．完成下列填空．證明：四邊形是菱形；∴，，；；與均為等邊三角形；，；；在與中，；．8．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？家荒＃┰谄叫兴倪呅沃校瑸檫吷系囊稽c(diǎn)，連接，．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）所作的圖形中，連接，若，證明：四邊形為菱形．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴①∵∴即②∵即且∴四邊形為③又∵④∴四邊形AFCE為菱形．9．（2023·重慶南岸·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)三角形的過程中，小明遇到這樣一個問題：如圖，在中，，把分成兩個等腰三角形，并說明理由．聰明的小明經(jīng)過思考后很快就有了思路：作線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，得到兩條相等線段，從而構(gòu)造出等腰三角形，使問題得到了解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖并填空：解：用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，，連接．（不寫作法，不下結(jié)論，只保留作圖痕跡）∵垂直平分線段，∴①．即是等腰三角形，∴．∵，∴②．∵，∴，∴③．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．10．（2023·重慶沙坪壩·統(tǒng)考一模）小明在學(xué)習(xí)的過程中，遇到了一個問題：在四邊形中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且平分，平分．求證：．他的思路是：首先過點(diǎn)作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，使問題得到解決．請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)（只保留作圖痕跡）．，．又，_____①_____．平分，_____②_____．又_____③_____．_____④_____．．同理可得_____⑤_____．．11．（2023·重慶開州·校聯(lián)考一模）如圖，直線，線段分別與直線、交于點(diǎn)C、點(diǎn)B，滿足．(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，交線段于點(diǎn)O，連接、、、．（保留作圖痕跡，不寫做法，不下結(jié)論）(2)求證：四邊形為菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵，∴________①________，∵垂直平分，∴，，∴________②________，∴________③________，∵，∴，∴，∴四邊形是_________④_________，∵，∴四邊形是菱形．12．（2023·重慶合川·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，連接．(1)尺規(guī)作圖：在下方作射線，使得，且射線交的延長線于點(diǎn)（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）所作的圖中，連接，若，求證：四邊形是菱形．（請補(bǔ)全下面的證明過程）證明：∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，∴，在和中，∴______，∴______，∵，∴______．∴四邊形是平行四邊形．又∵_(dá)_____，∴平行四邊形是菱形．13．（2023·重慶九龍坡·統(tǒng)考一模）如圖，是平行四邊形的對角線，平分，交于點(diǎn)E．(1)請用尺規(guī)作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請完成下面的填空．證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴①（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵平分，平分，∴②，③，∴④，∴∥⑤，又∵四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形為平行四邊形（⑥）（填推理的依據(jù)）．14．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）在學(xué)習(xí)角平分線的過程中，小琦遇到了這樣一個問題：在梯形中，，若平分，且點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，則.他的思路是：過點(diǎn)E作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，進(jìn)行轉(zhuǎn)邊，從而解決問題.請根據(jù)小琦的思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F（保留作圖痕跡）平分，∴____①____又∴____②____(，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，在與中，___③_____

15．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）如圖，已知E是平行四邊形對角線上的點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B在平行四邊形內(nèi)部作射線交于點(diǎn)F，且使，連接、，證明四邊形是平行四邊形．解答思路：利用平行四邊形的性質(zhì)得到線段和角相等，再通過與全等得邊角關(guān)系，然后利用一組對邊平行且相等使問題得到解決，請根據(jù)解答思路完成下面的作圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)B在平行四邊形內(nèi)部作射線交于點(diǎn)F，且使，連接、（保留作圖痕跡，不寫作法與證明）(2)證明：∵在四邊形是平行四邊形，∴①，；∴②在與中，∴，∴③，，∴______④___________∴四邊形是平行四邊形．16．（2023·重慶·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？级＃┤鐖D，是矩形的對角線，平分，交于點(diǎn)E，．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作國痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請完成下面的填空．證明：∵四邊形是矩形∴∴又∵平分，平分∴，∴∴又∵四邊形是矩形∴∴四邊形為平行四邊形17．（2023·重慶江津·重慶市江津中學(xué)校校考二模）如圖，已知點(diǎn)在的邊上，且．

(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，判斷與的位置關(guān)系，并把證明過程補(bǔ)充完整．判斷：①，理由如下：∵（已知）∴②（

③

）又∵平分（已知）∴（

④

）又∵∴（等量代換）∴⑤（

⑥

）18．（2023·重慶渝中·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)D．為的邊上一點(diǎn)，請?jiān)谶吷洗_定一點(diǎn)E，（要求：尺規(guī)作圖、保留作圖痕跡、不寫作法）；

下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．作法：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點(diǎn)G、F；②以點(diǎn)D為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)M；③以點(diǎn)M為圓心，長為半徑畫弧，交弧于點(diǎn)P；④作射線交于點(diǎn)E，則；⑤連接，則·根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作，垂足分別為K、H，∵，∴；∵，∴°；∴，∴四邊形是矩形，∴；∵，；∴·19．（2023·重慶九龍坡·?？级＃┤鐖D，是矩形的對角線，平分，交于點(diǎn)E，．

(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線，交于點(diǎn)F（只保留作國痕跡，不寫作法）；(2)根據(jù)圖形證明四邊形為平行四邊形，請完成下面的填空．證明：∵四邊形是矩形∴∴______①_____又∵平分，平分∴，_____②______∴_____③______∴又∵四邊形是矩形∴______④_____∴四邊形為平行四邊形20．（2023·重慶九龍坡·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？既＃┤鐖D，在菱形中，對角線、相交于點(diǎn)O．

(1)尺規(guī)作圖：在的延長線上截取，連接，再過點(diǎn)B作的垂線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：四邊形為矩形．證明：∵∴①∵四邊形是菱形∴，，∴∵∴②又∵∴四邊形為平行四邊形∴③∴∴④∴∴四邊形為矩形．21．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考三模）由平行四邊形如何構(gòu)造菱形？如圖，平行四邊形中，平分，珈跏的思路是：過點(diǎn)A作的垂線，垂足為G，交線段于點(diǎn)F，然后利用四邊相等的四邊形是菱形即可完成構(gòu)造，請根據(jù)以上思路完成作圖和填空．證明：用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)A作的垂線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接（只保留作圖痕跡）

∵四邊形是平行四邊形，∴①______∴，∵平分，∴，∴②______∴，∵，∴，又∵，∴，∴③______，∵，，∴垂直平分，∴④______，，∴四邊形是菱形．22．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才