考點(diǎn)02 一元二次方程的6大解法-解析版

考點(diǎn)02一元二次方程的6大解法1，直接開平方法的方法如果方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以直接開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義可解得x1=,x2=.直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接開平方法。用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1；③兩邊直接開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。2，配方法的用法1、配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開；2、把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；3、方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；4、方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；5、若等號右邊為非負(fù)數(shù)，直接開平方求出方程的解。3，公式法的用法一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的兩個根為x=，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。公式法解一元二次方程的具體步驟：方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值確定公式中a,b,c的值，注意符號；求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，則方程無實(shí)數(shù)根。4，因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步驟（1）將方程右邊化為0；（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特別說明：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式；（4）解一元二次方程時如果能用因式分解法進(jìn)行解題，它是首選。5，換元法的用法1、解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理.2、我們常用的是整體換元法,是在已知或者未知中,某個代數(shù)式幾次出現(xiàn),而用一個字母來代替它從而簡化問題,當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn).把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程,從而達(dá)到降次的目的.,6，十字相乘法的用法十字相乘法，形如x2+(a+b)x+ab=0的一元二次方程可變形為(x+a)(x+b)=0.例如x2+5x+6=0解：(x+2)(x+3)=0,解得x1=-2,x2=-3.用十字相乘法解一元二次方程X2x3步驟：①因式分解豎直寫；3x+2x=5x②交叉相乘驗(yàn)中項(xiàng)；(x+2)(x+3)=0③橫向?qū)懗鰞梢蚴??？键c(diǎn)1直接開平方法考點(diǎn)2配方法考點(diǎn)3公式法考點(diǎn)4因式分解法考點(diǎn)5換元法考點(diǎn)6十字相乘法考點(diǎn)1直接開平方法1．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓煾街行？计谀┙夥匠?1)(2)【答案】(1)，(2)或【分析】（1）用直接開平方法解一元二次方程即可；（2）用配方法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得：，開平方得：或，解得：，；（2）解：，移項(xiàng)得：，配方得：，即，開平方得：或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解二元一次方程的方法，準(zhǔn)確計(jì)算．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】利用直接開平方法解方程即可．【詳解】解：，或，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程—直接開平方法，形如或的一元二次方程可采用直接開平方法的方法解一元二次方程．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直接開平方法求解即可；（2）根據(jù)直接開平方法求解即可．【詳解】（1）解：，，∴，∴；（2）解：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方法解一元二次方程，正確計(jì)算是關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）解方程．【答案】，．【分析】根據(jù)直接開平方法即可得方程的解．【詳解】解：，整理得，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程直接開平方法：形如或的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．考點(diǎn)2配方法5．（2023春·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）用配方法解方程：．【答案】，【分析】利用配方法解答，即可求解．【詳解】解：原方程化為，∴，∴，即，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：（配方法）．【答案】，【分析】先移項(xiàng)，再把方程兩邊除以2，然后利用配方法得到，最后再利用直接開平方法進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）解方程：（配方法）．【答案】，【分析】先把方程化成，它的二次項(xiàng)系數(shù)為，為了便于配方，需要把二次項(xiàng)系數(shù)化為．【詳解】移項(xiàng)，得．二次項(xiàng)系數(shù)化為，得．配方，得，．由此可得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查采用配方法解一元二次方程，牢記配方法的定義（通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法）是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）配方法解方程．【答案】．【分析】先將方程整理為一般式，再進(jìn)行配方求解即可．【詳解】解：整理，得：，∴，則，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的方法和步驟．考點(diǎn)3公式法9．（2021秋·廣東深圳·九年級深圳市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）【答案】【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：即，∵，，∴，解得：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·廣西梧州·八年級統(tǒng)考期末）解方程：【答案】，【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查公式法解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．11．（2019秋·廣東中山·九年級?？奸_學(xué)考試）用公式法解一元二次方程：．【答案】，【分析】直接利用公式法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）用公式法解方程：．【答案】【分析】先找出方程中的值，再利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】解：．變形得：．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了利用公式法解一元二次方程，牢記公式是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)4因式分解法13．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）解方程：．【答案】，【分析】方程移項(xiàng)變形后，提取公因式化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【詳解】解：方程變形得：，分解因式得：，，可得或，解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·湖南邵陽·九年級校聯(lián)考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分解因式法解答即可；（2）原方程整理成一般形式后，再利用分解因式法求解．【詳解】（1）原方程即為，∴或，∴；（2）原方程整理得，即為，∴或，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的求解，熟練掌握分解因式法解方程的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2023春·安徽亳州·八年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）首先整理成一般式，然后利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，∵，，∴∴解得，；（2）解：整理成一般式，得：，則，∴或，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．16．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）解方程：．【答案】，【分析】移項(xiàng)，應(yīng)用因式分解法解答即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得，方程左邊因式分解，得，整理，得所以，，或，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，解答關(guān)鍵是分析方程特征，選擇適當(dāng)方法進(jìn)行分解．考點(diǎn)5換元法17．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知，求的值．【答案】3【分析】先用換元法令，再解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：令，則原等式可化為：，解得：，，，即．的值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法、一元二次方程的解法，注意為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵．18．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）閱讀下面的材料：解方程這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，則，∴原方程可化為，解得，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，．∴原方程有四個根是，，，．以上方法叫換元法，達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．運(yùn)用上述方法解答下列問題：(1)解方程：；(2)已知實(shí)數(shù)，滿足，試求的值．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）設(shè)，則，整理，得，解關(guān)于的一元二次方程，然后解關(guān)于的一元二次方程即可求解；（2）設(shè)，則，整理，得，解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，則，整理，得，解得，，當(dāng)即時，解得；當(dāng)即時，解得；∴原方程的解為，，，；（2）設(shè)，則，整理，得，解得，舍去，．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法是解題的關(guān)鍵．19．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）解方程：(1)配方法：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)換元法解一元二次方程，然后根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：∴即∴∴，解得：（2）解：設(shè)，則即解得：∴或由得解得：由，，方程無實(shí)根，∴原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2023·青?！そy(tǒng)考一模）提出問題為解方程，我們可以將視為一個整體，然后可設(shè)，則，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得，．當(dāng)時，，，∴；當(dāng)時，，，∴．∴原方程的解為，，，．以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解決問題（1）運(yùn)用上述換元法解方程．延伸拓展（2）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，求的值．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)材料提示，利用換元法解方程即可求解；（2）按整式的乘法，先展開，再合并同類項(xiàng)，利用完全平方公式以及材料中換元法解方程即可求解．【詳解】解：解決問題：（1）設(shè)，∴原方程變形為，解得，，，當(dāng)時，，故舍去；當(dāng)時，，解得，，；綜上所示，原方程的解為，．延伸拓展：（2）∴，∴原式變形為，∴，設(shè)，∴，則，解得，，即，∵，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程的運(yùn)用，掌握整體思想，換元思想解方程，完全平方公式的變形是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)6十字相乘法21．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）解方程：．【答案】，【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：將原方程的左邊進(jìn)行因式分解得：則或所以，【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是對二次三項(xiàng)式進(jìn)行正確的因式分解．22．（2023春·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）解一元二次方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可；（2）用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：配方得：，開平方得：，∴，；（2）解：分解因式得：∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的一般方法，準(zhǔn)確計(jì)算．23．（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析