因式分解知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)二

因式分解知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)二概述定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫作分解因式。意義：它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，開展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)的整式四那么運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好根底；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、注意、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力。分解因式與整式乘法互為逆變形。因式分解的方法因式分解沒有普遍的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項(xiàng)式輪換對稱多項(xiàng)式法，余數(shù)定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。注意三原那么1分解要徹底2最后結(jié)果只有小括號(hào)3最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正〔例如：-3x^2+x=-x(3x-1)〕根本方法⑴提公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的；取相同的多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的次數(shù)取最低的。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出“-〞號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-〞號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提凈；全家都搬走，留1把家守；提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。〔3〕分解因式技巧1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。2.分解因式技巧掌握：①等式左邊必須是多項(xiàng)式；②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示；③每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來多項(xiàng)式的次數(shù)；④分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。3.提公因式法根本步驟：〔1〕找出公因式；〔2〕提公因式并確定另一個(gè)因式：①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)在確定字母；②第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。競賽用到的方法⑶分組分解法分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)。能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比方：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1.5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。2.x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1)=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。3.x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。⑷十字相乘法這種方法有兩種情況。①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．②kx²+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．圖示如下：×cd例如：因?yàn)?-3×72-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中⑸拆項(xiàng)、添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)〔或幾項(xiàng)〕，使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原那么下進(jìn)行變形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法對于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原那么下進(jìn)行變形。例如：x²+3x-40=x²+=(x+1.5)²-(6.5)²=(x+8)(x-5)．⑺應(yīng)用因式定理對于多項(xiàng)式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，那么可確定x+2是x²+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、對于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，假設(shè)X=q/p〔p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)〕該多項(xiàng)式值為零，那么q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)；2、對于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，那么有a為c/b約數(shù)⑻換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的局部換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意:換元后勿忘還元.例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時(shí)，可以令y=x²+x,那么原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．也可以參看右圖。⑼求根法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，那么該多項(xiàng)式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時(shí)，令2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=0，那么通過綜合除法可知，該方程的根為0.5，-3，-2，1．所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．⑽圖象法令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,……xn，那么多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。例如在分解x^3+2x^2-5x-6時(shí)，可以令y=x^3;+2x^2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2那么x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．⑾主元法先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。⑿特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10復(fù)原成x，即得因式分解式。例如在分解x^3+9x^2+23x+15時(shí)，令x=2，那么x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7．注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值，那么x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后確實(shí)如此。⒀待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．那么x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．也可以參看右圖。⒁雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下:ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fx、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來說明如何使用。例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可x2y2①②③x3y6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．雙十字相乘法其步驟為：①先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；②先依一個(gè)字母〔如y〕的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；③再按另一個(gè)字母〔如x〕的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖③，這一步不能省，否那么容易出錯(cuò)。多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；②如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解；④分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要適宜。〞幾道例題1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)〔補(bǔ)項(xiàng)〕=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)〔完全平方〕=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．2．求證：對于任何實(shí)數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．〔分解因式的過程也可以參看右圖。〕當(dāng)y=0時(shí)，原式=x^5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．∴(a-c)(a+2b+c)=0．∵a、b、c是△ABC的三條邊，∴a＋2b＋c＞0．∴a－c＝0，即a＝c，△ABC為等腰三角形。4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．因式分解四個(gè)注意：因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公〞先提“公〞，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底〞?，F(xiàn)舉下例可供參考例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。解：－a2－b2＋2ab＋4＝－〔a2－2ab＋b2－4〕＝－〔a－b＋2〕〔a－b－2〕這里的“負(fù)〞，指“負(fù)號(hào)〞。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如－9x2＋4y2＝〔－3x〕2－〔2y〕2＝〔－3x＋2y〕〔－3x－2y〕＝〔3x－2y〕〔3x＋2y〕的錯(cuò)誤例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1〔2xny－3x2y2＋1〕這里的“公〞指“公因式〞。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公