高2020級高一數(shù)學(xué)暑假一遍過答案（2021.6.29）

高2020級高一數(shù)學(xué)暑假復(fù)習(xí)一遍過參考答案高一數(shù)學(xué)暑假一遍過（一）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，則M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}C[M∩N＝{－2，－1,0}，故選C.]2．設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，則集合?U(A∩B)的元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C[∵A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，故?U(A∩B)共有3個(gè)元素．]3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，則()A．A＝B B．A∩B＝?C．AB D．BAD[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴BA，故選D.]4．已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0,3)，(3,0)，則f[f(0)]＝()A．2 B．4C．0 D．3C[結(jié)合圖象可得f(0)＝3，則f[f(0)]＝f(3)＝0.]5．函數(shù)f(x)＝eq\r(1＋x)＋eq\f(x,1－x)的定義域是()A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]C．[－1,1)∪(1，＋∞) D．RC[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x≥0，,1－x≠0，))得x≥－1且x≠1，即定義域?yàn)閇－1,1)∪(1，＋∞)．]6．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝xeq\f(1,3)A[由函數(shù)是偶函數(shù)可排除選項(xiàng)B，D，又函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以排除C，故選A.]7．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()A．4 B．3C．2 D．1B[由題意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4，兩式相加，解得g(1)＝3.]8．函數(shù)y＝eq\f(x－2,x－1)的圖象是()ABCDB[∵y＝eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(x－1－1,x－1)＝1－eq\f(1,x－1)，∴函數(shù)y＝eq\f(x－2,x－1)的圖象可以看作把y＝－eq\f(1,x)向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，故選B.]9．已知正方形的周長為x，它的外接圓的半徑為y，則y關(guān)于x的解析式為()A．y＝eq\f(1,2)x B．y＝eq\f(\r(2),4)xC．y＝eq\f(\r(2),8)x D．y＝eq\f(\r(2),16)xC[正方形的對角線長為eq\f(\r(2),4)x，從而外接圓半徑為y＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),4)x＝eq\f(\r(2),8)x.]10．若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1是定義在[－1－a,2a]上的偶函數(shù)，則該函數(shù)的最大值為()A．5 B．4C．3 D．2A[由題意可知－1－a＋2a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x2＋bx＋1，又f(x)為偶函數(shù)，故b＝0，∴f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]∴f(x)max＝f(2)＝f(－2)＝4＋1＝5，選A.]11．若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1x＋4a，x<1，,－ax，x≥1))是定義在(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))A[由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1<0，,－a<0，,－a≤3a－1＋4a，))解得eq\f(1,8)≤a<eq\f(1,3)，故選A.]12．若f(x)滿足f(－x)＝f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2)B．f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)C．f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)D[由已知可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(－1)＝f(1)．∵1<eq\f(3,2)<2，∴f(1)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>f(2)，即f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)．]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列舉法表示集合B為________．{4,9,16}[由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]14．若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．(－∞，1]和(1，＋∞)[由函數(shù)圖象可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1]和(1，＋∞)．]15．設(shè)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))＝eq\r(x)，則f(x)＝________.eq\r(\f(1,x＋1))(x>－1)[令t＝eq\f(1,x)－1，解得x＝eq\f(1,t＋1)，代入得f(t)＝eq\r(\f(1,t＋1))，又因?yàn)閤>0，所以t>－1，故f(x)的解析式為f(x)＝eq\r(\f(1,x＋1))(x>－1)．]16．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}(結(jié)果用區(qū)間表示)．(1)求A∩B，A∪B，(?UA)∩(?UB)；(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范圍．[解](1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}，∴A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，(?UA)∩(?UB)＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．又A?C，如圖，∴a的取值范圍為{a|a<3}．18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2,2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．(1)求函數(shù)g(x)的定義域；(2)若f(x)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求不等式g(x)≤0的解集．[解](1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－2,2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x－1<2，,－2<3－2x<2，))∴eq\f(1,2)<x<eq\f(5,2).故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).(2)∵f(x)是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，由不等式g(x)≤0，得f(x－1)≤－f(3－2x)＝f(2x－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x－1<2，,－2<2x－3<2，,x－1≥2x－3，))∴eq\f(1,2)<x≤2.故不等式g(x)≤0的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).19．(本小題滿分12分)設(shè)A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．(1)求a的值及集合A，B；(2)設(shè)全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；(3)寫出(?UA)∪(?UB)的所有子集．[解](1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0與x2＋3x＋2a＝0的公共解，則a＝－5，此時(shí)A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，B＝{－5,2}．(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，\f(1,2)，2)).由補(bǔ)集的概念易得?UA＝{－5}，?UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以(?UA)∪(?UB)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，\f(1,2))).(3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即為集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，\f(1,2)))的所有子集：?，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，{－5}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－5，\f(1,2))).20．(本小題滿分12分)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－x－1.(1)求f(x)的解析式；(2)作出函數(shù)f(x)的圖象(不用列表)，并指出它的增區(qū)間．[解](1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.當(dāng)x＝0時(shí)，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－1，x>0，,0，x＝0，,－x2－x＋1，x<0.))(2)作出函數(shù)圖象，如圖所示．由函數(shù)圖象易得函數(shù)的增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))，eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).21．(本小題滿分12分)已知f(x)在R上是單調(diào)遞減的一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x－1.(1)求f(x)；(2)求函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值與最小值．[解](1)由題意可設(shè)f(x)＝ax＋b，a＜0，由于f(f(x))＝4x－1，則a2x＋ab＋b＝4x－1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.(2)由(1)知，函數(shù)y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，故函數(shù)y＝x2－3x＋1的圖象開口向上，對稱軸為x＝eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))上為減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))上為增函數(shù)．又由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)，f(－1)＝5，f(2)＝－1，則函數(shù)y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值為5，最小值為－eq\f(5,4).22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋b,1＋x2)為奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)；(3)解關(guān)于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.[解](1)∵函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋b,1＋x2)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝b＝0.(2)由(1)可得f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．證明：設(shè)x2＞x1＞1，則有f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,1＋x\o\al(2,1))－eq\f(x2,1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1＋x1x\o\al(2,2)－x2－x2x\o\al(2,1),1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))＝eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2)).再根據(jù)x2＞x1＞1，可得1＋xeq\o\al(2,1)＞0,1＋xeq\o\al(2,2)＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，∴eq\f(x1－x21－x1x2,1＋x\o\al(2,1)1＋x\o\al(2,2))＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，因?yàn)?＋x2≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，再根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)，可得1＋x2＜x2－2x＋4，解得x＜eq\f(3,2)，故不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).高一數(shù)學(xué)暑假一遍過(二)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若a<eq\f(1,2)，則化簡eq\r(4,2a－12)的結(jié)果是()A.eq\r(2a－1) B．－eq\r(2a－1)C.eq\r(1－2a) D．－eq\r(1－2a)C[∵a<eq\f(1,2)，∴2a－1<0.于是，原式＝eq\r(4,1－2a2)＝eq\r(1－2a).]2．計(jì)算：log225·log52eq\r(2)＝()A．3 B．4C．5 D．6A[log225·log52eq\r(2)＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg5)＝eq\f(2lg5·lg2\f(3,2),lg2·lg5)＝2×eq\f(3,2)＝3.]3．函數(shù)y＝eq\r(x－1)·ln(2－x)的定義域?yàn)?)A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]B[要使解析式有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2，所以所求函數(shù)的定義域?yàn)閇1,2)．]4．下列冪函數(shù)中過點(diǎn)(0,0)，(1,1)的偶函數(shù)是()A．y＝xeq\s\up8(eq\f(1,2)) B．y＝x4C．y＝x－2 D．y＝xeq\s\up8(eq\f(1,3))B[對A，y＝xeq\s\up8(eq\f(1,2))的定義域?yàn)閇0，＋∞)，不是偶函數(shù)；C中，y＝x－2不過(0,0)點(diǎn)，D中，y＝xeq\s\up8(eq\f(1,3))是奇函數(shù)，B中，y＝x4滿足條件．]5．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是()D[法一(排除法)：當(dāng)a>1時(shí)，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝xa為增函數(shù)，y＝logax為減函數(shù)，排除A.由于y＝xa遞增較慢，所以選D.法二(直接法)：冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點(diǎn)，故A錯(cuò)；B項(xiàng)中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯(cuò)，D對；C項(xiàng)中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時(shí)冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯(cuò)．]6．若loga3＝m，loga5＝n，則a2m＋n的值是()A．15 B．75C．45 D．225C[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]7．函數(shù)f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的圖象()A．關(guān)于原點(diǎn)對稱 B．關(guān)于直線y＝x對稱C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱D[易知f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵f(－x)＝eq\f(4－x＋1,2－x)＝eq\f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱．]8．若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)∪(1，＋∞)C[由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時(shí)2a>1，∴a>eq\f(1,2)，綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>a>bC[c＝，只需比較log23.4，log43.6，log3eq\f(10,3)的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3eq\f(10,3)>1，所以a>c>b.]10．函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關(guān)系是()A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能確定B[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域?yàn)閇1，＋∞)，所以a>1，又函數(shù)f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以f(－4)>f(1)．]11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x)－1，x<2))滿足對任意的實(shí)數(shù)x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))B[由題意知函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(2)－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))，選B.]12．函數(shù)f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，則f(lg(lg5))的值為()A．－3 B．5C．－5 D．－9A[lg(log510)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg5)))＝－lg(lg5)，設(shè)t＝lg(lg5)，則f(lg(log510))＝f(－t)＝5.因?yàn)閒(x)＝ax5－bx＋1，所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，則f(t)＝at5－bt＋1，兩式相加得f(t)＋5＝2，則f(t)＝2－5＝－3，即f(lg(lg5))的值為－3.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．函數(shù)f(x)＝ax－1＋3的圖象一定過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是________．(1,4)[由于函數(shù)y＝ax恒過(0,1)，而y＝ax－1＋3的圖象可看作由y＝ax的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的，則P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)．]14．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))[函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，令t＝2x＋1(t>0)．因?yàn)閥＝log5t在t∈(0，＋∞)上為增函數(shù)，t＝2x＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上為增函數(shù)，所以函數(shù)y＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).]15．若f(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)為R上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．eq\f(1,3)[因?yàn)閒(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即eq\f(a·20＋2a－1,20＋1)＝0，所以a＝eq\f(1,3).]16．已知125x＝12.5y＝1000，則eq\f(y－x,xy)＝________.eq\f(1,3)[因?yàn)?25x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，eq\f(y－x,xy)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log1000125－log100012.5＝log1000eq\f(125,12.5)＝log100010＝eq\f(1,3).]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)18．(本小題滿分12分)已知指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)過點(diǎn)(－2,9)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)將點(diǎn)(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(x).(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)<f(m＋3)．∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up8(x)為減函數(shù)，∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4，＋∞)．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．20．(本小題滿分12分)已知1≤x≤4，求函數(shù)f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)的最大值與最小值．[解]∵f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)＝(log2x－2)(log2x－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(3,2)))eq\s\up8(x)－eq\f(1,4)，又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴當(dāng)log2x＝eq\f(3,2)，即x＝2eq\f(3,2)＝2eq\r(2)時(shí)，f(x)有最小值－eq\f(1,4).當(dāng)log2x＝0時(shí)，f(x)有最大值2，此時(shí)x＝1.即函數(shù)f(x)的最大值是2，最小值是－eq\f(1,4).21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(3－x)(a＞0且a≠1)．(1)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的定義域；(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f(x)≥g(x)中x的取值范圍．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0，,3－x＞0，))得1＜x＜3，∴函數(shù)h(x)的定義域?yàn)?1,3)．(2)不等式f(x)≥g(x)，即為loga(x－1)≥loga(3－x)．(*)①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式(*)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤3－x，,x－1>0，,3－x>0，))解得1＜x≤2.②當(dāng)a＞1時(shí)，不等式(*)等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,3－x>0，,x－1≥3－x，))解得2≤x＜3.綜上，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式解集為(1,2]；當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式解集為[2,3)．22．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x))).(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)求證：f(x)＋f(y)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,1＋xy)))；(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,1＋ab)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,1－ab)))＝2，求f(a)，f(b)的值．[解](1)證明：由函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))，可得eq\f(1－x,1＋x)>0，即eq\f(x－1,1＋x)<0，解得－1<x<1，故函數(shù)的定義域?yàn)?－1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．再根據(jù)f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，可得f(x)是奇函數(shù)．(2)證明：f(x)＋f(y)＝lgeq\f(1－x,1＋x)＋lgeq\f(1－y,1＋y)＝lgeq\f(1－x1－y,1＋x1＋y)，而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,1＋xy)))＝lgeq\f(1－\f(x＋y,1＋xy),1＋\f(x＋y,1＋xy))＝lgeq\f(1＋xy－x－y,1＋xy＋x＋y)＝lgeq\f(1－x1－y,1＋x1＋y)，∴f(x)＋f(y)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,1＋xy)))成立．(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,1＋ab)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,1－ab)))＝2，則由(2)可得f(a)＋f(b)＝1，f(a)－f(b)＝2，解得f(a)＝eq\f(3,2)，f(b)＝－eq\f(1,2).高一數(shù)學(xué)暑假一遍過(三)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．)1．函數(shù)y＝1＋eq\f(1,x)的零點(diǎn)是()A．(－1,0) B．－1C．1 D．0解析：由1＋eq\f(1,x)＝0，得eq\f(1,x)＝－1，∴x＝－1.答案：B2．已知下列四個(gè)函數(shù)圖象，其中能用“二分法”求出函數(shù)零點(diǎn)的是()解析：由二分法的定義易知選A.答案：A3．若一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()解析：由題意h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖象為B.答案：B4．利用計(jì)算器，列出自變量和函數(shù)值的對應(yīng)值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…那么方程2x＝x2的一個(gè)根位于下列哪個(gè)區(qū)間()A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)解析：構(gòu)造f(x)＝2x－x2，則f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)內(nèi)存在一點(diǎn)使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一個(gè)根就位于區(qū)間(1.8，2.2)上．答案：C5．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(雙)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價(jià)格為每雙10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()A．200雙 B．400雙C．600雙 D．800雙解析：要使該廠不虧本，只需10x－y≥0，即10x－(5x＋4000)≥0，解得x≥800.答案：D6．某工廠12年來某產(chǎn)品總產(chǎn)量S與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種說法：①前三年總產(chǎn)量增長的速度越來越快；②前三年總產(chǎn)量增長的速度越來越慢；③第3年后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了；④第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加．其中正確的說法的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由圖可知，前三年是由快變慢，第3～第8年總產(chǎn)量未發(fā)生變化，即停止生產(chǎn)．第8～第12年體現(xiàn)為勻速增長(直線模型)故②、③、④正確．答案：C7．某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝0.1x2－11x＋3000，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者的利潤取最大值時(shí)，產(chǎn)量x等于()A．55臺(tái) B．120臺(tái)C．150臺(tái) D．180臺(tái)解析：設(shè)產(chǎn)量為x臺(tái)，利潤為S萬元，則S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3000)＝－0.1x2＋36x－3000＝－0.1(x－180)2＋240，則當(dāng)x＝180時(shí)，生產(chǎn)者的利潤取得最大值．答案：D8．設(shè)f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，則方程f(x)＝0在[－1,1]內(nèi)()A．可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根 B．可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C．有唯一的實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根解析：由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<0，知方程f(x)＝0在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內(nèi)有實(shí)數(shù)根，而f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，易知方程f(x)＝0在[－1,1]內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根．答案：C9．函數(shù)f(x)＝lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)f(x)＝lnx與g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的圖象，如圖所示．由圖知f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選C.答案：C10．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2x，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且0<x1<x0，則f(x1)的值()A．恒為正值 B．等于0C．恒為負(fù)值 D．不大于0解析：∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(x0)＝0，∴當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，均有f(x)>0，而0<x1<x0，∴f(x1)>0.答案：A11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AC平行于x軸，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，記正方形ABCD位于直線x＝t(t＞0)左側(cè)部分的面積為f(t)，則f(t)的大致圖象是()解析：由題意得，f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2，0＜t≤\f(\r(2),2)，,－t－\r(2)2＋1，\f(\r(2),2)＜t＜\r(2)，,1，t≥\r(2)，))故其圖象為C.答案：C12．一位設(shè)計(jì)師在邊長為3的正方形ABCD中設(shè)計(jì)圖案，他分別以A，B，C，D為圓心，beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<b≤\f(3,2)))為半徑畫圓，由正方形內(nèi)的圓弧與正方形邊上的線段構(gòu)成了豐富多彩的圖形，如圖所示，則這些圖形中實(shí)線部分總長度的最小值為()A．π B．2πC．3π D．4π解析：由題意知實(shí)線部分的總長度為l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l是關(guān)于b的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)2π－8<0，故l關(guān)于b的函數(shù)單調(diào)遞減．因此，當(dāng)b取最大值時(shí)，l取得最小值，結(jié)合圖形知，b的最大值為eq\f(3,2)，代入上式得lmin＝(2π－8)×eq\f(3,2)＋12＝3π.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．)13．已知函數(shù)f(x)＝3mx－4，若在區(qū)間[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[－2,0]上存在零點(diǎn)x0使f(x0)＝0，且f(x)單調(diào)，所以f(－2)·f(0)≤0，所以(－6m－4)×(－4)≤0，解得m≤－eq\f(2,3).所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))14．若函數(shù)f(x)＝|4x－x2|－a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，則a＝__________.解析：作出函數(shù)y＝|x2－4x|與函數(shù)y＝4的圖象(圖略)，可發(fā)現(xiàn)它們恰有3個(gè)交點(diǎn)．答案：415．我國股市中對股票的股價(jià)實(shí)行漲、跌停制度，即每天的股價(jià)最大的漲幅或跌幅為10%，某股票連續(xù)四個(gè)交易日中前兩日每天漲停、后兩日每天跌停，則該股票的股價(jià)相對于四天前的漲跌情況是__________(用數(shù)字作答)．解析：(1＋10%)2·(1－10%)2＝0.9801,而0.9801－1＝－0.0199，即跌了1.99%.答案：跌了1.99%16．函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N*)，則n＝__________.解析：設(shè)g(x)＝lnx，h(x)＝－3x＋7，則函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象，如圖所示．由圖象知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)屬于區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))，又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq\f(2,e)＜0，f(3)＝2＋ln3＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)屬于區(qū)間(2,3)．所以n＝2.答案：2三、解答題(本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)17．(10分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－m－x，其中m∈R，當(dāng)m>1時(shí)，判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，m)內(nèi)是否存在零點(diǎn)．解析：f(x)＝ex－m－x，所以f(0)＝e－m－0＝e－m>0，f(m)＝e0－m＝1－m.又m>1，所以f(m)<0，所以f(0)·f(m)<0.又函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間[0，m]上是一條連續(xù)曲線，故函數(shù)f(x)＝ex－m－x(m>1)在區(qū)間(0，m)內(nèi)存在零點(diǎn)．18．(12分)用二分法求方程2x＋x－8＝0在區(qū)間(2,3)內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)解．(精確度為0.1)解析：設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋x－8，∵f(2)＝22＋2－8＝－2＜0，f(3)＝23＋3－8＝3＞0，用二分法逐次計(jì)算，列表如下：區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值(2,3)2.50.15685(2,2.5)2.25－0.9932(2.25,2.5)2.375－0.4376(2.375,2.5)2.4375－0.1455∵|2.4375－2.5|＝0.0625＜0.1，∴方程2x＋x－8＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)解近似值為2.4375.19．(12分)某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時(shí)，按銷售利潤的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時(shí)，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)．記獎(jiǎng)金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．(1)寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤x的關(guān)系式；(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解析：(1)由題意知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.15x，0≤x≤10，,1.5＋2log5x－9，x＞10.))(2)由題意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，2log5(x－9)＝4，log5(x－9)＝2，所以x－9＝52，解得x＝34.即老江的銷售利潤是34萬元．20．(12分)如圖，直角梯形OABC位于直線x＝t右側(cè)的圖形的面積為f(t)．(1)試求函數(shù)f(t)的解析式；(2)畫出函數(shù)y＝f(t)的圖象．解析：(1)當(dāng)0≤t≤2時(shí)，f(t)＝S梯形OABC－S△ODE＝eq\f(3＋5×2,2)－eq\f(1,2)t·t＝8－eq\f(1,2)t2，當(dāng)2＜t≤5時(shí)，f(t)＝S矩形DEBC＝DE·DC＝2(5－t)＝10－2t，所以f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－\f(1,2)t20≤t≤2,10－2t2＜t≤5)).(2)圖象．21．(12分)經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售價(jià)格(單位：元)均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量(單位：件)近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天價(jià)格(單位：元)為g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價(jià)格(單位：元)為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫出該種商品的日銷售額S(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系；(2)求日銷售額S的最大值．解析：(1)根據(jù)題意，得S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2t＋200\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N，,45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.))(2)當(dāng)1≤t≤30，t∈N時(shí)，S＝－(t－20)2＋6400，當(dāng)t＝20時(shí)，S的最大值為6400；當(dāng)31≤t≤50，t∈N時(shí)，S＝－90t＋9000為減函數(shù)，當(dāng)t＝31時(shí)，S的最大值是6210.∵6210＜6400，∴當(dāng)銷售時(shí)間為20天時(shí)，日銷售額S有最大值6400元．22．(12分)蘆薈是一種經(jīng)濟(jì)價(jià)值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內(nèi)占有很大的市場．某人準(zhǔn)備進(jìn)軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進(jìn)行市場調(diào)研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)最能反映蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；(2)利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本．解析：(1)由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，若用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個(gè)來反映時(shí)都應(yīng)有a≠0，且上述三個(gè)函數(shù)均為單調(diào)函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應(yīng)選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進(jìn)行描述，將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c.))解得a＝eq\f(1,200)，b＝－eq\f(3,2)，c＝eq\f(425,2).所以，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(425,2).(2)當(dāng)t＝－eq\f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150(天)時(shí)，蘆薈種植成本最低為Q＝eq\f(1,200)×1502－eq\f(3,2)×150＋eq\f(425,2)＝100(元/10kg)．高一數(shù)學(xué)暑假一遍過（四）一、選擇題1．下列說法中，正確的是()A．第二象限的角是鈍角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－831°是第二象限角D．－95°20′，984°40′，264°40′是終邊相同的角2．若點(diǎn)(a,9)在函數(shù)y＝3x的圖象上，則taneq\f(aπ,6)的值為()A．0 B.eq\f(\r(3),3)C．1 D.eq\r(3)3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，則eq\f(θ,2)的終邊在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或x軸上D．第二、四象限或x軸上4．如果函數(shù)f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且當(dāng)x＝2時(shí)取得最大值，那么()A．T＝2，θ＝eq\f(π,2)B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝eq\f(π,2)5．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－eq\f(\r(3),2)，且π<x<2π，則x等于()A.eq\f(4,3)π B.eq\f(7,6)πC.eq\f(5,3)π D.eq\f(11,6)π6．已知a是實(shí)數(shù)，而函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖象不可能是()7．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個(gè)單位長度后，得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象，則φ＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(5π,6)C.eq\f(7π,6) D.eq\f(11π,6)8．若tanθ＝2，則eq\f(2sinθ－cosθ,sinθ＋2cosθ)的值為()A．0 B．1C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,4)9．函數(shù)f(x)＝eq\f(tanx,1＋cosx)的奇偶性是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)10．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－cosx在(0，＋∞)內(nèi)()A．沒有零點(diǎn)B．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)D．有無窮多個(gè)零點(diǎn)11．已知A為銳角，lg(1＋cosA)＝m，lgeq\f(1,1－cosA)＝n，則lgsinA的值是()A．m＋eq\f(1,n) B．m－nC.eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(1,n))) D.eq\f(1,2)(m－n)12．函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的圖象為C，①圖象C關(guān)于直線x＝eq\f(11,12)π對稱；②函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))內(nèi)是增函數(shù)；③由y＝3sin2x的圖象向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度可以得到圖象C，其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．將答案填在題中橫線上)13．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tanα＝________.14．函數(shù)y＝3cosx(0≤x≤π)的圖象與直線y＝－3及y軸圍成的圖形的面積為________．15．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的圖象如圖所示，則ω＝________.16．給出下列命題：①函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))是奇函數(shù)；②存在實(shí)數(shù)x，使sinx＋cosx＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，則tanα<tanβ；④x＝eq\f(π,8)是函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,4)))的一條對稱軸；⑤函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))成中心對稱．其中正確命題的序號為__________．三、解答題17已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sinπ－α＋5cos2π－α,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))－sin－α)的值．18．在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，求tanA的值．19．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(3)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y＝sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣變換得到？20．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，圖象與P點(diǎn)最近的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，5)).(1)求函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最大值，并寫出相應(yīng)的x的值；(3)求使y≤0時(shí)，x的取值范圍．21．(12分)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋β))，eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq\r(3)]，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當(dāng)θ＝－eq\f(π,6)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求θ的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－1，eq\r(3)]上是單調(diào)函數(shù)(在指定區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù)稱為該區(qū)間上的單調(diào)函數(shù))．高一數(shù)學(xué)暑假一遍過（四）參考答案1.解析A、B均錯(cuò)，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C錯(cuò)，∴選D.答案D2.解析由題意，得3a＝9，得a＝2，∴taneq\f(aπ,6)＝taneq\f(2π,6)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).答案D3.解析由題意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x軸上或在第四象限，故eq\f(θ,2)在第二、四象限或在x軸上．答案D4.解析由題意知T＝eq\f(2π,π)＝2，又當(dāng)x＝2時(shí)，有2π＋θ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴θ＝eq\f(π,2).答案A5.解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cosx＝－eq\f(\r(3),2)，又x∈(π，2π)，∴x＝eq\f(7π,6).答案B6.解析三角函數(shù)的周期為T＝eq\f(2π,|a|)，當(dāng)振幅大于1時(shí)，∵|a|>1，∴T<2π.∵D的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D不符合要求．答案D7.解析當(dāng)φ＝eq\f(11π,6)時(shí)，則y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2π－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).答案D8.解析∵tanθ＝2，∴eq\f(2sinθ－cosθ,sinθ＋2cosθ)＝eq\f(2tanθ－1,tanθ＋2)＝eq\f(2×2－1,2＋2)＝eq\f(3,4).答案C9.解析要使f(x)有意義，必須使eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，,1＋cosx≠0，))即x≠kπ＋eq\f(π,2)，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．又∵f(－x)＝eq\f(tan－x,1＋cos－x)＝－eq\f(tanx,1＋cosx)＝－f(x)，∴f(x)＝eq\f(tanx,1＋cosx)是奇函數(shù)．答案A10.解析在同一坐標(biāo)系里分別作出y＝eq\r(x)和y＝cosx的圖象易知，f(x)＝0有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．答案B11.解析∵m－n＝lg(1＋cosA)－lgeq\f(1,1－cosA)＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)＝lg(1＋cosA)(1－cosA)＝lgsin2A＝2lgsinA，∴l(xiāng)gsinA＝eq\f(1,2)(m－n)，故選D.答案D12.解析①把x＝eq\f(11,12)π代入f(x)知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,12)π))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(11π,12)－\f(π,3)))＝3sineq\f(3π,2)＝－3.∴x＝eq\f(11,12)π是函數(shù)f(x)的對稱軸，∴①正確．②由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．令k＝0得增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，∴②正確．③依題意知y＝3sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3)))，∴③不正確．應(yīng)選C.答案C13.解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝eq\f(1,3)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).答案－2eq\r(2)14.解析如圖，由于y＝3cosx(0≤x≤π)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))對稱，所以區(qū)域(Ⅰ)與區(qū)域(Ⅱ)也關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))成中心對稱圖形，故區(qū)域(Ⅰ)的面積為矩形ABCD的面積的一半，即eq\f(1,2)×π×6＝3π.答案3π15.解析由圖知，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)，∴T＝eq\f(4,3)π.又T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(4,3)π，∴ω＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)16.解析①y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,2)))＝－sineq\f(2,3)x是奇函數(shù)．②因?yàn)閟inx，cosx不能同時(shí)取最大值1，所以不存在實(shí)數(shù)x使sinx＋cosx＝2成立．③α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(13π,6)，則tanα＝eq\r(3)，tanβ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，tanα>tanβ，∴③不成立．④把x＝eq\f(π,8)代入函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,4)))，得y＝－1.∴x＝eq\f(π,8)是函數(shù)圖象的一條對稱軸．⑤因?yàn)閥＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))圖象的對稱中心在圖象上，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))不在圖象上，所以⑤不成立．答案①④17.解∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sinα＝－2cosα.可知cosα≠0.∴原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－2cosα＋sinα)＝eq\f(－2cosα＋5cosα,－2cosα－2cosα)＝eq\f(3cosα,－4cosα)＝－eq\f(3,4).18.解∵sinA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，①兩邊平方，得2sinAcosA＝－eq\f(1,2)，從而知cosA<0，∴∠A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).∴sinA－cosA＝eq\r(sinA＋cosA2－4sinAcosA)＝eq\r(\f(1,2)＋1)＝eq\f(\r(6),2).②由①②，得sinA＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，cosA＝eq\f(－\r(6)＋\r(2),4)，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－2－eq\r(3).19.解(1)T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.所以所求的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．(3)把y＝sin2x的圖象上所有點(diǎn)向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位，再向上平移eq\f(3,2)個(gè)單位，即得函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(3,2)的圖象．20.解(1)由題意知eq\f(T,4)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)，∴T＝π.∴ω＝eq\f(2π,T)＝2，由ω·eq\f(π,12)＋φ＝0，得φ＝－eq\f(π,6)，又A＝5，∴y＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).(2)函數(shù)的最大值為5，此時(shí)2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．∴x＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．(3)∵5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))≤0，∴2kπ－π≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)．∴kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．21.解coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋β))，即sinα＝eq\r(2)sinβ①eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α))＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))，即eq\r(3)cosα＝eq\r(2)cosβ②①2＋②2得2＝sin2α＋3cos2α.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f(1,2).∴cosα＝±eq\f(\r(2),2).又∵α∈(0，π)，∴α＝eq\f(π,4)，或α＝eq\f(3,4)π.(1)當(dāng)α＝eq\f(π,4)時(shí)，cosα＝eq\f(\r(2),2)，cosβ＝eq\f(\r(3),\r(2))cosα＝eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(π,6).(2)當(dāng)α＝eq\f(3π,4)時(shí)，cosα＝－eq\f(\r(2),2)，cosβ＝eq\f(\r(3),\r(2))cosα＝－eq\f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，∴β＝eq\f(5π,6).綜上，α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,6)，或α＝eq\f(3π,4)，β＝eq\f(5π,6).22.解(1)當(dāng)θ＝－eq\f(π,6)時(shí)，f(x)＝x2－eq\f(2\r(3),3)x－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),3)))2－eq\f(4,3).∵x∈[－1，eq\r(3)]，∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，f(x)的最小值為－eq\f(4,3)，當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)的最大值為eq\f(2\r(3),3).(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是關(guān)于x的二次函數(shù)．它的圖象的對稱軸為x＝－tanθ.∵y＝f(x)在區(qū)間[－1，eq\r(3)]上是單調(diào)函數(shù)，∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥eq\r(3)，即tanθ≥1，或tanθ≤－eq\r(3).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴θ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).高一數(shù)學(xué)暑假一遍過（五）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如圖，在⊙O中，向量eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AO,\s\up10(→))是()A．有相同起點(diǎn)的向量B．共線向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：由圖可知eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(OC,\s\up10(→))，eq\o(AO,\s\up10(→))是模相等的向量，其模均等于圓的半徑，故選C.答案：C2．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，則eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))等于()A．5B．(－1,5)C．(6,1)D．(－4,9)解析：eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,3)，eq\o(BC,\s\up10(→))＝(－3,3)，∴eq\o(AB,\s\up10(→))＋2eq\o(BC,\s\up10(→))＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)．答案：D3．設(shè)向量a，b均為單位向量，且|a＋b|＝1，則a與b的夾角θ為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)解析：因?yàn)閨a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).答案：C4．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三點(diǎn)共線，則x的值為()A．－3B．－1C．1D．3解析：eq\o(AB,\s\up10(→))∥eq\o(BC,\s\up10(→))，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x)＝4，x＝－1，故選B.答案：B5．已知向量a，b滿足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標(biāo)分別為()A．(4,0)，(－2,6)B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3)D．(－1,3)，(2,0)解析：由題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，3，,a－b＝3，－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，0，,b＝－1，3.))答案：C6．若a＝(5，x)，|a|＝13，則x＝()A．±5B．±10C．±12D．±13解析：由題意得|a|＝eq\r(52＋x2)＝13，所以52＋x2＝132，解得x＝±12.答案：C7．下列說法正確的是()A．若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B．終點(diǎn)相同的兩個(gè)向量不共線C．若|a|>|b|，則a>bD．單位向量的長度為1解析：A中，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行．B中，兩向量終點(diǎn)相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大?。鸢福篋8．已知平面內(nèi)四邊形ABCD和點(diǎn)O，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，eq\o(OD,\s\up10(→))＝d，且a＋c＝b＋d，則四邊形ABCD為()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四邊形解析：由題意知a－b＝d－c，∴eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(CD,\s\up10(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選D.答案：D9．某人在無風(fēng)條件下騎自行車的速度為v1，風(fēng)速為v2(|v1|>|v2|)，則逆風(fēng)行駛的速度的大小為()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D.eq\f(v1,v2)解析：題目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是實(shí)數(shù)，故逆風(fēng)行駛的速度大小為|v1|－|v2|.答案：C10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)，向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－1,1)，則(eq\o(OA,\s\up10(→