絕對(duì)值三角不等式 省賽獲獎(jiǎng)_第1頁
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文檔簡介

絕對(duì)值三角不等式(1)的幾何意義0ax|a+b|與|a|+|b|具有怎樣的大小關(guān)系？Oxaba+bOxaba+b（1）當(dāng)ab>0時(shí)得|a+b|=|a|+|b|（2）當(dāng)ab<0時(shí)Obaxa+ba+babxO（3）當(dāng)ab=0時(shí)得|a+b|<|a|+|b|得|a+b|=|a|+|b|

定理1

如果a,b是實(shí)數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|

當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。絕對(duì)值三角不等式例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.

所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.練習(xí):已知ε＞0,｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε,求證：｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε.證明:｜(x+y)-(a+b)｜=｜(x-a)+(y-b)｜≤｜x-a｜+｜y-b｜∵｜x-a｜＜ε,｜y-b｜＜ε,∴｜x-a｜+｜y-b｜＜ε+ε=2ε

∴

｜(x+y)-(a+b)｜＜2ε.定理2

如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。練習(xí):若｜x-a｜＜h,｜y-a｜＜k,則下列不等式一定成立的是()(A)｜x-y｜＜2h(B)｜x-y｜＜2k(C)｜x-y｜＜h+k

(D)｜x-y｜＜｜h-k｜【解析】選C.｜x-y｜=｜(x-a)+(a-y)｜≤｜x-a｜+｜a-y｜＜h+k.

如果a,b是實(shí)數(shù)，則

|a+b|≤|a|+

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