大題考法精研(一)-空間向量與空間角、距離

大題考法精研(一)——空間向量與空間角、距離12目錄3題型一直線與平面所成的角題型二二面角題型三空間距離[例1]如圖，在多面體ABCDE中，DE⊥平面BCD，△ABC為正三角形，△BCD為等腰

題型一直線與平面所成的角(1)求證AE⊥BC；(2)若AE∥平面BCD，求直線BE與平面ABC所成的線面角的正弦值．[解]

(1)證明：設(shè)F為BC的中點，連接AF，EF，則由△ABC為正三角形，得AF⊥BC.由DE⊥平面BCD，且△BCD為等腰直角三角形，計算可得BE＝CE＝2，∴EF⊥BC.又EF∩AF＝F，EF，AF

平面AEF，∴BC⊥平面AEF.∵AE

平面AEF，∴BC⊥AE.(2)法一：由(1)可知，過點E作EH⊥AF，垂足為點H，連接BH，則∠EBH就是直線BE與平面ABC所成的線面角．當(dāng)AE∥平面BCD時，[思維建模]1．用向量法破解此類線面所成角問題的關(guān)鍵(1)用定理，利用平行或垂直的判定定理，明確寫出所證明的推理過程，注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性；(2)建系，找出(或作出)兩兩垂直的三條直線，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(3)求向量，先分別求出幾何體相關(guān)點的坐標(biāo)，利用“終減起”，求出直線的方向向量，利用賦值法求出平面的法向量等；(4)用公式，求兩法向量的夾角的余弦值；(5)得結(jié)論，根據(jù)向量夾角與線面角的關(guān)系，將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間線面角．2．用幾何法破解此類線面所成角問題的關(guān)鍵(1)會轉(zhuǎn)化，即把線面所成角問題轉(zhuǎn)化為求點面距離d問題與斜線段長m的問題；(2)求距離，常利用等體積法、等面積法等，求d；[針對訓(xùn)練]1．(2023·百師聯(lián)盟開學(xué)考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形A1ADD1為矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A(1)證明：ME∥平面DCC1D1；(2)求AE與平面B1BCC1所成的角的正弦值．所以四邊形MHPE為平行四邊形．所以ME∥PH.又PH∥CD，所以ME∥CD.因為CD

平面DCC1D1，ME

平面DCC1D1，所以ME∥平面DCC1D1.(2)因為四邊形A1ADD1為矩形，所以DD1⊥AD.因為平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD.2.如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點．(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)記平面AEF與平面ABC的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍．解：(1)證明：∵C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，∴BC⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC

平面ABC，∴BC⊥平面PAC.(2)由E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，∴BC∥EF.又EF

平面AEF，BC

平面AEF，∴BC∥平面AEF.又BC

平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，∴BC∥l.題型二二面角(1)當(dāng)AB⊥PC時，證明：AC⊥PB；(2)當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大值時，求平面PAC與平面PBC夾角的余弦值．[解]

(1)證明：由于PA為圓柱的母線，所以PA⊥平面ABC，AB

平面ABC，可得PA⊥AB.由已知AB⊥PC，且PA

平面PAC，PC

平面PAC，PA∩PC＝P，所以AB⊥平面PAC.因為AC

平面PAC，所以AB⊥AC.因為PA⊥平面ABC，AC

平面ABC，所以PA⊥AC，且PA

平面PAB，AB

平面PAB，PA∩AB＝A，所以AC⊥平面PAB，且PB

平面PAB，所以AC⊥PB.(2)當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大值時，即△ABC的面積取得最大值，設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，[思維建模]1．求二面角大小的基本方法找法向量法分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小找與棱垂直的方向向量法分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小2.兩個平面夾角的向量求法設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面的夾角，用坐標(biāo)法解題的步驟如下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個平面的法向量n1，n2；[針對訓(xùn)練]3．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當(dāng)二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.解：(1)證明：以點C為坐標(biāo)原點，CD，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B2(0,2,2)，C2(0,0,3)，A2(2,2,1)，D2(2,0,2)，(2)設(shè)BP＝m(0≤m≤4)，則P(0,2，m)，

設(shè)平面A2C2D2的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，令y2＝1，得n2＝(1,1,2)．所以|cos150°|＝|cos〈n1，n2〉|整理得m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3.所以P(0,2,1)或P(0,2,3)，所以B2P＝1.(2)在菱形ABCD中，由∠BCD＝60°，知△DCB為等邊三角形，有DC＝DB.又∠PDC＝∠PDB，則△PDB≌△PDC，即PB＝PC.取BC的中點M，連接PM，DM，則BC⊥PM，BC⊥DM，而PM∩DM＝M，且兩相交直線在平面PMD內(nèi)，于是BC⊥平面PMD，而BC

平面ABCD，所以平面PMD⊥平面ABCD.在平面PMD內(nèi)過點P做PH⊥DM于點H，平面PMD∩平面ABCD＝DM，從而PH⊥平面ABCD，∠PDH是PD與平面ABCD所成的角，則∠PDH＝45°，[例3]如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，E是A1D1的中點，平面ACE與棱C1D1相交于點F.題型三空間距離(1)求證：點F為C1D1的中點；(2)若點G為棱AB上一點,且D1G⊥AC,求點G到平面ACE的距離．[解]

(1)證明：因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ACE∩平面ABCD＝AC，平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥AC.連接A1C1，因為AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四邊形AA1C1C是平行四邊形．所以A1C1∥AC，EF∥A1C1.因為E是A1D1的中點，所以點F為C1D1的中點．(2)因為DA，DC，DD1兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0,0)，A(2,0,0)，E(1,0,2)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，[思維建模]求點面距離的3種方法(2)等體積法：是立體幾何中求點到平面距離的一種常用方法，掌握這種方法的關(guān)鍵是找準(zhǔn)兩個底面并求出其面積．(3)幾何法：找到點到平面的距離，有時可轉(zhuǎn)化為過已知點A且與相關(guān)平面平行的直線上的其他點到平面的距離．[針對訓(xùn)練]5．(2023·揭陽聯(lián)考)如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，DC＝2AD＝2AB＝2a，PA＝PD，二面角P-AD-B的大小為135°，(1)過點P是否存在直線l，使直線l∥平面ABCD，若存在，作出該直線，并寫出作法與理由；若不存在，請說明理由；解：(1)過點P存在直線l，滿足直線l∥平面ABCD，理由如下：過點P在平面PAD內(nèi)作直線l平行于直線AD，因為l∥AD，l

平面ABCD，AD

平面ABCD，所以l∥平面ABCD.(2