浙江省玉環(huán)市玉城中學2021-2022學年高一上學期第一次月考數(shù)學試題

玉城中學2021-2022學年第一學期高一第一次月考數(shù)學試卷一、單項選擇題（每小題5分，共8小題40分）1.已知是第二象限角，且，則（）A.B.C. D.2.已知向量與的夾角是,且,,若,則實數(shù)的值為()A.B.C. D.3.在中,角,,的對邊分別為,,,已知,,,則()A.B.C. D.4.若兩個單位向量的夾角為,則()A.B.C.D.5.設復數(shù)滿足,則()A.B.C. D.6.在中,角,,所對的邊分別為,,,則“”,是“為銳角三角形”的()條件A.充分必要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要7.已知平形四邊形的對角線分別為，且，點是上靠近的四等分點，則（）A.B.

C.D.8.已知是邊長為的正的邊上的動點,為的中點,則的取值范圍是()A.B.C. D.二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9.已知復數(shù),其中是虛數(shù)單位,則下列結論正確的是()A.的模等于B.在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限

C.的共軛復數(shù)為D.若是純虛數(shù),則10.已知向量,,則下列選項正確的有()A. B.

C. D.11.在中,下列命題正確的是()A.B.

C.點O為的內(nèi)一點,且,則為等腰三角形

D.,則為銳角三角形12.中,角的對邊分別為.下列四個論斷正確的是()A.若,則

B.若,,,則滿足條件的三角形共有兩個

C.若且則為正三角形

D.若,,,則三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13.已知向量,,.若,則__________.14.在中,,最大邊和最小邊邊長是方程的兩實根,則邊長等于__________.15.設向量,若與的夾角為銳角,則實數(shù)的取值范圍__________16.如圖，已知正方形的邊長為1，在延長線上，且．動點從點出發(fā)沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到點，其中，則下列命題正確的是__________.（填上所有正確命題的序號）．①;②當點為中點時，;③的最大值為3;④若，則點有且只有一個;⑤的最大值為1．四、解答題（本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)（1）在復數(shù)集C中解下列方程：；（2）已知，求。18.(本小題滿分14分)已知平行四邊形ABCD中，，，M為AB的中點，N為BD上靠近B的三等分點．(1)用表示向量；(2)求證：M，N，C三點共線．19.(本小題滿分14分)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，eq\r(3))，點M滿足，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖．(1)求∠OCM的余弦值；(2)是否存在實數(shù)λ，使，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．20.(本小題滿分15分)一架飛機從A地向北偏西60°的方向飛行1000km到達B地，然后向C地飛行．設C地恰好在A地的南偏西60°方向上，并且A，C兩地相距2000km.（1）求飛機從B地到C地的距離．（2）求飛機從B地到C地的方向．21.(本小題滿分15分)在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)＝3bc，（1）若sinA＝2sinBcosC，試確定△ABC的形狀．（2）若BC＝3，求銳角△ABC周長的范圍。

2021學年第一學期玉城中學高一下第一次月考數(shù)學答案1.A∵是第二象限角，∴，∴.2.B由已知,,即,所以,即.3.D因為,,,由余弦定理得,即,∴,∴或(舍).故選:D.4.C由兩個單位向量的夾角為,可得.所以.5.A,.故選A.6.C中,,∴,,因為,,所以為銳角.當為銳角時,不一定為銳角三角形;當為銳角三角形時,一定為銳角.所以“”是“為銳角三角形”的必要非充分條件.7.D，點是上靠近的四等分點,∴，∴，∵,，8.A取的中點,以為原點,直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則:,,,設,,∴,,∴,且,∴時,取最小值;時,取最大值,∴的取值范圍是.9.BD因為,所以,因此A項錯誤;復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為點,位于第四象限,B項正確;的共軛復數(shù),C項錯誤;因為為純虛數(shù),所以,,得,故D項正確.1O.ABD由題意,對于選項A,,所以,故A選項正確;對于選項B,,所以,所以,故B選項正確;對于選項C,,,,所以,故C選項錯誤;對于選項D,,,即,故D選項正確.11.BC①由向量的減法法則可知:,題中的說法錯誤;②由向量加法的三角形法則可得:,題中的說法正確;③因為,即;又因為,所以,即,所以是等腰三角形,題中的說法正確;④若,則,據(jù)此可知為銳角,無法確定為銳角三角形,題中的說法錯誤.12.AC由正弦定理的邊化角公式可得,由于為三角形的內(nèi)角,則,故A正確;由于,則,,即滿足條件的三角形只有一個,故B錯誤;由正弦定理的角化邊公式得.又,所以,所以,則為正三角形,故C正確;由三角形面積公式得,解得,則,故D錯誤.13.,∵,∴,解得.14.7方程的兩實根顯然不相等,∴不是等邊三角形,∵,∴,不是最大角也不是最小角,∴最大邊和最小邊是,.∴,是方程的兩實根,∴,,,.15.與的夾角為銳角,.16.①②③⑤點的運動分四部分：(1)當點在之間時，設，此時，．.(2)當點在之間時，設，則，，.同理，(3)當點在之間時，設，則，且．.(4)當點在之間時，設，則，且，.由以上四種情況，易知①③正確．在(4)中，令，則，故②正確．在(2)中，即點為中點時，．在(3)中，即點與點重合時，，故滿足的點有兩個，所以④錯誤．對以上四種情況分別求，(1)，(2)，(3)，(4)，綜合四種情況知，的最大值為1，⑤正確.綜上正確的命題有①②③⑤．解：（1）。（2）18．解：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝a.∵M為AB的中點，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a.∵N為BD上靠近B的三等分點，∴eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b－a)＋a＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.(2)證明：由(1)知eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))，又eq\o(NC,\s\up6(→))與eq\o(MC,\s\up6(→))有公共點C，∴M，N，C三點共線．19.解：（1）如下圖，設A地在東西基線和南北基線的交點處．則A(0,0)，B(－1000cos30°，1000sin30°)，即B(－500eq\r(3)，500)，C(－2000cos30°，－2000sin30°)，即C(－1000eq\r(3)，－1000)．∴eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－500eq\r(3)，－1500)．∴|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝eq\r(－500\r(3)2＋－15002)＝1000eq\r(3)(km)．（2）設正南方向的單位向量為j＝(0，－1)，則eq\o(BC,\s\up16(→))與正南方向的夾角θ滿足cosθ＝eq\f(\o(BC,\s\up16(→))·j,|\o(BC,\s\up16(→))||j|)＝eq\f(1500,1000\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴θ＝30°，由圖形可知eq\o(BC,\s\up16(→))的方向是南偏西30°20.解：(1)由題意可得eq\o(OA,\s\up16(→))＝(6,0)，eq\o(OC,\s\up16(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＝(3,0)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，eq\o(CO,\s\up16(→))＝(－1，－eq\r(3))，所以cos∠OCM＝cos〈eq\o(CO,\s\up16(→))，eq\o(CM,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(CO,\s\up16(→))·\o(CM,\s\up16(→)),|\o(CO,\s\up16(→))||\o(CM,\s\up16(→))|)＝eq\f(\r(7),14).(2)設P(t，eq\r(3))，其中1≤t≤5，λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(λt，eq\r(3)λ)，eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→))＝(6－λt，－eq\r(3)λ)，eq\o(CM,\s\up16(→))＝(2，－eq\r(3))，若(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))⊥eq\o(CM,\s\up16(→))，則(eq\o(OA,\s\up16(→))－λeq\o(OP,\s\up16(→)))·eq\o(CM,\s\up16(→))＝0，即1