2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、選擇題（共10小題；共40分）1．已知兩點(diǎn)所在直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-5 B．-7 C．-2 D．22．直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．63．若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C． D．4．圓心在軸上的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓心的縱坐標(biāo)為（

）A．2 B． C．1 D．05．若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示（

）A．過點(diǎn)且與垂直的直線 B．過點(diǎn)且與平行的直線C．不過點(diǎn)且與垂直的直線 D．不過點(diǎn)且與平行的直線6．已知直線不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）．A． B． C． D．7．已知是三個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．，則8．已知在棱長(zhǎng)均為的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．9．在平行四邊形中，，,，將沿折起，使得平面平面，則到平面的距離為（

）A． B． C． D．10．中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問題為主的各種形體體積的計(jì)算公式.例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解.下圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖.對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體；對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐.若這四個(gè)三棱柱的體積之和為12，四個(gè)四棱錐的體積之和為4，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A．24 B．28 C．32 D．36二、填空題11．直線過點(diǎn)P(1，2)，且它的一個(gè)方向向量為(2，1)，則直線l的一般式方程為．12．直線l：ax+（a+1）y+2=0的傾斜角大于45°，則a的取值范圍是．13．已知，.當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù).14．已知直線l：交圓C：于A，B兩點(diǎn)，則.15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)之間距離的最小值為；②當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為定值；③存在點(diǎn)，，使得平面；④當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題16．已知圓心在x軸正半軸上的圓C，過點(diǎn)，．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與圓C交于兩點(diǎn)A，B，若，求直線l的方程．17．已知函數(shù)圖像的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求角的大??；(2)若，，的面積為，求a，c的值．19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答.①；②；③與平面所成的角為.若平面，，且______________，求二面角的余弦值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，．(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?

若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為.(1)直接寫出的所有自鄰集；(2)若為偶數(shù)且，求證：的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；(3)若，求證.1．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，列出斜率表達(dá)式，然后根據(jù)傾斜角得到斜率，列出方程求解即可.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)所在直線的傾斜角為，所以即，解得故選：2．A【分析】直接利用斜率相等列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故選：A.本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.3．C【分析】根據(jù)直線方程求得在坐標(biāo)軸的截距，結(jié)合題意列出方程組，即可求解.【詳解】由直線，令，可得；令，可得，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為1，所以，可得，解得.故選：C.4．C【分析】由題意直線垂直于直線，利用點(diǎn)斜式寫出直線，再求其與軸交點(diǎn)即得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，直線垂直于直線，則直線，又圓心在軸上，令，則，即圓心的縱坐標(biāo)為1.故選：C5．B【分析】由題意可推出，由此可判斷直線與平行，將代入方程，看是否成立，判斷直線是否過點(diǎn)P，可得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，故且為常數(shù)，所以方程中，且為常數(shù)，則直線與平行，將代入中，即，即點(diǎn)P在該方程表示的直線上，故方程表示過點(diǎn)且與平行的直線，故選：B6．D【分析】將直線變形成斜截式，因直線不過第一象限，故斜率小于等于零.【詳解】直線，即，過定點(diǎn)，若不經(jīng)過第一象限，則它的斜率，解得．故選：D7．C【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系一一判定即可.【詳解】如圖所示正方體中，

若直線分別對(duì)應(yīng)，底面對(duì)應(yīng)，顯然有，但，即A錯(cuò)誤；若底面對(duì)應(yīng)，側(cè)面分別對(duì)應(yīng)，顯然有，但，即B錯(cuò)誤；同上假設(shè)底面對(duì)應(yīng)，側(cè)面分別對(duì)應(yīng)，則直線分別對(duì)應(yīng)，顯然三條直線兩兩垂直，即D錯(cuò)誤；由面面平行的性質(zhì)可知C項(xiàng)正確.故選：C8．B【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，然后證明平面即可.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，

則，又平面，平面，∴平面，易知，故平面與平面是同一個(gè)平面，∴平面，此時(shí)，故選：B9．D【分析】計(jì)算可得，結(jié)合平面平面，得平面，平面平面，在平面內(nèi)，作于點(diǎn)H，則即為所求點(diǎn)B到平面的距離，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由，,，得，，則，，又四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，在平面?nèi)，作于點(diǎn)H，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，則即為所求點(diǎn)B到平面的距離，在直角三角形中，，又，所以.所以到平面的距離為.

故選：D.10．B【分析】根據(jù)給定條件，利用四棱錐、三棱柱的體積公式結(jié)合給定數(shù)據(jù)建立關(guān)系式，求出長(zhǎng)方體的體積作答.【詳解】如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，三棱柱的高為b，依題意，四棱錐的體積，即，三棱柱的體積，即有，因此，于是長(zhǎng)方體的體積，所以該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的體積，將給定的幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指?，轉(zhuǎn)化為可求體積的幾何體求解是關(guān)鍵.11．【分析】先由直線的方向向量求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線方程，然后化為一般式即可.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為(2，1)，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(1，2)，所以直線為，即，故12．【分析】當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠-1時(shí)，只需<0或>1即可，解不等式綜合可得．【詳解】當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的傾斜角為90°，符合要求；當(dāng)a≠－1時(shí)，直線l的斜率為，只要>1或者<0即可，解得－1<a<－或者a<－1或者a>0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－)∪(0，＋∞)．本題考查直線的傾斜角，涉及解不等式和分類討論，屬基礎(chǔ)題．13．【分析】運(yùn)用空間向量垂直的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，解?故答案為.14．【分析】根據(jù)圓的方程得出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出d，再利用幾何法求出弦長(zhǎng)【詳解】圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑，點(diǎn)到直線l：的距離，所以直線l被圓C截得線段的長(zhǎng).故答案為.15．②③【分析】對(duì)于①，根據(jù)垂線段最短，結(jié)合等邊三角形圖形特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算即可；對(duì)于②，根據(jù)三棱錐體積公式進(jìn)行判斷即可；對(duì)于③，根據(jù)線面垂直的判定定理得到平面，進(jìn)而判斷即可；對(duì)于④，根據(jù)正方體圖形特點(diǎn)找到截面，進(jìn)而求解周長(zhǎng)即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，

則為線段的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為的正三角形，兩點(diǎn)之間距離的最小值為到的垂線段長(zhǎng)度，此時(shí)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接，如圖所示，

顯然，到平面的距離為定值，面積為定值，結(jié)合三棱錐體積公式可知，三棱錐的體積為定值，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)與重合，與重合時(shí)，如圖所示，

由正方體可知平面，，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理，，又因?yàn)槠矫?，，所以平面，即平面，所以存在點(diǎn)，，使得平面，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

由得四邊形是平行四邊形，所以，由可知，即，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以,，所以平面截該正方體所得截面為等腰梯形，在直角中，，同理，所以截面的周長(zhǎng)為,即當(dāng)為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得截面的周長(zhǎng)為，故④錯(cuò)誤.故②③方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運(yùn)用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運(yùn)用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長(zhǎng)度或角度轉(zhuǎn)化求解.16．(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系數(shù)法即得；（2）由題可得圓心到直線的距離為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】（1）由題可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由可知圓心，半徑為2，因?yàn)橹本€與圓交于兩點(diǎn)，，所以圓心到直線的距離為1，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線為，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，則，解得，所以直線的方程為，即，綜上，直線的方程為或.17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)條件求出，從而得到，再利用的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，易得到函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)閳D像的對(duì)稱中心到對(duì)稱軸的最小距離為，則，所以，又，由，解得，所以，函數(shù)的解析式是，由，，解得，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，.（2）由，，得到，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，.故由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，，故函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?18．(1)(2)，【分析】（1）直接利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，得到答案.（2）利用面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，解得答案.【詳解】（1），故，即，整理得到，，，故，，故.（2），故，，故，又，解得，.19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF.利用線面平行的判定定理證明平面；（2）過O作.以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.選擇條件①②③，都可以求出,，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求解.【詳解】（1）設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O，因?yàn)槭橇庑危設(shè)為BD的中點(diǎn).連結(jié)OF.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以.因?yàn)槊?，面，所以平?（2）過O作.以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.選條件①.在菱形中，.因?yàn)?，所?.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.選條件②.在菱形中，，所以,所以.因?yàn)?，所?.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.選條件③：與平面所成的角為.因?yàn)槠矫?，所以為與平面所成的角，即.在直角三角形中，由可得.所以,.所以,,,,,,.所以,.設(shè)為面ACF的一個(gè)法向量，則：，不妨令x=2，則.顯然為面ACD的一個(gè)法向量.設(shè)二面角的平面角為，由圖示，為銳角，所以.20．(1)證明見解析(2)(3)存在點(diǎn)，使得平面，且【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【詳解】（1）證明：因?yàn)闉檎叫?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．平面．所以；?）由（1）可知，平面，所以，．因?yàn)?，所以兩兩垂直．分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,

即

令，則，；所以．設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角為的正弦值為；（3）設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

因?yàn)?，所?/p>

令，則，所以．在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得．因?yàn)?，由，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且．21．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)自鄰集的定義及子集的概念一一寫出結(jié)果即可；（2）取的一個(gè)含5個(gè)元素的自鄰集，判定集合，再證明C也是自鄰集且，從而得出結(jié)論；（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個(gè)數(shù)為，，則當(dāng)時(shí)有，再分類討論證明即可.【詳解】（1）由題意可得，的所有自鄰集有：；（2）對(duì)于的含5個(gè)元素的自鄰集，不妨設(shè).因?yàn)閷?duì)于，都有或，，2，3，4，5，所以，，或.對(duì)于集合，，，，，因?yàn)?，所以，?，3，4，5，，所以.因?yàn)椋?，?所以，，或，所以對(duì)于任意或，，2，3，4，5，所以集合也是自鄰集.因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.所以對(duì)于集合的含5個(gè)元素的自鄰集，在上述對(duì)應(yīng)方法下會(huì)存在一個(gè)不同的含有5個(gè)元素的自鄰集與其對(duì)應(yīng).所以，的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù).（3）記自鄰集中最大元素為的自鄰集的個(gè)數(shù)為，，當(dāng)時(shí)，，，顯然.下面證明.①自鄰集含有，，這三個(gè)元素，記去掉這個(gè)自鄰集中的元素后的集合為因?yàn)?，，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素是，所以含有，，這三個(gè)元素的自鄰集的個(gè)數(shù)為.②自鄰集含有，這兩個(gè)元素，不含，且不只有，這兩個(gè)元素，記自