第11關(guān) 以二次函數(shù)與圖形的面積、周長(zhǎng)及線段的數(shù)量問題為背景的解答題【有答案】

第十一關(guān)以二次函數(shù)與圖形的面積、周長(zhǎng)及線段的數(shù)量問題為背景的解答題【總體點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)在全國中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，同時(shí)在省級(jí)，國家級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中也有二次函數(shù)大題，很多學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)都不能很好完成。由于在高中和大學(xué)中很多數(shù)學(xué)知識(shí)都與函數(shù)知識(shí)或函數(shù)的思想有關(guān)，學(xué)生在初中階段函數(shù)知識(shí)和函數(shù)思維方法學(xué)得好否，直接關(guān)系到未來數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。構(gòu)造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關(guān)面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型，求解這類問題，實(shí)際上，只要我們能充分運(yùn)用條件，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，如，勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等等來尋求等量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【解題思路】1、用含有自變量的代數(shù)式分別表示出與所求幾何圖形相關(guān)的量（如周長(zhǎng)、長(zhǎng)、寬、半徑等）。2、根據(jù)幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，用函數(shù)表示這個(gè)面積。3、根據(jù)函數(shù)關(guān)系式求出最大值及取得最大值的自變量的值，當(dāng)要求的值不在自變量的取值范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)根據(jù)取值范圍來確定最大值?！镜湫屠}】【例1】（2019·湖南中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，以為邊在軸上方作正方形，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線與軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段（點(diǎn)不與重合）上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段的長(zhǎng)有最大值？并求出這個(gè)最大值；（3）在第四象限的拋物線上任取一點(diǎn)，連接．請(qǐng)問：的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）時(shí)，線段有最大值．最大值是；（3）時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）設(shè)，則，由得出比例線段，可表示的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出線段的最大值；（3）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，由即可求解．【詳解】解：（1））∵拋物線經(jīng)過，，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，，解得：，故拋物線函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為；（2）∵，點(diǎn)，∴，∵正方形中，，∴，，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴時(shí)，線段長(zhǎng)有最大值，最大值為．即時(shí)，線段有最大值．最大值是．（3）存在．如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，∵拋物線的解析式為，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用相似比表示線段之間的關(guān)系．利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【例2】（2019·江蘇中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是線段BD上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為F，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．（3）試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得的面積是的面積的？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）存在，點(diǎn)G的坐標(biāo)為或.【解析】【分析】（1）依題意，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求（2）可通過點(diǎn)B，點(diǎn)D求出線段BD所在的直線關(guān)系式，點(diǎn)E在線段BD上，即可設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系公式，通過即可求（3）先求線段AD所在的直線解析式，求利用點(diǎn)到直線的公式，即可求與的高，利用三角形面積公式即可求．【詳解】（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為將點(diǎn)B代入得，得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：（2）依題意，點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線BD的解析式為代入得，解得∴線段BD所在的直線為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：∴∵∴整理得解得，（舍去）故點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3）存在點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴設(shè)AD所在的直線解析式為代入得，解得∴直線AD的解析式為∴AD的距離為5點(diǎn)G到AD的距離為：由（2）知直線BD的解析式為：，∵BD的距離為5∴同理得點(diǎn)G至BD的距離為：∴整理得∵點(diǎn)G在二次函數(shù)上，∴代入得整理得解得，此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)為或【名師點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．解題關(guān)鍵在于利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．【例3】（2019·湖南中考真題）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)；(2)證明見解析；(3)點(diǎn)；(4)存在，的最小值為．【解析】【分析】(1)設(shè)交點(diǎn)式，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；(2)先證明四邊形ADBM為菱形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形即可得證；(3)先求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，根據(jù)可得關(guān)于x的二次函數(shù)，繼而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；(4)存在，如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，則最小值，求出直線HC、AH的解析式即可求得H點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行求得AH的長(zhǎng)即可得答案.【詳解】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，則，，故有最大值，此時(shí)，故點(diǎn)；(4)存在，理由：如圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)，而點(diǎn)，則，即的最小值為．【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，解直角三角形的應(yīng)用，正方形的判定，最值問題等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確把握相關(guān)知識(shí)，會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵.【方法歸納】1.由于平行于y軸的線段上各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等（常設(shè)為t），借助于兩個(gè)端點(diǎn)所在的函數(shù)圖象解析式，把兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來，再由兩個(gè)端點(diǎn)的高低情況，運(yùn)用平行于y軸的線段長(zhǎng)度計(jì)算公式，把動(dòng)線段的長(zhǎng)度就表示成為一個(gè)自變量為t，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動(dòng)線段長(zhǎng)度的最大值及端點(diǎn)坐標(biāo)。2.三角形面積的最大值問題：①“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡(jiǎn)稱“一邊固定兩邊動(dòng)的問題”）：(方法1)先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出定線段的長(zhǎng)度；然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底·高。即可求出該三角形面積的最大值，同時(shí)在求解過程中，切點(diǎn)即為符合題意要求的點(diǎn)。（方法2）過動(dòng)點(diǎn)向y軸作平行線找到與定線段（或所在直線）的交點(diǎn)，從而把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)一母示后，進(jìn)一步可得到，轉(zhuǎn)化為一個(gè)開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。②“三邊均動(dòng)的動(dòng)三角形面積最大”的問題（簡(jiǎn)稱“三邊均動(dòng)”的問題）：先把動(dòng)三角形分割成兩個(gè)基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)在x軸或y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個(gè)三角形與圖中另一個(gè)三角形相似（常為圖中最大的那一個(gè)三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比）可表示出分割后的一個(gè)三角形的高。從而可以表示出動(dòng)三角形的面積的一個(gè)開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。3.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個(gè)定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”：由于該四邊形有三個(gè)定點(diǎn)，從而可把動(dòng)四邊形分割成一個(gè)動(dòng)三角形與一個(gè)定三角形（連結(jié)兩個(gè)定點(diǎn)，即可得到一個(gè)定三角形）的面積之和，所以只需動(dòng)三角形的面積最大，就會(huì)使動(dòng)四邊形的面積最大，【針對(duì)練習(xí)】1．（2019·貴州中考真題）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB．（1）求拋物線C2的解析式；（2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（3）M是直線OC上方拋物線C2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MO，MC，M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△MOC面積最大？并求出最大面積．【答案】（1）y＝﹣x2+4x；（2）線段AC′的長(zhǎng)度；（3）S△MOC最大值為．【解析】【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a=-1，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式，即可求解；

（2）作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（-1，3），連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小，即可求解；

（3）S△MOC=MH×xC=（-x2+4x-x）=-x2+，即可求解．【詳解】（1）令：y＝x2﹣2x＝0，則x＝0或2，即點(diǎn)B（2，0），∵C1、C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，則a＝﹣1，則點(diǎn)A（4，0），將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2的表達(dá)式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，故拋物線C2的解析式為：y＝﹣x2+4x；（2）聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得：x＝0或3，故點(diǎn)C（3，3），作點(diǎn)C關(guān)于C1對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C′（﹣1，3），連接AC′交函數(shù)C2的對(duì)稱軸與點(diǎn)P，此時(shí)PA+PC的值最小為：線段AC′的長(zhǎng)度；（3）直線OC的表達(dá)式為：y＝x，過點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+4x），則點(diǎn)H（x，x），則S△MOCMH×xC（﹣x2+4x﹣x）x2，∵0，故x，S△MOC最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．2．（2019·山東中考真題）若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、，且過點(diǎn).（1）求二次函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且,求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在拋物線上（下方）是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出點(diǎn)到軸的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（l）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)到軸的距離為.【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，計(jì)算即可.（2）首先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用求解未知數(shù)，可得P點(diǎn)的坐標(biāo).（3）首先求出直線AB的解析式，過點(diǎn)作軸，垂足為，作軸交于點(diǎn)，再利用平行證明，列出方程求解參數(shù)，即可的點(diǎn)到軸的距離.【詳解】（l）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，∴，又因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，∴解，得所以，拋物線表達(dá)式為（2）連接，設(shè)點(diǎn).則由題意得∴或（舍）∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）設(shè)直線的表達(dá)式為，因直線過點(diǎn)、，∴解，得所以的表達(dá)式為設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為，作軸交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為，，.又軸∴又∵∴∴∴.在中解得：所以點(diǎn)到軸的距離為【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題，難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識(shí)點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握.3．（2019·四川中考真題）如圖，頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)B在該圖象上，交其對(duì)稱軸l于點(diǎn)M，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，連接、．（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）若點(diǎn)B在對(duì)稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)解答下列問題：①連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)．②求證：．【答案】（1）二次函數(shù)的關(guān)系式為；（2）①是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為；②見解析【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）①設(shè)，由點(diǎn)的對(duì)稱性得到，再由勾股定理得到答案；②設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D，求得直線解析式，再結(jié)合題意即可得到答案.【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)頂點(diǎn)為∴設(shè)頂點(diǎn)式∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn)∴，解得：∴二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）設(shè)∴直線解析式為：∵交對(duì)稱軸l于點(diǎn)M∴當(dāng)時(shí)，∴∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱∴，∴，即①∵∴∴解得：∴∴，∴，，B∴，∴是等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)B坐標(biāo)為．②證明：如圖，設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D∵、設(shè)直線解析式為∴解得：∴直線：當(dāng)時(shí)，，解得：∴∵，軸∴垂直平分∴∴【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，再由題意得到等式進(jìn)行計(jì)算.4．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，且與直線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）拋物線的解析式；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，因此拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最小；（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，由，，可得，因?yàn)?，，所以，可知外接圓的圓心為H，于是設(shè)，則，或，求得符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【詳解】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入，，∴B的坐標(biāo)為，將，代入，解得，，∴拋物線的解析式；（2）設(shè)，則，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為2，此時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P．，此時(shí)最小，∵，∴，，即的最小值為；（3）作軸于點(diǎn)H，連接、、、、，∵拋物線的解析式，∴，∵，∴，∵，，∴，可知外接圓的圓心為H，∴設(shè)，則，或∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)：、．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．5．（2019·山東中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、．(1)求、滿足的關(guān)系式及的值．(2)當(dāng)時(shí)，若的函數(shù)值隨的增大而增大，求的取值范圍．(3)如圖，當(dāng)時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)，使的面積為1？若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；；(2)；(3)存在，點(diǎn)或或.【解析】【分析】(1)求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可求解；(2)當(dāng)時(shí)，若的函數(shù)值隨的增大而增大，則函數(shù)對(duì)稱軸，而，即：，即可求解；(3)過點(diǎn)作直線，作軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，，則，即可求解．【詳解】(1)，令，則，令，則，故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，則函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并整理得：；(2)當(dāng)時(shí)，若的函數(shù)值隨的增大而增大，則函數(shù)對(duì)稱軸，而，即：，解得：，故：的取值范圍為：；(3)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)表達(dá)式為：，過點(diǎn)作直線，作軸交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，∴，，則，在直線下方作直線，使直線和與直線等距離，則直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，分別與點(diǎn)組成的三角形的面積也為1，故：，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，即：，解得：或，故點(diǎn)或或.【點(diǎn)睛】主要考查二次函數(shù)和與幾何圖形．解題關(guān)鍵在于要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．（2019·天津中考真題）已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把b=2和點(diǎn)代入拋物線的解析式，求出c的值，進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)和）點(diǎn)在拋物線上和得出點(diǎn)在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)．過點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)，再根據(jù)D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)得出為等腰直角三角形，得出，再根據(jù)已知條件，，從而求出b的值（Ⅲ）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上得出點(diǎn)在第四象限，且在直線的右側(cè)；取點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，得出，此時(shí)的值最??；過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．再根據(jù)得出m與b的關(guān)系，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和的最小值為，列出關(guān)于b的方成即可【詳解】解：（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴．即．當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．由，得，，∴點(diǎn)在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)．如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．可知點(diǎn)在第四象限，且在直線的右側(cè)．考慮到，可取點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，有，得，則此時(shí)點(diǎn)滿足題意．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．在中，可知．∴，．∵點(diǎn)，∴．解得．∵，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)解答．7．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線的圖象過點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M（不與C點(diǎn)重合），使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)，周長(zhǎng)為：；（3）存在，點(diǎn)M坐標(biāo)為【解析】【分析】（1）由于條件給出拋物線與x軸的交點(diǎn)，故可設(shè)交點(diǎn)式，把點(diǎn)C代入即求得a的值，減小計(jì)算量．（2）由于點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸：直線對(duì)稱，故有，則，所以當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最?。命c(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)求AC、CB的長(zhǎng)，求直線BC解析式，把代入即求得點(diǎn)P縱坐標(biāo)．（3）由可得，當(dāng)兩三角形以PA為底時(shí)，高相等，即點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等．又因?yàn)镸在x軸上方，故有．由點(diǎn)A、P坐標(biāo)求直線AP解析式，即得到直線CM解析式．把直線CM解析式與拋物線解析式聯(lián)立方程組即求得點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)∴可設(shè)交點(diǎn)式把點(diǎn)代入得：∴拋物線解析式為（2）在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最?。鐖D1，連接PB、BC∵點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸直線上，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∵當(dāng)C、P、B在同一直線上時(shí)，最小最小設(shè)直線BC解析式為把點(diǎn)B代入得：，解得：∴直線BC：∴點(diǎn)使的周長(zhǎng)最小，最小值為．（3）存在滿足條件的點(diǎn)M，使得．∵S△PAM＝S△PAC∴當(dāng)以PA為底時(shí)，兩三角形等高∴點(diǎn)C和點(diǎn)M到直線PA距離相等∵M(jìn)在x軸上方，設(shè)直線AP解析式為解得：∴直線∴直線CM解析式為：解得：（即點(diǎn)C），∴點(diǎn)M坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的最短路徑問題，勾股定理，平行線間距離處處相等，一元二次方程的解法．其中第（3）題條件給出點(diǎn)M在x軸上方，無需分類討論，解法較常規(guī)而簡(jiǎn)單．8．（2019·湖南中考真題）如圖，拋物線y＝ax2+bx（a＞0）過點(diǎn)E（8，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C、D在拋物線上，∠BAD的平分線AM交BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3.（1）求拋物線的解析式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接M、N、G、F構(gòu)成四邊形MNGF，求四邊形MNGF周長(zhǎng)的最小值；（3）在x軸下方且在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）矩形ABCD不動(dòng)，將拋物線向右平移，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)K、L，且直線KL平分矩形的面積時(shí)，求拋物線平移的距離.【答案】（1）y＝x2﹣4x；（2）四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12；（3）存在點(diǎn)P，P坐標(biāo)為（6，﹣6）；（4）拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)E在x軸正半軸且點(diǎn)A在線段OE上得到點(diǎn)A在x軸正半軸上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6.由于四邊形ABCD為矩形，故有AD⊥AB，所以點(diǎn)D在第四象限，橫坐標(biāo)與A的橫坐標(biāo)相同，進(jìn)而得到點(diǎn)D坐標(biāo).由拋物線經(jīng)過點(diǎn)D、E，用待定系數(shù)法即求出其解析式；（2）畫出四邊形MNGF，由于點(diǎn)F、G分別在x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，故可作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)N'，得FM＝FM'、GN＝GN'.易得當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值等于MN+M'N'.根據(jù)矩形性質(zhì)、拋物線線性質(zhì)等條件求出點(diǎn)M、M'、N、N'坐標(biāo)，即求得答案；（3）因?yàn)镺D可求，且已知△ODP中OD邊上的高，故可求△ODP的面積.又因?yàn)椤鱋DP的面積常規(guī)求法是過點(diǎn)P作PQ平行y軸交直線OD于點(diǎn)Q，把△ODP拆分為△OPQ與△DPQ的和或差來計(jì)算，故存在等量關(guān)系.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t，用t表示PQ的長(zhǎng)即可列方程.求得t的值要討論是否滿足點(diǎn)P在x軸下方的條件；（4）由KL平分矩形ABCD的面積可得K在線段AB上、L在線段CD上，畫出平移后的拋物線可知，點(diǎn)K由點(diǎn)O平移得到，點(diǎn)L由點(diǎn)D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，-6）.易證KL平分矩形面積時(shí)，KL一定經(jīng)過矩形的中心H且被H平分，求出H坐標(biāo)為（4，﹣3），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即求得m的值.【詳解】（1）∵點(diǎn)A在線段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四邊形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)D、E∴解得：∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x（2）如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，作點(diǎn)N關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝4∵點(diǎn)C、D在拋物線上，且CD∥x軸，D（2，﹣6）∴yC＝y(tǒng)D＝﹣6，即點(diǎn)C、D關(guān)于直線x＝4對(duì)稱∴xC＝4+（4﹣xD）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵點(diǎn)M、M'關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)F在x軸上∴M'（6，4），F(xiàn)M＝FM'∵N為CD中點(diǎn)∴N（4，﹣6）∵點(diǎn)N、N'關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)G在y軸上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四邊形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵當(dāng)M'、F、G、N'在同一直線上時(shí)，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四邊形MNGF＝MN+M'N'=∴四邊形MNGF周長(zhǎng)最小值為12.（3）存在點(diǎn)P，使△ODP中OD邊上的高為.過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線OD于點(diǎn)Q∵D（2，﹣6）∴OD＝，直線OD解析式為y＝﹣3x設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），則點(diǎn)Q（t，﹣3t）①如圖2，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)∴PQ＝y(tǒng)Q﹣yP＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQ?xP+PQ?（xD﹣xP）＝PQ（xP+xD﹣xP）＝PQ?xD＝PQ＝﹣t2+t∵△ODP中OD邊上的高h(yuǎn)＝，∴S△ODP＝OD?h∴﹣t2+t＝×2×方程無解②如圖3，當(dāng)2＜t＜8時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)D右側(cè)∴PQ＝y(tǒng)P﹣yQ＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQ?xP﹣PQ?（xP﹣xD）＝PQ（xP﹣xP+xD）＝PQ?xD＝PQ＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，﹣6）滿足使△ODP中OD邊上的高為.（4）設(shè)拋物線向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后與矩形ABCD有交點(diǎn)K、L∵KL平分矩形ABCD的面積∴K在線段AB上，L在線段CD上，如圖4∴K（m，0），L（2+m，-6）連接AC，交KL于點(diǎn)H∵S△ACD＝S四邊形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴==1，∴AH＝CH，KH=HL，即點(diǎn)H為AC中點(diǎn)，也是KL中點(diǎn)∴H（4，﹣3）∴∴m＝3∴拋物線平移的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短路徑問題，勾股定理，坐標(biāo)系中求三角形面積，拋物線的平移，相似三角形的判定和應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式.易錯(cuò)的地方有第（1）題對(duì)點(diǎn)D、C、B坐標(biāo)位置的準(zhǔn)確說明，第（3）題在點(diǎn)D左側(cè)不存在滿足的P在點(diǎn)D左側(cè)的討論，第（4）題對(duì)KL必過矩形中心的證明.9．（2019·河北中考真題）如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．（1）若AB=8，求b的值，并求此時(shí)L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時(shí)，求點(diǎn)C與l距離的最大值；（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．【答案】（1）b=4，（2，﹣2）；（2）1；（3）；（4）當(dāng)b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【解析】【分析】（1）求出A、B的坐標(biāo)，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)即可；（2）通過配方，求出L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點(diǎn)為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點(diǎn)”總計(jì)4040個(gè)點(diǎn)，②當(dāng)b=2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．【詳解】（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B（0，﹣b）．∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對(duì)稱軸x=2，當(dāng)x=2時(shí)，y=x﹣4=﹣2，∴L的對(duì)稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2）；（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點(diǎn)C（，）．∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；（3）∵y3是y1，y2的平均數(shù)，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．∵x0≠0，∴x0=b，對(duì)于L，當(dāng)y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0），∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b）．（4）①當(dāng)b=2019時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個(gè)整數(shù)x的值都對(duì)應(yīng)的一個(gè)整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個(gè)整數(shù)；∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個(gè)整數(shù)點(diǎn)，∴總計(jì)4042個(gè)點(diǎn)．∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個(gè)點(diǎn)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)：4042﹣2=4040（個(gè)）；②當(dāng)b=2019.5時(shí)，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個(gè)解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴當(dāng)x取整數(shù)時(shí)，在一次函數(shù)y=x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y=x2+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之間有1010個(gè)偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1010個(gè)．故b=2019時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4040個(gè)，b=2019.5時(shí)“美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1010個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．10．（2018·云南中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx過點(diǎn)B（1，﹣3），對(duì)稱軸是直線x=2，且拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)A．（1）求拋物線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)y≤0時(shí)，自變量x的取值范圍；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)P，當(dāng)PA⊥BA時(shí)，求△PAB的面積．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣4x，自變量x的取值范圖是0≤x≤4；（2）△PAB的面積=15．【解析】【分析】（1）將函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)B坐標(biāo)代入的函數(shù)的解析式中，再和對(duì)稱軸方程聯(lián)立求出待定系數(shù)a和b；（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x2-4x），證明△PFA∽△AEB,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將△PAB的面積構(gòu)造成長(zhǎng)方形去掉三個(gè)三角形的面積．【詳解】（1）由題意得，，解得，∴拋物線的解析式為y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，結(jié)合圖象知，A的坐標(biāo)為（4，0），根據(jù)圖象開口向上，則y≤0時(shí)，自變量x的取值范圍是0≤x≤4；（2）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為F，設(shè)P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴，即，解得，x=?1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-5），又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），易得到BP直線為y=-4x+1所以BP與x軸交點(diǎn)為（，0）∴S△PAB=【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，特別是利用待定系數(shù)法將兩條直線表達(dá)式解出，利用點(diǎn)的坐標(biāo)求三角形的面積是關(guān)鍵．11．（2019·山東中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，是其頂點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，直線經(jīng)過點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)，，求的值；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、，在直線下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），頂點(diǎn)為：；（2）的值為﹣3；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將、代入中，即可求得和的值和拋物線解析式，再利用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可求得新拋物線的解析式，再將代入中，即可求得直線解析式，根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)作軸交直線于，過作軸交直線于，由，即可得，再證明∽，即可得，建立方程求解即可；（3）連接，易證是，，可得，在軸下方過點(diǎn)作，在上截取，過點(diǎn)作軸于，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；通過建立方程組求解即可．【詳解】（1）將、代入中，得解得∴拋物線解析式為：，配方，得：，∴頂點(diǎn)為：；（2）∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．∴新拋物線的頂點(diǎn)為：，二次項(xiàng)系數(shù)為：∴新拋物線的解析式為：將代入中，得，解得，∴直線解析式為，∵，∴直線的解析式為，由拋物線與拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得點(diǎn)、V關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴如圖2，過點(diǎn)作軸交直線于，過作軸交直線于，則，，∴，，∵∴，∵軸，軸∴∴∽∴，即∴解得：，，∵∴的值為：﹣3；（3）由（2）知：，∴，，，如圖3，連接，在中，∵，，∴∴是直角三角形，，∴，∵∴，在軸下方過點(diǎn)作，在上截取，過點(diǎn)作軸于，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；∵，∴∵∴∴，設(shè)直線解析式為，則，解得∴直線解析式為，解方程組，得，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形判定和性質(zhì)，直線與拋物線交點(diǎn)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)；屬于中考?jí)狠S題型，綜合性強(qiáng)，難度較大．12．（2019·湖北中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)、.（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8，求四邊形的面積（3）定點(diǎn)在軸上，若將拋物線的圖象向左平移2各單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，點(diǎn)在新的拋物線上運(yùn)動(dòng)，求定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的最小值（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1），;（2）36;（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=（x+1）（x-5），即可求解；（2）S四邊形AMBC=AB（yC-yD），即可求解；（3）拋物線的表達(dá)式為：y=x2，即可求解．【詳解】（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，-3）；（2）當(dāng)x=8時(shí)，y=（x+1）（x-5）=9，即點(diǎn)C（8，9），S四邊形AMBC=AB（yC-yD）=×6×（9+3）=36；（3）y=（x+1）（x-5）=（x2-4x-5）=（x-2）2-3，拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到一條新的拋物線，則新拋物線表達(dá)式為：y=x2，則定點(diǎn)D與動(dòng)點(diǎn)P之間距離PD=，∵＞0，PD有最小值，當(dāng)x2=3m-時(shí)，PD最小值d=．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖形平移、面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，難度不大．13．（2019·遼寧中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC，將沿BC所在的直線翻折，得到，連接OD．（1）用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）如圖1，若點(diǎn)D落在拋物線的對(duì)稱軸上，且在x軸上方，求拋物線的解析式．（3）設(shè)的面積為S1，的面積為S2，若，求a的值．【答案】（1）；(2)拋物線的表達(dá)式為：；(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，得到拋物線的表達(dá)式為：，即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的判定證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解；（3）連接OD交BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線交于點(diǎn)N、M，由三角形的面積公式得到，，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達(dá)式為：，即，則點(diǎn)；（2）過點(diǎn)B作y軸的平行線BQ，過點(diǎn)D作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)P、交BQ于點(diǎn)Q，∵，，∴，設(shè)：，點(diǎn)，，∴，∴，其中：，，，，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達(dá)式為：；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方時(shí)，連接OD交BC于點(diǎn)H，則，過點(diǎn)H、D分別作x軸的垂線交于點(diǎn)N、M，設(shè)：，，，而，則，，∴，則，則，，則，則，則，解得：（舍去負(fù)值），，解得：（不合題意值已舍去），故：．當(dāng)點(diǎn)C在x軸下方時(shí)，同理可得：；故：或【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計(jì)算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．14．（2018·黑龍江中考真題）如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，2），對(duì)稱軸為直線x=﹣2，平行于x軸的直線與拋物線交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B在對(duì)稱軸左側(cè)，BC=6．（1）求此拋物線的解析式．（2）點(diǎn)P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2：3兩部分，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2+4x+2；（2）P的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（﹣13，0）．【解析】【分析】（1）由對(duì)稱軸直線x=2，以及A點(diǎn)坐標(biāo)確定出b與c的值，即可求出拋物線解析式；（2）由拋物線的對(duì)稱軸及BC的長(zhǎng)，確定出B與C的橫坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出B與C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式，作出直線CP，與AB交于點(diǎn)Q，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點(diǎn)H，BC與y軸交于點(diǎn)M，由已知面積之比求出QH的長(zhǎng)，確定出Q橫坐標(biāo)，代入直線AB解析式求出縱坐標(biāo)，確定出Q坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CQ解析式，即可確定出P的坐標(biāo)．【詳解】（1）由題意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，則此拋物線的解析式為y=x2+4x+2；（2）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣2，BC=6，∴B橫坐標(biāo)為﹣5，C橫坐標(biāo)為1，把x=1代入拋物線解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），設(shè)直線AB解析式為y=kx+2，把B坐標(biāo)代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直線CP，與AB交于點(diǎn)Q，過Q作QH⊥y軸，與y軸交于點(diǎn)H，BC與y軸交于點(diǎn)M，可得△AQH∽△ABM，∴，∵點(diǎn)P在x軸上，直線CP將△ABC面積分成2：3兩部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，當(dāng)QH=2時(shí)，把x=﹣2代入直線AB解析式得：y=4，此時(shí)Q（﹣2，4），直線CQ解析式為y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；當(dāng)QH=3時(shí)，把x=﹣3代入直線AB解析式得：y=5，此時(shí)Q（﹣3，5），直線CQ解析式為y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此時(shí)P（﹣13，0），綜上，P的坐標(biāo)為（﹣6，0）或（﹣13，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及相似三角形的判定與性質(zhì)等，有一定的難度，熟練掌握待定系數(shù)法和相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．（2019·遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（﹣2，﹣3）和點(diǎn)E（3，2），點(diǎn)P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求直線DE和拋物線的表達(dá)式；（2）在y軸上取點(diǎn)F（0，1），連接PF，PB，當(dāng)四邊形OBPF的面積是7時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，直線DE上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝2，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→M→N→A的路線運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)A，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x﹣1，y＝x2+x+2；（2）P（2，3）或（，）；（3）N（，）．【解析】【分析】（1）將點(diǎn)D、E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；（3）過點(diǎn)M作A′M∥AN，過作點(diǎn)A′直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，即可求解．【詳解】（1）將點(diǎn)D、E的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x+2，同理可得直線DE的表達(dá)式為：y＝x﹣1…①；（2）如圖1，連接BF，過點(diǎn)P作PH∥y軸交BF于點(diǎn)H，將點(diǎn)FB代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得直線BF的表達(dá)式為：y＝+1，設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)H（x，+1），S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（）＝7，解得：x＝2或，故點(diǎn)P（2，3）或（，）；（3）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)P（2，3），過點(diǎn)M作A′M∥AN，過作點(diǎn)A′直線DE的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接PA″交直線DE于點(diǎn)M，此時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑最短，∵M(jìn)N＝2，相當(dāng)于向上、向右分別平移2個(gè)單位，故點(diǎn)A′（1，2），A′A″⊥DE，則直線A′A″過點(diǎn)A′，則其表達(dá)式為：y＝﹣x+3…②，聯(lián)立①②得x＝2，則A′A″中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：點(diǎn)A″（3，0），同理可得：直線AP″的表達(dá)式為：y＝﹣3x+9…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，即點(diǎn)M（，），點(diǎn)M沿BD向下平移2個(gè)單位得：N（，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形的平移、面積的計(jì)算等，其中（3），通過平移和點(diǎn)的對(duì)稱性，確定點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的最短路徑，是本題解題的關(guān)鍵．16．（2019·廣西中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，拋物線圖象經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）若點(diǎn)是直線下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大值．【答案】解：（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，﹣4）；（2）拋物線的表達(dá)式為：；（3）PD有最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；（2）拋物線的表達(dá)式為：，即可求解；（3），即可求解．【詳解】解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，﹣4）；（2）拋物線的表達(dá)式為：，即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：；（3）直線CA過點(diǎn)C，設(shè)其函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式并解得：k＝1，故直線CA的表達(dá)式為：y＝x﹣4，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)H，∵OA＝OC＝4，，∵，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)H（x，x﹣4），∵＜0，∴PD有最大值，當(dāng)x＝2時(shí)，其最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（2，﹣6）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形、圖象的面積計(jì)算等，其中（3），用函數(shù)關(guān)系表示PD，是本題解題的關(guān)鍵17．（2019·湖南中考真題）如圖一，拋物線過三點(diǎn)（1）求該拋物線的解析