2021-2022版老教材數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)

學(xué)i.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用.（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

習(xí)2,掌握等比中項(xiàng)的實(shí)際應(yīng)用.（數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模）

目3.熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)

標(biāo)算）

必備知識(shí)?自主學(xué)習(xí)

1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，思考等比數(shù)列應(yīng)該具

備哪些性質(zhì)？

導(dǎo)思

2.類比等差數(shù)列的單調(diào)性，分析等比數(shù)列的單

調(diào)性？

1.等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)

（1）等比數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系.

等比數(shù)列等｝,m,n,p,q￡N*

n-m

兩項(xiàng)關(guān)系an-amq

三項(xiàng)關(guān)系若m+n=2p,則an?am=a^

四項(xiàng)關(guān)系若m+n=p+q,貝！Ja,??an=ap?aq

（2）“子數(shù)列”性質(zhì).

對(duì)于無(wú)窮等比數(shù)列｛aj若將其前k項(xiàng)去掉,剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首

項(xiàng)為ak+b公比為q；

若取出所有的k的倍數(shù)項(xiàng),組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為ak,公比為

q?

(3)兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì).

若數(shù)列｛a0｝,｛bj均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列

｛caj,颼｝,瓜?bj,｛料也為等比數(shù)列.

思考？

等比數(shù)列兩項(xiàng)之間的關(guān)系a"=ad/中，當(dāng)nWm時(shí)成立嗎？

提示：成立，如a=aq2^asq：

25q3

2.等比數(shù)列的單調(diào)性

ai>0g>i

遞增數(shù)列

Hi<00<q〈l

a〉。0<q〈l

遞減數(shù)列

at<0q>i

思考？

當(dāng)q=l,q<0時(shí),分別是什么數(shù)列？

提示：當(dāng)q=l時(shí)是常數(shù)列；當(dāng)q<0時(shí)是擺動(dòng)數(shù)列.

;基礎(chǔ)小測(cè)：:

1.辨析記憶(對(duì)的打“J,錯(cuò)的打“X”).

⑴等比數(shù)列｛aj中a2?a6=al，

⑵當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q>l時(shí),一定是遞增數(shù)列.

(3)等比數(shù)歹!)｛4｝中,aba4,a7,a］。,…仍然是等比數(shù)列.

提示：(1)X.a2?a6=CZ4-

(2)X,當(dāng)數(shù)列的公比q>1時(shí)，若aXO,則是遞減數(shù)列.

3

⑶V.aba4,a7,ai0,…是以為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列.

2.等比數(shù)歹！J｛aj的公比q=--,a尸血,貝I數(shù)歹U｛a—是

2

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列D.擺動(dòng)數(shù)列

1

【解析】選D.由于公比q二一＜0,

2

所以數(shù)列｛aj是擺動(dòng)數(shù)列.

3.（教材二次開發(fā)：練習(xí)改編）在等比數(shù)列｛aj中,已知a7-a*10,則

a8?a9?at0,an=.

【W(wǎng)析J因?yàn)閍7?ai2=a8,an--a??aw~10,

所以3s*a9*aw,an—10—100.

答案：100

關(guān)鍵能力-合作學(xué)習(xí)

類型一等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

題組訓(xùn)練、

1.已知數(shù)列｛an｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，若巡是a2和a8的等比中項(xiàng)，則

a1a3a5a7a9的值是

A.5A/5B.25A/5

C.5D.55

【解析】選B.因?yàn)閎是a?和as的等比中項(xiàng)，

=

所以32e8S5,

又aeg—a3a7—a<-a2*a&-5,a5>0,

所以85—?jiǎng)ta1a3a5a7a9=25J耳

2.在等比數(shù)列｛an｝中,ai+a2=10,a3+a4=60,則a7+a8=

A.110B.160

C.360D.2160

【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q,

因?yàn)閍1+a2=10,a3+a4=60,

22

所以q(a1+a2)=10q=60,

解得q2=6.

則a7+a8=q"ai+a2)=10X63=2160.

3.等比數(shù)列｛aj中,a“a8是關(guān)于x的方程x2+10x+4=0的兩個(gè)實(shí)根，則

a2%aio=

A.8B.-8C.4D.8或-8

【解析】選B.根據(jù)題意，等比數(shù)列｛an｝中，

有a4a8=a2aio=a

a-as是關(guān)于x的方程x2+10x+4=0的兩個(gè)實(shí)根,

則a4a8=4,a4+a8=—10,

2

則a4<0,a8<0,則有a6=a4q<0,

即a6=—2,所以a2a6aio=(a6)，=-8.

藏版鐮雨利用性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算

有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算，基本方法是運(yùn)用方程思想列出基本量a,

和q的方程組,先解出ai和q,然后利用通項(xiàng)公式求解.但有時(shí)運(yùn)算稍繁,

而利用等比數(shù)列的性質(zhì)充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用可優(yōu)化解題

過(guò)程.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.已知等比數(shù)列｛aj的各項(xiàng)均為正數(shù),若1og3ai+1og3a2+-+1og3ai2=12,

則a6a7=

A.1B.3C.6D.9

【解析】選D.因?yàn)榈缺葦?shù)列｛a#的各項(xiàng)均為正數(shù)，且log3a1+log3a2+-

+1og3al2=12,

即Iog3（ai?a2.........ai2）=12,

所以a1?a2?ai2-312,

所以（a6aJ6=3：

所以a6a7=3?=9.

2.在等比數(shù)列｛an｝中，a2a3a4=8,a7=32,則a2=

A.-1B.1C.±1D.2

【解析】選C.等比數(shù)列｛aj中，a2a3a4=8,

則的3=8,貝Ia3=2,

4

因?yàn)閍7=32,所以q=—=16,

解得q=±2,

所以a2=±1.

類型二等比中項(xiàng)的實(shí)際應(yīng)用（數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模）

【典例】某工廠2019年1月的生產(chǎn)總值為a萬(wàn)元,計(jì)劃從2019年2月

起,每月生產(chǎn)總值比上一個(gè)月增長(zhǎng)m%,那么到2020年8月底該廠的生產(chǎn)

總值為多少萬(wàn)元？

【思路導(dǎo)引】(1)該問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型嗎？

(2)abq分別是多少?要求哪一個(gè)量？

【解析】設(shè)從2019年1月開始，第n個(gè)月該廠的生產(chǎn)總值是a0萬(wàn)元,

則an+i=an+aM%,

所以3七=1+m%.

an

則數(shù)列｛aj是首項(xiàng)aFa,公比q=1+m%的等比數(shù)列.

所以an=a(1+m%)e.

故2020年8月底該廠的生產(chǎn)總值為

20-1

a20=a(1+m%)=a(1+m%T9萬(wàn)元.

?解題策略

關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問(wèn)題中的應(yīng)用

首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型,其次分析等比數(shù)列的首項(xiàng)、公

比、項(xiàng)數(shù),最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算解題.

跟蹤訓(xùn)練、

某廠生產(chǎn)電腦，原計(jì)劃第一季度每月增加臺(tái)數(shù)相同，在生產(chǎn)過(guò)程中，

實(shí)際上二月份比原計(jì)劃多生產(chǎn)10臺(tái)，三月份比原計(jì)劃多生產(chǎn)25臺(tái)，這

樣三個(gè)月產(chǎn)量成等比數(shù)列，而第三個(gè)月的產(chǎn)量是原計(jì)劃第一季度總產(chǎn)

量的一半少10臺(tái)，問(wèn)該廠第一季度實(shí)際生產(chǎn)電腦多少臺(tái)？

【解析】根據(jù)已知，可設(shè)該廠第一季度原計(jì)劃3個(gè)月生產(chǎn)電腦臺(tái)數(shù)分別

為x-d,x,x+d,d>0,

則實(shí)際上3個(gè)月生產(chǎn)電腦臺(tái)數(shù)分別為x-d,x+10,x+d+25,

(x+10)2=(%-d)(%+d+25),

由題意得｛3x

x+d+25=—2-10,

解得x=90,d=10,

故共有(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3X90+35=305(臺(tái))，

即該廠第一季度實(shí)際生產(chǎn)電腦305臺(tái).

【拓展延伸】

在應(yīng)用性問(wèn)題中，判斷是否為等比數(shù)列模型的關(guān)鍵是看增長(zhǎng)(縮

減)是否按照同一比例.

【拓展訓(xùn)練】

某工廠三年的生產(chǎn)計(jì)劃是從第二年起每一年比上一年增長(zhǎng)的產(chǎn)值都相

同，三年的總產(chǎn)值為300萬(wàn)元.如果第一年、第二年、第三年分別比原

計(jì)劃產(chǎn)值多10萬(wàn)元、10萬(wàn)元、11萬(wàn)元,那么每一年比上一年的產(chǎn)值增

長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)都相同,求原計(jì)劃每年的產(chǎn)值.

【解析】由題意得，原計(jì)劃三年中每年的產(chǎn)值組成等差數(shù)列，設(shè)為

a-d,a,a+d(d>0),

則有(a-d)+a+(a+d)=300,解得a=100.

又由題意知(a-d)+10,a+10,(a+d)+11組成等比數(shù)列，所以

(a+10)2=[(a-d)+10][(a+d)+11].

將a=100代入上式，得11()2=Qio—d)(111+d),

即d2+d-110=0.

解得d=10或d=-11（舍去）.

所以原計(jì)劃三年的產(chǎn)值分別為90萬(wàn)元，100萬(wàn)元，110萬(wàn)元.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

⑴某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2018年

全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一

年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是

（參考數(shù)據(jù):1g1.12^0.05,1g1.3-0.11,1g2為0.30）

A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年

【解析】選C.設(shè)2018年全年投入研發(fā)資金為aFl30,2018年后n年投

入的研發(fā)資金為④，則數(shù)列｛aj成以為為首項(xiàng)，以1.12為公比的等比數(shù)

列，

所以a=130X1,12~，令130X1.12e>200,得n>空電丫+1比

Igi.12

0.30-0.//c

--------H=4.8,

0.05

即當(dāng)n》5時(shí)該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過(guò)200萬(wàn)元.所以2022

年會(huì)超過(guò)200萬(wàn)元.

⑵已知光線每通過(guò)一塊特制玻璃板，強(qiáng)度要減弱20%,要使通過(guò)玻璃板

的光線強(qiáng)度減弱到原來(lái)的工以下，則至少需要重疊玻璃板塊數(shù)為（參考

4

數(shù)據(jù)：1g2^0.3010）

A.4B.5C.6D.7

【解析】選D.設(shè)經(jīng)過(guò)n塊玻璃板后，光線強(qiáng)度為a”

4

則數(shù)列｛aj是以-為公比的等比數(shù)列，

5

由題意可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得,nig-<-lg4,

\5745

所以n>—21"=21g276貝un-7

21g2Tg5l-3lg2

類型三等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應(yīng)用（邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算）

角度…L-靈活設(shè)項(xiàng)解題—

【典例】三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為64,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減

去1,則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù).

【思路導(dǎo)引】利用等比數(shù)列設(shè)出前三項(xiàng),表示出等差數(shù)列后求未知數(shù).

【解析】因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成等比數(shù)列，

設(shè)三個(gè)數(shù)為:a,aq,則*XaXaq=a564,

qq

4

所以a=4,所以三個(gè)數(shù)為一,4,4q,

q

4

第一^個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去1為一1,4,4q-1,

q

則一1+4q_1=8,即2q2-5q+2=0,

q

1

解得q=2或-，

2

所以這三個(gè)數(shù)為2,4,8或8,4,2.

?變過(guò)探究

本例中的條件若改為“其積為512,如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去

2”，試求這三個(gè)數(shù).

【解析】設(shè)三個(gè)數(shù)依次為；a,aq,

q

因?yàn)榘?a?aq=512,所以a=8.

q

因?yàn)?：—2)+(aq-2)=2a,

所以2q-5q+2=0,

1

所以q=2或q=-，

2

所以這三個(gè)數(shù)為4,8,16或16,8,4.

—角度2…等差「等比數(shù)列的性質(zhì)…一

［典例］已知區(qū)｝是等差數(shù)列，瓜｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且

bi=l,b3=bz+2,bi=a3+&55

b5=a?+2a6,則3,2oi8+b9=

A.2274B,2074C.2226D,2026

【思路導(dǎo)引】分別用等差數(shù)列的首項(xiàng)&、公差d、等比數(shù)列的公比q

表示出已知條件，求出a1，d,q后求a2oi8+b9.

【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,正項(xiàng)等比數(shù)列｛bj的公比為

q>0,

因?yàn)閎i—1,63=62+2,bFas+as,bs=a4+2a6,

所以q?=q+2,q3=2ai+6d,qMa^lSd,

解得q=2,ai—d—1,

8

貝Ia20l8+b9=1+2017+2=2274.

◎解題策略巧設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列

⑴若三數(shù)成等差數(shù)列，常設(shè)成a-d,a,a+d.若三數(shù)成等比數(shù)列，常設(shè)成

a,aq或a,aq,aq；

q

⑵若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為2a,aq,aq2,若四個(gè)正數(shù)成等比數(shù)列，

q

可設(shè)為93aq,aq3.

q3q

題組訓(xùn)練\

1.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列｛aj滿足a3=7,Ka-1,a2-l,a,-1成等比數(shù)

歹U,則電等于.

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,則d彳0,

貝“ai~as-2d—7—2d,a2=a3-d二7-d,

+--

a4-a3d-7+cl,由于ai-1,a21,a41成等比數(shù)列，

2

則(a2~1)=(ai-1)(a4-1),

即(6-d)2=(6-2d)(6+d),

化簡(jiǎn)得d-2d=0,由于d豐0,解得d=2,

因此，a10=a3+7d=7+7X2=21.

答案：21

2.已知數(shù)列｛aj是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，a尸2,且aZ-4,a%a」成等差數(shù)

列，則｛4｝的公比為.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛aj是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

ai=2,且a2-4,a3,成等差數(shù)列，

所以2a3=(a2-4)+a4,

即2X2q2=2q-4+2q3,

整理，得(q-2)(q2+1)=0,

所以｛aj的公比q=2.

答案：2

3.四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與第

四個(gè)數(shù)之和為16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之和為12,求這四個(gè)數(shù).

【解析】設(shè)后三個(gè)數(shù)依次為2a,aq,

q

則第一個(gè)數(shù)為風(fēng)a.

q

(--a+aq=16,

由題意得4f

F+a=12,

解得［—「Q或LQ=13,

笛=2\q=-.

所以所求的四個(gè)數(shù)依次為0,4,8,16或15,9,3,1.

【拓展延伸】

等比數(shù)列與等差數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系:

等差數(shù)列等比數(shù)列

(1)強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的(1)強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的

差；比；

不同點(diǎn)

⑵ai和d可以為零；(2)④與q均不為零；

(3)等差中項(xiàng)唯一.(3)等比中項(xiàng)不唯一.

(1)都強(qiáng)調(diào)每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的關(guān)系；

相同點(diǎn)(2)公差與公比都必須是常數(shù)；

⑶數(shù)列都可以由abd或a1,q確定.

(1)若｛an｝為正項(xiàng)等比數(shù)歹;J,則數(shù)列｛logaan)為等差數(shù)列；

聯(lián)系

(2)｛a,J為等差數(shù)列,則數(shù)列仍呵為等比數(shù)列.

【拓展訓(xùn)練】

數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和記為Sn,ai=l,an+i=2Sn+l(n^l).

⑴求｛a0｝的通項(xiàng)公式；

⑵等差數(shù)列｛b』的各項(xiàng)為正，其前n項(xiàng)和為T”，且T3=15,又

ai+bi,a2+b2,as+bs成等比數(shù)列,求L.

【思路導(dǎo)引】⑴可借助S「SnT=a“(n22)來(lái)求出an;

⑵考慮方程的思想求出d,再求I.

【解析】⑴由a*2Sn+1,可得a?(22),

—

兩式相減，得an+ian—2an,an+i—3an(n^2).

又因?yàn)閍2=2S1+1=3,所以a2=3ai.

故｛aj是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，所以a=3n-1.

⑵設(shè)｛bj的公差為d,

由T3=15,得b1+b2+b3=15,可得b2=5,

故可設(shè)bi=5-d,b3=5+d.

又a1=1,a?=3,a3=9,

由題意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2.

解得&=2,d2=-10.

因?yàn)榈炔顢?shù)列｛bj的各項(xiàng)為正，所以d>0,所以d=2.

▼-n(n-l)

Tn=3n+------X2=n2+2n.

2

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

在等比數(shù)列｛a,,）中，a2=3,a5=81.

⑴求an;

（2）設(shè)bn=log3an,求數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Sn.

【解析】⑴設(shè)｛aj的首項(xiàng)為典公比為q,

依題意d嘿iq4—=38,1,

解得二廣

kq=3.

因此,an=3,

⑵因?yàn)閎n=Iog3an=n-1,

所以數(shù)列｛bj的前n項(xiàng)和Sn=竺乜也2二上」.

22

課堂檢測(cè)-素養(yǎng)達(dá)標(biāo)

1.（教材二次開發(fā)：習(xí)題改編）對(duì)任意等比數(shù)列｛③｝,下列說(shuō)法一定正確

的是

A.aba3,as；成等比數(shù)列B,a2,a3,a6成等比數(shù)列

C.a2,a4,as成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列

【解析】選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,

因?yàn)?￡2=q3,即其=a3a%

所以a3,a6,ag成等比數(shù)列.

2.在等比數(shù)列｛aj中，a；5a4a5=3,a^a7a8=24,則agaioSn的值為

A.48B.72C.144D.192

【解析】選D.因?yàn)?/p>