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文檔簡介
重難點01平行線(四種模型)目錄題型一:M型(含鋸齒形)題型二:筆尖型題型三:“雞翅”型題型四:“骨折”型技巧方法技巧方法模型一:M模型如圖,若AB//CD,你能確定∠B、∠D與∠BED的大小關(guān)系嗎?解:∠B+∠D=∠DEB.理由如下:過點E作EF//AB又∵AB//CD.
∴EF//CD.
∴∠D=∠DEF.∠B=∠BEF.∴∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠DEB
即∠B+∠D=∠DEB.模型二、筆尖型如圖,AB//CD,探索∠B、∠D與∠DEB的大小關(guān)系?解:∠B+∠D+∠DEB=360°.理由如下:過點E作EF//AB.
又∵AB//CD.
∴EF//CD.
∴∠B+∠BEF=180°.
∠D+∠DEF=180°.∴∠B+∠D+∠DEB=∠B+∠D+∠BEF+∠DEF=360°.
即∠B+∠D+∠DEB=360°.模型三、“雞翅”型如圖,已知AB//CD,試猜想∠A、∠E、∠C的關(guān)系,并說明理由.解:∠AEC=∠A-∠C,
理由如下:過點E作EF//AB
又∵AB//CD.
∴EF//CD.
∴∠A+∠FEA=180°,
∠C+∠FEC=180°
∴∠AEC=∠FEC-∠FEA
=180°-∠C–(180°-∠A)
=∠A-∠C即:∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如圖,已知BC//DE,試猜想∠A、∠B、∠D的關(guān)系,并說明理由.
解:∠BAD=∠D-∠B,理由如下:過點A作AG//BC又∵CB//DE.
∴AG//DE
∴∠GAB+∠B=180°,
∠GAD+∠D=180°
∴∠BAD=∠GAB-∠GAD
=180°-∠B–(180°-∠D)
=∠D-∠B
即:∠BAD=∠D-∠B注:平行線四大模型大題不可直接使用,必須證明后再用,選擇填空滿足條件即可直接用!
能力拓展能力拓展題型一:M型(含鋸齒形)一、填空題1.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖,已知,平分,平分,,,則的度數(shù)為___________.(用含n的式子表示)【答案】【分析】首先過點E作,由平行線的傳遞性得,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,得出,,由角平分線的定義得出,,再由兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出,由即可得出答案.【詳解】解:如圖,過點E作,則,,∴,,又∵平分,平分,∴,,∵,∴,,∴,故答案為:.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),角平分線的定義,解題關(guān)鍵是作出正確的輔助線,掌握平行線的性質(zhì)和角平分線的定義.二、解答題2.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖,,點E在直線AB,CD內(nèi)部,且.(1)如圖1,連接AC,若AE平分,求證:平分;(2)如圖2,點M在線段AE上,①若,當(dāng)直角頂點E移動時,與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由;②若(為正整數(shù)),當(dāng)直角頂點E移動時,與是否存在確定的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.【答案】(1)見解析;(2)①∠BAE+∠MCD=90°,理由見解析;②∠BAE+∠MCD=90°,理由見解析.【分析】(1)根據(jù)平行的性質(zhì)可得∠BAC+∠DCA=180°,再根據(jù)可得∠EAC+∠ECA=90°,根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°,繼而求得∠DCE=∠ECA;(2)①過E作EF∥AB,先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案;②過E作EF∥AB,先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD,再利用平行線的性質(zhì)及已知條件可推得答案.【詳解】(1)解:因為,所以∠BAC+∠DCA=180°,因為,所以∠EAC+∠ECA=90°,因為AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠EAC,所以∠BAE+∠DCE=90°,所以∠EAC+∠DCE=90°,所以∠DCE=∠ECA,所以CE平分∠ACD;(2)①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系:∠BAE+∠MCD=90°,理由如下:過E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,∵∠E=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°,∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+∠MCD=90°;②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關(guān)系:∠BAE+∠MCD=90°,理由如下:過E作EF∥AB,∵AB∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,∵∠E=90°,∴∠BAE+∠ECD=90°,∵∠MCE=∠ECD,∴∠BAE+∠MCD=90°.【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義,解決本題的關(guān)鍵是要添加輔助線利用平行性質(zhì).3.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖:(1)如圖1,,,,直接寫出的度數(shù).(2)如圖2,,點為直線,間的一點,平分,平分,寫出與之間的關(guān)系并說明理由.(3)如圖3,與相交于點,點為內(nèi)一點,平分,平分,若,,直接寫出的度數(shù).【答案】(1)∠BED=66°;(2)∠BED=2∠F,見解析;(3)∠BED的度數(shù)為130°.【分析】(1)首先作EF∥AB,根據(jù)直線AB∥CD,可得EF∥CD,所以∠ABE=∠1=45°,∠CDE=∠2=21°,據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°;(2)首先作EG∥AB,延長DE交BF于點H,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F;(3)延長DF交AB于點H,延長GE到I,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°.【詳解】(1)解:(1)如圖,作EF∥AB,,∵直線AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠ABE=∠1=45°,∠CDE=∠2=21°,∴∠BED=∠1+∠2=66°;(2)解:∠BED=2∠F,理由是:過點E作EG∥AB,延長DE交BF于點H,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EG,∴∠5=∠1+∠2,∠6=∠3+∠4,又∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠2=∠1,∠3=∠4,則∠5=2∠2,∠6=2∠3,∴∠BED=2(∠2+∠3),又∠F+∠3=∠BHD,∠BHD+∠2=∠BED,∴∠3+∠2+∠F=∠BED,綜上∠BED=∠F+12∠BED,即∠BED=2∠F;(3)解:延長DF交AB于點H,延長GE到I,∵∠BGD=60°,∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°,∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°,∴∠2+∠1=35°,即2(∠2+∠1)=70°,∵BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∴∠ABE=2∠2,∠CDE=2∠1,∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE,∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE,∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°,∴∠BED的度數(shù)為130°.【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì),三角形的外角性質(zhì)等知識,掌握平行線的判定和性質(zhì),正確添加輔助線是解題關(guān)鍵.4.(2023春·七年級課時練習(xí))問題情境:如圖①,直線,點E,F(xiàn)分別在直線AB,CD上.(1)猜想:若,,試猜想______°;(2)探究:在圖①中探究,,之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)拓展:將圖①變?yōu)閳D②,若,,求的度數(shù).【答案】(1)(2);證明見詳解(3)【分析】(1)過點作,利用平行的性質(zhì)就可以求角度,解決此問;(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系,就可以解決此問;(3)分別過點、點作、,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可.【詳解】(1)解:如圖過點作,∵,∴.∴,.∵,,∴∴.∵,∴∠P=80°.故答案為:;(2)解:,理由如下:如圖過點作,∵,∴.∴,.∴∵,.(3)如圖分別過點、點作、∵,∴.∴,,.∴∵,,,∴∴故答案為:.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理,準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關(guān)鍵.5.(2023春·七年級課時練習(xí))已知直線,直線EF分別與直線a,b相交于點E,F(xiàn),點A,B分別在直線a,b上,且在直線EF的左側(cè),點P是直線EF上一動點(不與點E,F(xiàn)重合),設(shè)∠PAE=∠1,∠APB=∠2,∠PBF=∠3.(1)如圖,當(dāng)點在線段上運動時,試說明∠1+∠3=∠2;(2)當(dāng)點P在線段EF外運動時有兩種情況.①如圖2寫出∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系并給出證明;②如圖3所示,猜想∠1,∠2,∠3之間的關(guān)系(不要求證明).【答案】(1)證明見詳解(2)①;證明見詳解;②;證明見詳解【分析】(1)如圖4過點作,利用平行線的傳遞性可知,根據(jù)平行線的性質(zhì)可知,,根據(jù)等量代換就可以得出;(2)①如圖5過點作,利用平行線的傳遞性可知,根據(jù)平行線的性質(zhì)可知,,根據(jù)等量代換就可以得出;②如圖6過點作,利用平行線的傳遞性可知,根據(jù)平行線的性質(zhì)可知,,根據(jù)等量代換就可以得出.【詳解】(1)解:如圖4所示:過點作,∵∴∴,,∵,∴;(2)解:①如圖5過點作,∵∴∴,,∵,∴;②如圖6過點作,∵∴∴,,∵,∴.【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系,準(zhǔn)確的作出輔助線和找到對應(yīng)的內(nèi)錯角是解決本題的關(guān)鍵.6.(2023春·七年級課時練習(xí))已知直線AB//CD,EF是截線,點M在直線AB、CD之間.(1)如圖1,連接GM,HM.求證:∠M=∠AGM+∠CHM;(2)如圖2,在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q,使得∠AGM=∠HGQ.試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)證明見詳解(2);理由見詳解【分析】(1)過點作,由,可知.由此可知:,,故;(2)由(1)可知.再由,∠AGM=∠HGQ,可知:,利用三角形內(nèi)角和是180°,可得.【詳解】(1)解:如圖:過點作,∴,∴,,∵,∴.(2)解:,理由如下:如圖:過點作,由(1)知,∵平分,∴,∵∠AGM=∠HGQ,∴,∵,∴.【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系,正確的作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵,同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應(yīng)用.7.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))閱讀下面內(nèi)容,并解答問題.已知:如圖1,,直線分別交,于點,.的平分線與的平分線交于點.(1)求證:;(2)填空,并從下列①、②兩題中任選一題說明理由.我選擇題.①在圖1的基礎(chǔ)上,分別作的平分線與的平分線交于點,得到圖2,則的度數(shù)為.②如圖3,,直線分別交,于點,.點在直線,之間,且在直線右側(cè),的平分線與的平分線交于點,則與滿足的數(shù)量關(guān)系為.【答案】(1)見解析(2)①;②結(jié)論:【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)解決問題即可;(2)①利用基本結(jié)論求解即可;②利用基本結(jié)論,,求解即可.【詳解】(1)證明:如圖,過作,,,,,平分,平分,,,,在中,,,;(2)解:①如圖2中,由題意,,平分,平分,,,故答案為:;②結(jié)論:.理由:如圖3中,由題意,,,平分,平分,,,,故答案為:.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)和判定,角平分線的性質(zhì),垂直的定義,解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì).8.(2023春·江蘇·七年級專題練習(xí))如圖1,,,,求的度數(shù).小明的思路是:如圖2,過作,通過平行線性質(zhì)可求的度數(shù).(1)請你按小明的思路,寫出度數(shù)的求解過程;(2)如圖3,,點在直線上運動,記,.①當(dāng)點在線段上運動時,則與、之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;②若點不在線段上運動時,請直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)見解析;(2)①,見解析;②【分析】(1)過作,利用平行線的性質(zhì)即可得出答案;(2)①過作,再利用平行線的性質(zhì)即可得出答案;②分在延長線上和在延長線上兩種情況進(jìn)行討論,結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出答案【詳解】解:(1)如圖2,過作,,,,,,,,.(2)①、,理由:如圖3,過作,,,,,;②、.如備用圖1,當(dāng)在延長線上時,;理由:如備用圖1,過作,,,,,;如備用圖2所示,當(dāng)在延長線上時,;理由:如備用圖2,過P作,,,,,;綜上所述,.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是過作.9.(2023春·七年級課時練習(xí))請在橫線上填上合適的內(nèi)容.(1)如圖(1)已知//,則.解:過點作直線//.∴(
).(
)∵//,//,∴(
)//(
).(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行)∴(
).(
).∴.∴.(2)如圖②,如果//,則()【答案】(1)∠B,兩直線平行,內(nèi)錯角相等,EF,CD,∠D,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)360°【分析】(1)過點E作直線EF∥AB,則∠FEB=∠B,繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D.所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED,即∠B+∠D=∠BED;(2)過點E作直線EF∥AB,則∠FEB+∠B=180°,繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°.所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°,即∠B+∠BED+∠D=360°.【詳解】解:(1)解:過點E作直線EF∥AB.∴∠FEB=∠B.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行).∴∠FED=∠D(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED.∴∠B+∠D=∠BED.故答案為:∠B,兩直線平行,內(nèi)錯角相等,EF,CD,∠D,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)解:過點E作直線EF∥AB,如圖.∴∠FEB+∠B=180°.兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD(如果兩條直線和第三條直線平行,那么這兩直線平行).∴∠FED+∠D=180°(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°.∴∠B+∠BED+∠D=360°.故答案為:360°.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),平行公理及其推論,熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵.10.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖1,AB//CD,E是AB,CD之間的一點.(1)判定∠BAE,∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,若∠BAE,∠CDE的角平分線交于點F,直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關(guān)系;(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3,若∠AGD的余角等于2∠E的補(bǔ)角,求∠BAE的大?。敬鸢浮?1);(2);(3)【分析】(1)作EF∥AB,如圖1,則EF∥CD,利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠EAE,∠2=∠CDE,從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得∠AFD=∠BAE,∠CDF=∠CDE,則∠AFD=(∠BAE+∠CDE),加上(1)的結(jié)論得到∠AFD=∠AED;(3)由(1)的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG,利用折疊性質(zhì)得∠CDG=4∠CDF,再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE,加上90°-∠AGD=180°-2∠AED,從而計算出∠BAE的度數(shù).【詳解】(1)∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下:作EF∥AB,如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE,∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F∴∠BAF=∠BAE,∠CDF=∠CDE∴∠AFE=(∠BAE+∠CDE)∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED(3)由(1)的結(jié)論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2(∠AED-∠BAE)=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點睛】本題考查了平行線性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯角相等.11.(2023春·七年級課時練習(xí))已知AB//CD.(1)如圖1,E為AB,CD之間一點,連接BE,DE,得到∠BED.求證:∠BED=∠B+∠D;(2)如圖,連接AD,BC,BF平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BF,DF所在的直線交于點F.①如圖2,當(dāng)點B在點A的左側(cè)時,若∠ABC=50°,∠ADC=60°,求∠BFD的度數(shù).②如圖3,當(dāng)點B在點A的右側(cè)時,設(shè)∠ABC=α,∠ADC=β,請你求出∠BFD的度數(shù).(用含有α,β的式子表示)【答案】(1)見解析;(2)55°;(3)【分析】(1)根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可;(2)①如圖2,過點作,當(dāng)點在點的左側(cè)時,根據(jù),,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù);②如圖3,過點作,當(dāng)點在點的右側(cè)時,,,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù).【詳解】解:(1)如圖1,過點作,則有,,,,;(2)①如圖2,過點作,有.,...即,平分,平分,,,.答:的度數(shù)為;②如圖3,過點作,有.,,...即,平分,平分,,,.答:的度數(shù)為.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).12.(2023春·七年級課時練習(xí))已知,AB∥CD.點M在AB上,點N在CD上.(1)如圖1中,∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為:;(不需要證明)如圖2中,∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為:;(不需要證明)(2)如圖3中,NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°,求∠FME的度數(shù);(3)如圖4中,∠BME=60°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化,若變化,請說明理由,若不變化,求出∠FEQ的度數(shù).【答案】(1)∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND;(2)120°;(3)不變,30°【分析】(1)過E作EH∥AB,易得EH∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;過F作FH∥AB,易得FH∥AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及角平分線的定義可得2(∠BME+∠END)+∠BMF-∠FND=180°,可求解∠BMF=60°,進(jìn)而可求解;(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME,進(jìn)而可求解.【詳解】解:(1)過E作EH∥AB,如圖1,∴∠BME=∠MEH,∵AB∥CD,∴HE∥CD,∴∠END=∠HEN,∴∠MEN=∠MEH+∠HEN=∠BME+∠END,即∠BME=∠MEN﹣∠END.如圖2,過F作FH∥AB,∴∠BMF=∠MFK,∵AB∥CD,∴FH∥CD,∴∠FND=∠KFN,∴∠MFN=∠MFK﹣∠KFN=∠BMF﹣∠FND,即:∠BMF=∠MFN+∠FND.故答案為∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.(2)由(1)得∠BME=∠MEN﹣∠END;∠BMF=∠MFN+∠FND.∵NE平分∠FND,MB平分∠FME,∴∠FME=∠BME+∠BMF,∠FND=∠FNE+∠END,∵2∠MEN+∠MFN=180°,∴2(∠BME+∠END)+∠BMF﹣∠FND=180°,∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND=180°,即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND=180°,解得∠BMF=60°,∴∠FME=2∠BMF=120°;(3)∠FEQ的大小沒發(fā)生變化,∠FEQ=30°.由(1)知:∠MEN=∠BME+∠END,∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,∴∠FEN=∠MEN=(∠BME+∠END),∠ENP=∠END,∵EQ∥NP,∴∠NEQ=∠ENP,∴∠FEQ=∠FEN﹣∠NEQ=(∠BME+∠END)﹣∠END=∠BME,∵∠BME=60°,∴∠FEQ=×60°=30°.【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義,作平行線的輔助線是解題的關(guān)鍵.13.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖1,點、分別在直線、上,,.(1)求證:;(提示:可延長交于點進(jìn)行證明)(2)如圖2,平分,平分,若,求與之間的數(shù)量關(guān)系;(3)在(2)的條件下,如圖3,平分,點在射線上,,若,直接寫出的度數(shù).【答案】(1)見解析;(2),見解析;(3)或.【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可;(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°和平角定義得到,結(jié)合平行線的性質(zhì)得到,再根據(jù)角平分線的定義證得,結(jié)合已知即可得出結(jié)論;(3)分當(dāng)在直線下方和當(dāng)在直線上方兩種情況,根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定義求解即可.【詳解】解:(1)如圖1,延長交于點,∵,∴,∴,∵,∴,∴;(2)延長交于點,交于點,∵,,∴,∵,∴,∴,∵平分,平分,∴,,∴,∵,,∴;(3)當(dāng)在直線下方時,如圖,設(shè)射線交于,∵,∴,∵平分,∴,∴,∵,,∴,∵,,∴,即,解得:.當(dāng)在直線上方時,如圖,同理可證得,則有,解得:.綜上,故答案為或.【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平角定義、角度的運算,熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵.14.(2023春·七年級課時練習(xí))已知ABCD,∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點F.(1)如圖1,若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線,且∠BED=100°,求∠M的度數(shù);(2)如圖2,若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∠BED=α°,求∠M的度數(shù);(3)若∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)65°(2)(3)2n∠M+∠BED=360°【分析】(1)首先作EGAB,F(xiàn)HAB,利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE=260°,再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°,從而得到∠BFD的度數(shù),再根據(jù)角平分線的定義可求∠M的度數(shù);(2)先由已知得到∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM,由(1)得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED,∠M=∠ABM+∠CDM,等量代換即可求解;(3)先由已知得到,,由(2)的方法可得到2n∠M+∠BED=360°.【詳解】解:(1)如圖1,作,,∵,∴,∴,,,,∴,∵,∴,∵的角平分線和的角平分線相交于F,∴,∴,∵、分別是和的角平分線,∴,,∴,∴;(2)如圖2,∵,,∴,,∵與兩個角的角平分線相交于點,∴,,∴,∵,∴,∴;(3)∵∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF,∴,,∵與兩個角的角平分線相交于點,∴,,∴,∵,∴.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的計算,關(guān)鍵在于掌握兩直線平行同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì).15.(2023春·七年級課時練習(xí))已知直線AM、CN和點B在同一平面內(nèi),且AM∥CN,AB⊥BC.(1)如圖1,求∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2,若BD⊥AM,垂足為D,求證:∠ABD=∠C;(3)如圖3,已知點D、E、F都在直線AM上,且∠ABD=∠NCB,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD.若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,請直接寫出∠EBC的度數(shù).【答案】(1)∠A+∠C=90°;(2)見解析;(3)∠EBC=105°.【分析】(1)通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系求解.(2)畫輔助平行線找角的聯(lián)系.(3)利用(2)的結(jié)論,結(jié)合角平分線性質(zhì)求解.【詳解】解:(1)如圖1,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠A+∠AOB=90°,∠A+∠C=90°,故答案為:∠A+∠C=90°;(2)如圖2,過點B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,∴∠DBG=90°,∴∠ABD+∠ABG=90°,∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG,∵AM∥CN,∴∠C=∠CBG,∴∠ABD=∠C;(3)如圖3,過點B作BG∥DM,∵AM∥CN,∴CN∥BG,∴∠CBG=∠BCN,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,∵∠ABD=∠NCB,∴∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=∠AFB=β,∠BFC=3∠DBE=3α,∵BG∥DM,∴∠DFB=∠GBF=β,∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:2α+β+3α+3α+β=180°,∵AB⊥BC,∴β+β+2α=90°,∴α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【點睛】本題考查平行線性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,角平分線的定義,畫輔助線,找到角的關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.16.(2021春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中)如圖,,點在直線上,點在直線和之間,,平分.(1)求的度數(shù)(用含的式子表示);(2)過點作交的延長線于點,作的平分線交于點,請在備用圖中補(bǔ)全圖形,猜想與的位置關(guān)系,并證明;(3)將(2)中的“作的平分線交于點”改為“作射線將分為兩個部分,交于點”,其余條件不變,連接,若恰好平分,請直接寫出__________(用含的式子表示).【答案】(1);(2)畫圖見解析,,證明見解析;(3)或【分析】(1)根據(jù)平行線的傳遞性推出,再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解;(2)猜測,根據(jù)平分,推導(dǎo)出,再根據(jù)、平分,通過等量代換求解;(3)分兩種情況進(jìn)行討論,即當(dāng)與,充分利用平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等量代換的思想進(jìn)行求解.【詳解】(1)過點作,,,,.(2)根據(jù)題意,補(bǔ)全圖形如下:猜測,由(1)可知:,平分,,,,,又平分,,,.(3)①如圖1,,由(2)可知:,,,,,,,,,,又平分,,;②如圖2,,(同①);若,則有,又,,,,綜上所述:或,故答案是:或.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線、三角形內(nèi)角和定理、垂直等相關(guān)知識點,解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識點,作出適當(dāng)?shù)妮o助線,通過分類討論及等量代換進(jìn)行求解.題型二:筆尖型一、單選題1.(2023春·七年級課時練習(xí))①如圖1,,則;②如圖2,,則;③如圖3,,則;④如圖4,直線EF,點在直線上,則.以上結(jié)論正確的個數(shù)是(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【分析】①過點E作直線EFAB,由平行線的性質(zhì):兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),即可得出結(jié)論;②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠C+∠P,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等即可作出判斷;③如圖3,過點E作直線EF∥AB,由平行線的性質(zhì)可得出∠A+∠AEC﹣∠1=180°,即得∠AEC=180°+∠1﹣∠A;④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠BOF,∠γ+∠COF=180°,再利用角的關(guān)系解答即可.【詳解】解:①如圖1,過點E作直線EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A+∠1=180°,∠2+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠AEC=360°,故①錯誤;②如圖2,∵∠1是△CEP的外角,∴∠1=∠C+∠P,∵AB∥CD,∴∠A=∠1,即∠P=∠A﹣∠C,故②正確;③如圖3,過點E作直線EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A+∠3=180°,∠1=∠2,∴∠A+∠AEC﹣∠1=180°,即∠AEC=180°+∠1﹣∠A,故③錯誤;④如圖4,∵AB∥EF,∴∠α=∠BOF,∵CD∥EF,∴∠γ+∠COF=180°,∵∠BOF=∠COF+∠β,∴∠COF=∠α﹣∠β,∴∠γ+∠α﹣∠β=180°,故④正確;綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2,故選:B.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.二、填空題2.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖,若直線l1∥l2,∠α=∠β,∠1=30°則∠2的度數(shù)為___.【答案】150°##150度【分析】延長AB交l2于E,根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)先求得∠3的度數(shù),再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠2的度數(shù).【詳解】解:延長AB交l2于E,∵∠α=∠β,∴AB∥CD,∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2,∴∠3=∠1=30°,∴∠2=180°-∠3=150°.故答案為:150°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定,熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵.3.(2023春·七年級課時練習(xí))如圖,直線a與∠AOB的一邊射線OA相交,∠1=130°,向下平移直線a得到直線b,與∠AOB的另一邊射線OB相交,則∠2+∠3=___.【答案】【分析】過點O作,利用平移的性質(zhì)得到,可得判斷,根據(jù)平行線的性質(zhì)得,,可得到,從而得出的度數(shù).【詳解】解:過點O作,∵直線a向下平移得到直線b,∴,∴,∴,,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了平移的性質(zhì),平行線的性質(zhì),過拐點作已知直線的平行線是解題的關(guān)鍵.三、解答題4.(2021春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中)(1)如圖1,,,,則;(2)如圖2,,點在射線上運動,當(dāng)點在、兩點之間運動時,,,求與、之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(3)在(2)的條件下,如果點在、兩點外側(cè)運動時(點與點、、三點不重合),請你直接寫出與、之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1);(2),理由詳見解析;(3)當(dāng)點在射線上時,;當(dāng)點在上時,.【分析】(1)做出輔助線,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可;(2)過點作交于點,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可;(3)根據(jù)題意做出輔助線,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可;【詳解】(1)如圖1,過作,,,又,,則(2)理由是:如圖2,過點作交于點,,(3)當(dāng)點在射線上時,設(shè)CD與AP交于點P,如圖所示,∵,∴,又∵在△CHP中,,∴,即:.當(dāng)點在上時,如圖所示,作PE∥AB,∴∠APE=∠BAP=∠α,∵AB∥CD,∴PE∥CD,∴∠CPE=∠PCD=∠β,∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α.答:∠CPA與∠α,∠β之間的數(shù)量關(guān)系為:∠CPA=∠β-∠α.即.【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線.5.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))(1)如圖(1)AB∥CD,猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系,說出理由.(2)觀察圖(2),已知AB∥CD,猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系,并說明理由.(3)觀察圖(3)和(4),已知AB∥CD,猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系,不需要說明理由.【答案】(1)∠B+∠BPD+∠D=360°,理由見解析;(2)∠BPD=∠B+∠D,理由見解析;(3)∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D,理由見解析【分析】(1)過點P作EF∥AB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求解;(2)首先過點P作PE∥AB,由AB∥CD,可得PE∥AB∥CD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可得∠1=∠B,∠2=∠D,則可求得∠BPD=∠B+∠D.(3)由AB∥CD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì),即可求得∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系.【詳解】解:(1)如圖(1)過點P作EF∥AB,∴∠B+∠BPE=180°,∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠EPD+∠D=180°,∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°,∴∠B+∠BPD+∠D=360°.(2)∠BPD=∠B+∠D.理由:如圖2,過點P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠1=∠B,∠2=∠D,∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D.(3)如圖(3),∠BPD=∠D-∠B.理由:∵AB∥CD,∴∠1=∠D,∵∠1=∠B+∠BPD,∴∠D=∠B+∠BPD,即∠BPD=∠D-∠B;如圖(4),∠BPD=∠B-∠D.理由:∵AB∥CD,∴∠1=∠B,∵∠1=∠D+∠BPD,∴∠B=∠D+∠BPD,即∠BPD=∠B-∠D.【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題難度不大,解題的關(guān)鍵是注意掌握平行線的性質(zhì),注意輔助線的作法.6.(2021春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末)問題情景:如圖1,AB∥CD,∠PAB=140°,∠PCD=135°,求∠APC的度數(shù).(1)麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出:∠APC=85°,請補(bǔ)全她的推理依據(jù).如圖2,過點P作PE∥AB,因為AB∥CD,所以PE∥CD.()所以∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°.()因為∠PAB=140°,∠PCD=135°,所以∠APE=40°,∠CPE=45°,∠APC=∠APE+∠CPE=85°.問題遷移:(2)如圖3,AD∥BC,當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時,∠ADP=∠α,∠BCP=∠β,求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.(3)在(2)的條件下,如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時(點P與點A、B、O三點不重合),請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)平行于同一條直線的兩條直線平行(或平行公理推論),兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);(2),理由見解析;(3)或【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可;(2)過P作PE∥AD交CD于E,推出AD∥PE∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案;(3)畫出圖形(分兩種情況①點P在BA的延長線上,②點P在AB的延長線上),根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案.【詳解】解:(1)如圖2,過點P作PE∥AB,因為AB∥CD,所以PE∥CD.(平行于同一條直線的兩條直線平行)所以∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°.(兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ))因為∠PAB=140°,∠PCD=135°,所以∠APE=40°,∠CPE=45°,∠APC=∠APE+∠CPE=85°.故答案為:平行于同一條直線的兩條直線平行;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);(2)∠CPD=∠α+∠β,理由如下:如圖3所示,過P作PE∥AD交CD于E,∵AD∥BC,∴AD∥PE∥BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;(3)當(dāng)P在BA延長線時,如圖4所示:過P作PE∥AD交CD于E,同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠β-∠α;當(dāng)P在AB延長線時,如圖5所示:同(2)可知:∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠α-∠β.綜上所述,∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系為:∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理,正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.7.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))已知直線AB∥CD,P為平面內(nèi)一點,連接PA、PD.(1)如圖1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度數(shù);(2)如圖2,判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為.(3)如圖3,在(2)的條件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度數(shù).【答案】(1)∠APD=80°;(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)∠AND=45°.【分析】(1)首先過點P作PQ∥AB,則易得AB∥PQ∥CD,然后由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯角相等,即可求解;(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根據(jù)平行線的性質(zhì),即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)先證明∠NOD=∠PAB,∠ODN=∠PDC,利用(2)的結(jié)論即可求解.【詳解】解:(1)∵∠A=50°,∠D=150°,過點P作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ=50°,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠D+∠DPQ=180°,則∠DPQ=180°-150°=30°,∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°;(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,如圖,作PQ∥AB,∴∠PAB=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠CDP+∠DPQ=180°,即∠DPQ=180°-∠CDP,∵∠APD=∠APQ-∠DPQ,∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°;∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°;(3)設(shè)PD交AN于O,如圖,∵AP⊥PD,∴∠APO=90°,由題知∠PAN+∠PAB=∠APD,即∠PAN+∠PAB=90°,又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°,∴∠POA=∠PAB,∵∠POA=∠NOD,∴∠NOD=∠PAB,∵DN平分∠PDC,∴∠ODN=∠PDC,∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC),由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°,∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD,∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°,即∠AND=45°.【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.8.(2022春·貴州黔南·七年級統(tǒng)考階段練習(xí))綜合與探究:(1)問題情境:如圖1,.求的度數(shù).小明想到一種方法,但是沒有解答完:如圖2,過P作,∴.∴.∵.∴.…………請你幫助小明完成剩余的解答.(2)問題探究:請你依據(jù)小明的思路,解答下面的問題:如圖3,,點P在射線上運動,.當(dāng)點P在A,B兩點之間時,之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由.【答案】(1)110°;(2),理由見解析【分析】(1)過P作PE//AB,構(gòu)造同旁內(nèi)角,通過平行線性質(zhì),可得∠APC=50°+60°=110°.(2)過P作PE//AD交CD于E,推出AD//PE//BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,即可得出答案.【詳解】解:(1)過P作,∴,∴.∵,∴.∴,∴,∴.(2),如圖3,過P作PE//AD交CD于E,∵AD//BC,∴AD//PE//BC,∴∠α=∠DPE,∠β=∠CPE,∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β;【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理能力,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角.9.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖①,直線,是與之間的一點,連接,,可以發(fā)現(xiàn):,請你寫出證明過程;(2)拓展探究如果點運動到圖②所示的位置,其他條件不變,求證:.(3)解決問題如圖③,,,,則________.(直接寫出結(jié)論,不用寫計算過程)【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】(1)根據(jù)平行判定得到,利用平行線的性質(zhì)得,,得到,即可求證出答案;(2)類比(1),過點E作EF∥AB,然后根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可求證出答案;(3)類比,過點作,根據(jù)平行判定得到,再根據(jù)平行的性質(zhì)得:,,根據(jù)角與角的關(guān)系求得:,則可求出答案.【詳解】(1)證明:如圖①,過點作,∵(已知),(輔助線的作法).∴(平行于同一直線的兩直線平行),∴(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).∵,∴,∴(等量代換)即.(2)證明:如圖②,過點作,∵(已知),(輔助線的作法).∴(平行于同一直線的兩直線平行).∴,,∴,∴.(3)解:如圖③,過點作,∵(已知),(輔助線的作法),∴(平行于同一直線的兩直線平行),∴,,∵,,∴,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出輔助線,靈活運用平行判斷以及平行線的性質(zhì)找到角與角之間的關(guān)系.10.(2023春·七年級課時練習(xí))閱讀下面材料,完成(1)~(3)題.?dāng)?shù)學(xué)課上,老師出示了這樣—道題:如圖1,已知點分別在上,.求的度數(shù).同學(xué)們經(jīng)過思考后,小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線,交流了自己的想法:小明:“如圖2,通過作平行線,發(fā)現(xiàn),由已知可以求出的度數(shù).”小偉:“如圖3這樣作平行線,經(jīng)過推理,得也能求出的度數(shù).”小華:∵如圖4,也能求出的度數(shù).”(1)請你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2),描述小明同學(xué)輔助線的做法,輔助線:______;(2)請你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形,直接寫出的度數(shù)為_________°;老師:“這三位同學(xué)解法的共同點,都是過一點作平行線來解決問題,這個方法可以推廣.”請大家參考這三位同學(xué)的方法,使用與他們類似的方法,解決下面的問題:(3)如圖,,點分別在上,平分若請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系((用含的式子表示),并驗證你的結(jié)論.【答案】(1)過點作;(2)30;(3).【分析】(1)根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可;(2)過點作,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3,∠2=∠4,由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°,即可得出∠1+∠2=90°,進(jìn)而可得答案;(3)設(shè),過點作,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,,進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案.【詳解】(1)由圖中虛線可知PQ//AC,∴小明同學(xué)輔助線的做法為過點作,故答案為:過點作(2)如圖2,過點作,∵AB//CD,∴PQ//AB//CD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∵EP⊥FP,∴∠EPF=∠3+∠4=90°,∴∠1+∠2=90°,∵∠1=60°,∴∠2=30°,故答案為:30(3)如圖,設(shè),過點作,∵,即.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì),兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);正確作出輔助線,熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.11.(2023春·七年級課時練習(xí))問題情境:如圖1,,,,求的度數(shù).思路點撥:小明的思路是:如圖2,過P作,通過平行線性質(zhì),可分別求出、的度數(shù),從而可求出的度數(shù);小麗的思路是:如圖3,連接,通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識可求出的度數(shù);小芳的思路是:如圖4,延長交的延長線于E,通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識可求出的度數(shù).問題解決:請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計算,你求得的的度數(shù)為°;問題遷移:(1)如圖5,,點P在射線上運動,當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時,,.、、之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由;(2)在(1)的條件下,如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時(點P與點A、B、O三點不重合),請你直接寫出、、間的數(shù)量關(guān)系.【答案】110;(1),理由見解析;(2)或,理由見解析【分析】小明的思路是:過P作,構(gòu)造同旁內(nèi)角,利用平行線性質(zhì),可得.(1)過P作交于E,推出,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,,即可得出答案;(2)畫出圖形(分兩種情況:①點P在的延長線上,②點P在的延長線上),根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,,即可得出答案.【詳解】解:小明的思路:如圖2,過P作,∵,∴,∴,,∴,故答案為:110;(1),理由如下:如圖5,過P作交于E,∵,∴,∴,,∴;(2)當(dāng)P在延長線時,;理由:如圖6,過P作交于E,∵,∴,∴,,∴;當(dāng)P在之間時,.理由:如圖7,過P作交于E,∵,∴,∴,,∴.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理,平行線的判定和性質(zhì),主要考查學(xué)生的推理能力,解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角.12.(2023春·七年級課時練習(xí))已知直線,點A,C分別在,上,點B在直線,之間,且.(1)如圖①,求證:.閱讀并將下列推理過程補(bǔ)齊完整:過點B作,因為,所以__________(
)所以,(
)所以.(2)如圖②,點D,E在直線上,且,BE平分.求證:;(3)在(2)的條件下,如果的平分線BF與直線平行,試確定與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.【答案】(1)BG;平行于同一條直線的兩條直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)見解析;(3),理由見解析【分析】(1)根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2)過點作,根據(jù),可得,所以,,結(jié)合(1)即可進(jìn)行證明;(3)根據(jù),,可得,根據(jù)平分,可得,結(jié)合(2)可得,中根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得結(jié)論.【詳解】(1)解:如圖①,過點作,因為,所以(平行于同一條直線的兩條直線平行).所以,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等).所以.故答案為:,平行于同一條直線的兩條直線平形,兩直線平行,內(nèi)錯角相等;(2)證明:如圖②,過點作,因為,所以,所以,,由(1)知:.又,所以.因為.所以,所以,因為平分.所以,所以,所以;(3)解:,理由如下:因為,,所以,因為平分,所以,由(2)知:,所以,因為,所以,所以,,而,所以.【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì),解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用.13.(2023春·七年級課時練習(xí))已知,定點,分別在直線,上,在平行線,之間有一動點.(1)如圖1所示時,試問,,滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.(2)除了(1)的結(jié)論外,試問,,還可能滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請畫圖并證明(3)當(dāng)滿足,且,分別平分和,①若,則__________°.②猜想與的數(shù)量關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)【答案】(1)∠AEP+∠PFC=∠EPF;(2)∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°;(3)①150°或30;②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】(1)由于點是平行線,之間有一動點,因此需要對點的位置進(jìn)行分類討論:如圖1,當(dāng)點在的左側(cè)時,,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;(2)當(dāng)點在的右側(cè)時,,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;(3)①若當(dāng)點在的左側(cè)時,;當(dāng)點在的右側(cè)時,可求得;②結(jié)合①可得,由,得出;可得,由,得出.【詳解】解:(1)如圖1,過點作,,,,,,;(2)如圖2,當(dāng)點在的右側(cè)時,,,滿足數(shù)量關(guān)系為:;過點作,,,,,,;(3)①如圖3,若當(dāng)點在的左側(cè)時,,,,分別平分和,,,;如圖4,當(dāng)點在的右側(cè)時,,,;故答案為:或30;②由①可知:,;,.綜合以上可得與的數(shù)量關(guān)系為:或.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),平行公理和及推論等知識點,作輔助線后能求出各個角的度數(shù),是解此題的關(guān)鍵.題型三:“雞翅”型一、解答題1.(2021春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末)如圖,已知于點A,AE∥CD交于點E,且于點F.求證:.證明:∵于點A,于點F,(已知)∴.(垂直的定義)∴AD∥EF,(
)∴__________(
)∵AE∥CD,(已知)∴________.(兩直線平行,同位角相等)∵,∴.(等量代換)【答案】見解析【分析】首先根據(jù)同位角相等,兩直線平行,再根兩直線平行,內(nèi)錯角相等得到=.最后根據(jù)兩直線平行,同位角相等得到,再進(jìn)行等量代換即可.【詳解】證明:∵于點A,于點F,∴.∴,
(同位角相等,兩直線平行)
∴=.
(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)
∵,∴.
∵,∴.【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用,掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.2.(2023春·七年級課時練習(xí))(1)已知:如圖(a),直線.求證:;(2)如圖(b),如果點C在AB與ED之外,其他條件不變,那么會有什么結(jié)果?你還能就本題作出什么新的猜想?【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)點C在AB與ED之外時,,見解析【分析】(1)由題意首先過點C作CF∥AB,由直線AB∥ED,可得AB∥CF∥DE,然后由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可證得∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得∠ABC=∠BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得∠ABC-∠CDE=∠BCD.【詳解】解:(1)證明:過點C作CF∥AB,∵AB∥ED,∴AB∥ED∥CF,∴∠BCF=∠ABC,∠DCF=∠EDC,∴∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)結(jié)論:∠ABC-∠CDE=∠BCD,證明:如圖:∵AB∥ED,∴∠ABC=∠BFD,在△DFC中,∠BFD=∠BCD+∠CDE,∴∠ABC=∠BCD+∠CDE,∴∠ABC-∠CDE=∠BCD.若點C在直線AB與DE之間,猜想,∵AB∥ED∥CF,∴∴.【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵,注意掌握輔助線的作法.3.(2022·全國·七年級假期作業(yè))已知,,.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,作的平分線交于點,點為上一點,連接,若的平分線交線段于點,連接,若,過點作交的延長線于點,且,求的度數(shù).【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出,再根據(jù)等量代換可得,最后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)過點E作,延長DC至Q,過點M作,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出,再根據(jù)平角的含義得出,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義可推出;設(shè),根據(jù)角的和差可得出,結(jié)合已知條件可求得,最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】(1)證明:;(2)過點E作,延長DC至Q,過點M作,,,AF平分FH平分設(shè),.【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì),角平分線的定義,能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.4.(2023春·七年級課時練習(xí))直線,A是上一點,B是上一點,直線和直線,交于點C和D,在直線CD上有一點P.(1)如果P點在C、D之間運動時,問、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請說明理由.(2)若點P在C、D兩點的外側(cè)運動時(P點與點C、D不重合),試探索、、之間的關(guān)系又是如何?(請直接寫出答案,不需要證明)【答案】(1).理由見解析;(2)或.【分析】(1)過點P作,即可得到,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可;(2)分當(dāng)P在AC的上方時和當(dāng)P在BD的下方時,兩種情況,利用平行線的性質(zhì)求解即可.【詳解】(1).過點P作,如圖1所示.因為,,所以,所以,,因為,所以(2)如圖當(dāng)P在AC的上方時,過點P作,如圖2所示.因為,,所以,所以,,因為,所以;如圖當(dāng)P在BD的下方時,過點P作,如圖2所示.因為,,所以,所以,,因為,所以;∴綜上所述:或.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的計算,解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.5.(2023春·七年級課時練習(xí))已知,點為平面內(nèi)一點,于.(1)如圖1,點在兩條平行線外,則與之間的數(shù)量關(guān)系為______;(2)點在兩條平行線之間,過點作于點.①如圖2,說明成立的理由;②如圖3,平分交于點平分交于點.若,求的度數(shù).【答案】(1)∠A+∠C=90°;(2)①見解析;②105°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)①過點B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解;②先過點B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【詳解】解:(1)如圖1,AM與BC的交點記作點O,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°,∴∠A+∠C=90°;(2)①如圖2,過點B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,∴∠DBG=90°,∴∠ABD+∠ABG=90°,∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG,∵AM∥CN,BG∥DM,∴∠C=∠CBG,∠ABD=∠C;②如圖3,過點B作BG∥DM,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由(2)知∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=∠AFB=β,∠BFC=3∠DBE=3α,∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:2α+β+3α+3α+β=180°,∵AB⊥BC,∴β+β+2α=90°,∴α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運用,解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角,運用等角的余角(補(bǔ)角)相等進(jìn)行推導(dǎo).余角和補(bǔ)角計算的應(yīng)用,常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).解題時注意方程思想的運用.題型四:“骨折”型一、填空題1.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))如圖,如果AB∥EF,EF∥CD,則∠1,∠2,∠3的關(guān)系式__________.【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角定義求解即可.【詳解】解:∵AB∥EF,EF∥CD,∴∠2+∠BOE=180°,∠3+∠COF=180°,∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°,∵∠BOE+∠COF+∠1=180°,∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1,∴∠2+∠3+(180°﹣∠1)=360°,即∠2+∠3﹣∠1=180°.故答案為:∠2+∠3﹣∠1=180°.【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、平角定義,熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.2.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))如圖所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C=20°,則∠EAB的度數(shù)為__________.【答案】57°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°以及平行線的性質(zhì):1、如果兩直線平行,那么它們的同位角相等;2、如果兩直線平行,那么它們的同旁內(nèi)角互補(bǔ);3、如果兩直線平行,那么它們的內(nèi)錯角相等,據(jù)此計算即可.【詳解】解:設(shè)AE、CD交于點F,∵∠E=37°,∠C=20°,∴∠CFE=180°-37°-20°=123°,∴∠AFD=123°,∵AB∥CD,∴∠AFD+∠EAB=180°,∴∠EAB=180°-123°=57°,故答案為:57°.【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì),熟知平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))如圖,已知∠ABC=80°,∠CDE=140°,則∠BCD=_____.【答案】【分析】延長交BC于M,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等證明∠BMD=∠ABC,再求解,再利用三角形的外角的性質(zhì)可得答案.【詳解】解:延長交BC于M,∵∴∠BMD=∠ABC=80°,∴;又∵∠CDE=∠CMD+∠C,∴.故答案是:40°【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).三角形的外角的性質(zhì),鄰補(bǔ)角的定義,掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.4.(2023春·全國·七年級專題練習(xí))如圖,若,則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______【答案】180°【分析】延長EA交CD于點F,則有∠2+∠EFC=∠3,然后根據(jù)可得∠1=∠EFD,最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及等量代換可求解.【詳解】解:延長EA交CD于點F,如圖所示:,∠1=∠EFD,∠2+∠EFC=∠3,,,;故答案為180°.【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì),熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、解答題5.(2023春·七年級課時練習(xí))(1)如圖,AB//CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度數(shù);(2)如圖,AB//CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍與∠E的補(bǔ)角的和為190°,求∠ABE的度數(shù).(3)如圖,P為(2)中射線BE上一點,G是CD上任一點,PQ平分∠BPG,GN//PQ,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度數(shù).【答案】(1)∠ABE=40°;(2)∠ABE=30°;(3)∠MGN=15°.【分析】(1)過E作EMAB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可;(2)過E作EMAB,過F作FNAB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì),角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可;(3)過P作PLAB,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì),角平分線的定義解答即可.【詳解】解:(1)過E作EMAB,∵ABCD,∴CDEMAB,∴∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM,∵CF平分∠DCE,∴∠DCE=2∠DCF,∵∠DCF=30°,∴∠DCE=60°,∴∠CEM=60°,又∵∠CEB=20°,∴∠BEM=∠CEM﹣∠CEB=40°,∴∠ABE=40°;(2)過E作EMAB,過F作FNAB,∵∠EBF=2∠ABF,∴設(shè)∠ABF=x,∠EBF=2x,則∠ABE=3x,∵CF平分∠DCE,∴設(shè)∠DCF=∠ECF=y(tǒng),則∠DCE=2y,∵ABCD,∴EMABCD,∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x,∴∠CEB=∠CEM﹣∠BEM=2y﹣3x,同理∠CFB=y(tǒng)﹣x,∵2∠CFB+(180°﹣∠CEB)=190°,∴2(y﹣x)+180°﹣(2y﹣3x)=190°,
∴x=10°,∴∠ABE=3x=30°;(3)過P作PLAB,∵GM平分∠DGP,∴設(shè)∠DGM=∠PGM
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